★數的認識★數的運算★代數初步★空間與圖形★統計與概率★解決問題策略大慶小學數學畢業總復習作者：無數的認識小數、分數、百分數和比整數常見的量數的認識數分數(小數)整數自然數正整數零負整數1.自然數,0和整數數物體的時候,用來表示物體個數的0,1,2,3…叫做自然數.一個物體也沒有用0表示.0也是自然數.0和自然數都是整數.

但不能說整數只包括0和自然數1.自然數,0和整數0可以表示沒有；可以表示起點；可以用來占位；可以表示分界。0加上任何數等于任何數，0和任何數相乘都得0，0除以任何數都得0，但0不能做除數。0是最小的自然數，最小的一位數是1。

2.十進制計數法一(個)、十、百、千、萬……都叫做計數單位.其中“一”是計數的基本單位.10個一是十,10個十是百……10個一百億是一千億……每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十.這種計數方法叫做十進制計數法.

3.數位順序表

數位…千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位計數單位…千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十個數級…億級萬級個級4.整數的讀法和寫法讀數時,從高位起,一級一級地往下讀,屬于億級和萬級的要讀出級名.

讀數時,每級末尾的“0”都不讀,其他數位有一個0或連續幾個0都只讀一個0.8000406000讀作:

寫數時,從高位起,一級一級地往下寫,哪一位上一個單位也沒有,就在哪個數位上寫0六億八千四百五十二萬八千五百六十三.684528563讀作:八十億零四十萬六千.5.最小的一位數

最小的一位數是1還是0？要回答這個問題須從“位數”和“數位”說起。位數是指一個整數所占有數位的個數。把占有一個數位的數叫一位數，占有兩個數位的數叫兩位數……例如，48076是五位數，因為它占有五個數位，這里“0”占有數位。

0能不能稱為一位數呢？不能。因為記數法里有個規定：一個數的最高位不能是0。為什么要這樣規定呢？因為若沒有這樣的規定，0就是一位數，由此可以得出最小的兩位數是00，最小的三位數是000，這樣的結論顯然是不對的。不僅這樣，若沒有這樣的規定，對一個數也就無法確定它是幾位數了。例如，15是兩位數，“015”就變成了三位數，“0015”就變成了四位數。這樣，同一個數我們可以隨意稱它為幾位數，“位數”這一概念的存在也就沒有必要了。因此，一個數的最高位不能“0”。也就是說，最小的一位數是1，而不是0。

6.取近似值

1、四舍五入法：求一個數的近似數,要看尾數的最高位上的數是幾,如果比5小,就把尾數都舍去;如果尾數最高位上的數是5或大于5,就把尾數舍去后,要向它的前一位進1.

2、去尾法：

3、進一法：7.數的改寫一個較大的多位數,為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數.有時還可以根據需要,省略這個數某一位后面的尾數,寫成近似數.把76450000改寫成用“萬”作單位的數是()把235800改寫成用“萬”作單位的數是()235800省略萬位后面的尾數約為()把34562800000改寫成用“億”作單位的數后,保留兩位小數是()4.62975保留兩位小數是:()4.62975保留三位小數是:()7645萬23.58萬24萬345.63億4.634.6308.整數大小的比較比較兩個多位數的大小,首先看它們位數的多少,位數較多的數較大;

如果兩個數的位數相同,那么首先看最高位,最高位上的數較大的,這個數就大;

