高考

數(shù)學(xué)數(shù)列等比數(shù)列基礎(chǔ)篇考點一等比數(shù)列及其前n項和1.(2023屆貴州遵義新高考協(xié)作體入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,4)已知正項等比數(shù)列{an}

的前n項和為Sn,若S3=26,a3=18,則S5=

(

)A.80

B.81

C.243

D.242答案

D

2.(2022全國乙,理8,文10,5分)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168,a2-a5=42,

則a6=

(

)A.14

B.12

C.6

D.3答案

D

3.(2022山東聯(lián)考,4)在正項等比數(shù)列{an}中,a1=3,且3a2是a3和a4的等差中

項,則a2=

(

)A.8

B.6

C.3

D.

答案

B

4.(2022遼寧渤海大學(xué)附中考試)已知遞增等比數(shù)列{an}中,a2+a5=18,a3a4=32,若an=128,則n=

(

)A.5

B.6

C.7

D.8答案

D

5.(2020課標(biāo)Ⅱ文,6,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則

=

(

)A.2n-1

B.2-21-n

C.2-2n-1

D.21-n-1答案

B

6.(2022遼寧大連一中期中,4)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=t·2n-1-1,則

t=

(

)A.2

B.-2

C.1

D.-1答案

A

7.(2020課標(biāo)Ⅱ理,6,5分)數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,

則k=

(

)A.2

B.3

C.4

D.5答案

C

8.(2020課標(biāo)Ⅰ文,10,5分)設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6

+a7+a8=(

)A.12

B.24

C.30

D.32答案

D

9.(2022福建龍巖一中期中,5)已知公差不為0的等差數(shù)列的第4,7,16項恰

好分別是某等比數(shù)列的第4,6,8項,則該等比數(shù)列的公比是

(

)A.

B.-

C.

或-

D.

答案

C

10.(多選)(2022湖北新高考聯(lián)考,9)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前4項的

和為a1+14,且a2,a3+1,a4成等差數(shù)列,則q的值可能為

(

)A.

B.1

C.2

D.3答案

AC

11.(2019課標(biāo)Ⅲ,文6,理5,5分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項

和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=

(

)A.16

B.8

C.4

D.2答案

C

12.(2022新高考Ⅱ,17,10分)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)

列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù).解析

(1)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1,①由a3-b3=b4-a4得a1+2d-4b1=8b1-a1-3d,故2a1+5d=12b1,②由①②得2a1+10b1

=12b1,即a1=b1.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,1≤m≤500得b1×2k-1=2a1+(m-1)d,即a1×2k-1=

2a1+2(m-1)a1,其中a1≠0,∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,∴

2≤k≤10.故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個數(shù)為9個.13.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=

20,a3=8.(1)求{an}的通項公式;(2)(新高考Ⅰ)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項的個數(shù),求數(shù)列{bm}的

前100項和S100.(新高考Ⅱ)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.解析

(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=

(舍去),q2=2.由題設(shè)得a1=2.所以{an}的通項公式為an=2n.(2)(新高考Ⅰ)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2n≤m<2n+1時,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.(新高考Ⅱ)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1=

=

-(-1)n

.14.(2020課標(biāo)Ⅲ文,17,12分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通項公式;(2)記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.解析

(1)設(shè){an}的公比為q,則an=a1qn-1.由已知得

解得a1=1,q=3.所以{an}的通項公式為an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=

.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍

去)或m=6.考點二等比數(shù)列的性質(zhì)考向一等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1.(2022江蘇鎮(zhèn)江期中,5)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=1,S30=13,

則S40=

(

)A.-51

B.-20

C.27

D.40答案

D

2.(2021全國甲理,7,5分)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.設(shè)甲:q>0,

乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則

(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案

B

考向二下標(biāo)和性質(zhì)、有關(guān)項的性質(zhì)1.(2022湖南炎德英才聯(lián)考,6)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=

,a4a5=-

,則

+

+

+

+

+

+

+

=

(

)A.-6

B.-

C.

D.2答案

A

2.(2022濟(jì)南歷城二中調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中,a2=-1,a6=-4,則a3a4a5=

(

)A.-8

B.8

C.±8

D.16答案

A

3.(2022遼寧大連模擬,5)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=18,a2a3

=32,若{an}的前n項和Sn滿足Sk+10-Sk=216-26,則正整數(shù)k等于

(

)A.5

B.6

C.7

D.8答案

A

4.(2023屆黑龍江七臺河勃利高級中學(xué)開學(xué)考,15)在等比數(shù)列{an}中,公比

q>1,

+

=

,a3a5=18,則q2=

.答案

5.(2022海南三亞華僑學(xué)校月考,16)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1+a2=1,a3+a4

=4,則a9+a10=

.答案

256綜合篇考法等比數(shù)列的判定與證明1.(2022廣州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足

=anan+2(n∈N*),若a3=1,a7=4,則a5=

(

)A.±2

B.-2

C.2

D.8答案

C

2.(2022長沙雅禮中學(xué)月考,6)數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤,如法國數(shù)學(xué)家

費馬于1640年提出了Fn=

+1(n=0,1,2,…)是質(zhì)數(shù)的猜想,直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出F5=641×6700417,不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)an=log4(Fn-1)(n=1,2,…),Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,若32Sn=63an,則n=

(

)A.5

B.6

C.7

D.8答案

B

3.(多選)(2022重慶西南大學(xué)附中開學(xué)考,11)“內(nèi)卷”是指一類文化模式

達(dá)到最終的形態(tài)以后,既沒有辦法穩(wěn)定下來,也沒有辦法轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài),

而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象.熱愛數(shù)學(xué)的小明由此想到了數(shù)學(xué)中的螺旋線.連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案,具體作法是在邊長為1的正方形ABCD中,作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;依此進(jìn)行下去,就形成了陰影部分的圖案,如圖所示.設(shè)第n個正方形的邊長為an(其中第1個正方形ABCD的邊長為a1=AB,第2個正方形EFGH的邊長為a2=EF,……),第n個直角三角形(陰影部分)的面積為Sn(其中第1個直角三角形AEH

的面積為S1,第2個直角三角形EQM的面積為S2,……),則(

)A.數(shù)列{an}是公比為

的等比數(shù)列B.S1=

C.數(shù)列{an}是公比為

的等比數(shù)列D.數(shù)列{Sn}的前n項和Tn<

答案

BD

4.(2022湖南益陽一模,16)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=

-

,若bn=

,則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=

.答案-

5.(2022福建漳州一中段考,13)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q>0,

a1=1,a12=9a10,若數(shù)列{t+Sn}為等比數(shù)列,則實數(shù)t=

.答案

6.(2022河北衡水中學(xué)三模,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an-n+1(n∈N*).(1)證明:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;(2)數(shù)列{bn}滿足:bn=

(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析

(1)因為數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an-n+1,所以an+1-(n+1)=2(an-n),而a1-

1=1,于是數(shù)列{an-n}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,an-n=1·2n-1,即an=2n-1+n.(2)由(1)知bn=

=

,Sn=

+

+

+…+

,則

Sn=

+

+

+…+

+

,于是得

Sn=

+

+

+…+

-

=

-

=1-