如果最高位相同,則左邊第二位上的數較大的,這個數就大……

9、數的整除1.整除與除盡2.因數和倍數3.能被2.3.5整除的數的特征4.偶數和奇數5.質數和合數6.質因數和分解質因數7.最大公因數和最小公倍數1.整除與除盡整除:整數a除以整數b(b≠0),除得的商是整數而沒有余數,我們就說數a能被數b整除,或數b能整除a.除盡:數a除以數b(b≠0),除得的商是整數或是有限小數,這就叫做除盡.整除是除盡的一種特殊情況,整除也可以說是除盡,但除盡不一定是整除.區別:整除除盡2.因數和倍數如果數a能被數b整除(b≠0),a就叫做b的倍數,b就叫做a的因數.一個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的因數是它本身.一個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數.因數和倍數是相互依存的因數倍數3.能被2.3.5整除的數的特征能被2整除的數的特征:能被5整除的數的特征:能被3整除的數的特征:個位上是0,2,4,6,8,個位上是0或5各個位上的數字的和能被3整除你能舉些例子嗎?能同時被2,5整除的數的特征:個位是0能同時被2,3,5整除的數的特征:個位是0,而且各個位上的數字的和能被3整除.注意:有一些數能被7,9,11,13整除,但是不容易看出來,

這是大家在約分中容易忽略的.4.偶數和奇數一個自然數,不是奇數就是偶數偶數:能被2整除的數叫做偶數奇數:不能被2整除的數叫做奇數偶數±偶數=()奇數±奇數=()偶數±奇數=()偶數×偶數=()奇數×奇數=()偶數×奇數=()偶數偶數偶數偶數奇數奇數最小的偶數是:最小的奇數是:015.質數和合數質數:(素數)只有1和它本身兩個因數合數:除了1和它本身還有別的因數1:不是質數也不是合數最小的質數是:最小的合數是:246.質因數和分解質因數質因數:分解質因數:每一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式,這幾個質數叫做這個合數的質因數.把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來.叫做分解質因數.

分解質因數的方法:短除法302153530=2×3×5把30分解質因數正確的做法是()A.30=1×2×3×5B.2×3×5=30C.30=2×3×5C1不是質數書寫格式不符把30分解質因數7.最大公因數和最小公倍數公因數,最大公因數:幾個數公有的因數,叫做這幾個數的公因數;其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數.例:()是8和12的公因數,()是8和12的最大公因數.1,2,44公倍數,最小公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數.例:(…)都是4和6的公倍數,()是4和6的最小公倍數.12,24,3612互質數:公因數只有1的兩個數叫做互質數.⑴、兩個數都是質數,這兩個數一定互質.⑵、相鄰的兩個數互質.⑶、1和任何數都互質.互質數的幾種特殊情況求最大公因數和最小公倍數4和28最大公因數是();最小公倍數是()⑴.如果較小數是較大數的因數,那么較小數就是這兩個數的最大公因數;

較大數就是這兩個數的最小公倍數.4和15最大公因數是();最小公倍數是()⑵.如果兩個數互質,它們的最大公因數就是1;

最小公倍數就是它們的積.428160⑶.短除法求24和36的最大公因數和最小公倍數24362121826932324和36的最大公因數是:2×2×3=1224和36的最小公倍數是:2×2×3×2×3=72商互質除數相乘所有的除數和商相乘1.小數的意義把整數“1”平均分成10份,100份……這樣的一份或幾份分別是十分之幾,百分之幾……可以用小數表示.

小數點右邊第一位是十分位,計數單位是十分之一;第二位是百分位,計數單位是百分之一……

小數部分的最大計數單位是十分之一,沒有最小的計數單位.

小數部分有幾個數位,就叫做幾位小數.

如:記作:0.1記作:0.0811081002.小數的讀法和寫法讀小數時,小數的整數部分按整數的讀法來讀,小數點讀作“點”,小數部分按照順序讀出每一個數位上的數字.

寫小數時,整數部分按照整數的寫法來寫,小數點寫在個位右下角,小數部分順次寫出每一個數位上的數字.

如45.469讀作:四十五點四六九3.小數的性質小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小不變.

運用小數的性質,可以在小數末尾添上0.3.5=3.50也可以把小數化簡.3.500=3.54.小數點數位移動引起小數大小的變化小數點向右(左)移動一位、兩位、三位……原來的數就擴大(縮小)10倍、100倍、1000倍……

如果要把一個數擴大或縮小10倍、100倍……只需要移動小數點,數位不夠時用0補足.5.循環小數一個小數的小數部分,從某一位起,有一個或幾個數字依次不斷重復出現,這樣的數叫做循環小數.如0.5555……7.23838……

依次不斷重復出現的數字叫做循環節.

循環小數的簡便記法0.5555……記作:0.57.23838……記作:7.238...5.循環小數循環節從小數部分第一位開始的叫純循環小數.如0.5

循環節不是從小數部分第一位開始的叫混循環小數.如7.238...6.小數的分類

(1).按小數位數是有限還是無限分小數有限小數無限小數無限循環小數無限不循環小數純循環小數混循環小數(2).按小數的整數部分是否為0分小數純小數帶小數(混小數)7.小數的大小比較兩個小數，先比較整數部分，整數部分相同的，十分位上數大的那個數大，余類推。如：2.78＞1.980.022＜0.02221.分數的意義和分數單位單位“1”----一個物體,一個計量單位或是許多物體組成的一個整體,都可以用自然數1來表示,通常我們把它叫做單位“1”分數----分數各部分的名稱:分數單位----把單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的數.74分數線分子分母(表示平均分的份數)(表示所取的份數)把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數,叫做分數.2.分數與除法分數與除法的關系:被除數÷除數=被除數除數(除數≠0)a÷b=ab(b≠0)59表示:59米表示:把單位“1”平均分成9份,取其中的5份.把5米平均分成9份,每份是(),每份是()米.19593.分數大小的比較★分母相同的兩個分數,分子大的分數比較大.★分子相同的兩個分數,分母小的分數比較大.911101181571549471112512<><>★通分:先求出原來幾個分母的最小公倍數,然后把各個分數分別化成用這個最小公倍數作分母的分數.46916=1×96×9=95449=4×69×6=2454<4.分數的分類真分數----假分數----分子比分母小的分數.分子比分母大或者分子和分母相等的分數.真分數<1假分數≥15.分數的基本性質分數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數(零除外),分數的大小不變.一個分數的分母不變,分子乘以3,則這個分數()

如果分子不變,分母除以5,則這個分數()擴大3倍擴大5倍6.最簡分數*計算的結果,能約分的要約成最簡分數;假分數的,一般要化成帶分數或整數.*判斷一個最簡分數能不能化成有限小數:分母中除了2和5以外,不含有其他的質因數,就能化成有限小數.42534072038689122√√×√√√7.約分約分------把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數.約分的方法:1.用分子分母的公因數(1除外)逐次去除分子和分母,直到得到最簡分數為止.2.用分子和分母的最大公因數去除分子和分母.8.通分通分------把異分母分數化成和原來相等垢同分母分數。通分的方法:1.求各分母的最小公倍數；2.把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。8.百分數的意義表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫百分數.百分數又叫百分率或百分比.(百分號用“%”書寫)百分數后面不能帶單位名稱.9.分數、小數、百分數的互化小數分數百分數0.25=()小數點向右移動兩位,添上%0.35%=()去掉%,小數點向左移動兩位先化成小數,再化成百分數先寫成分數,再約分先用分數表示,再約分分子除以分母40100=40%=2516≈0.167=16.7%14=0.25=25%1.2=25%0.0035210151=11.比的意義兩個數相除又叫做這兩個數的比。6︰2=3前項比號后項比值等號2.比的性質比的前項和后項都乘以或除以同一個數(0除外)，比值不變3.比例意義表示兩個比相等的式子叫做比例。6︰2=3︰1比例內項比例外項性質在比例中，兩內項之積等于兩項之積。例：6︰2=3︰1中，2×3=6×14.正比例兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。yx=k(一定)5.反比例兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。x·y=k(一定)6.比例尺意義圖上距離和實際距離的比叫做比例尺。分類

數字比例尺：用數字表示圖上距離和實際距離的比。如：1︰10000(或寫成)表示圖上距離1厘米相當于實際距離1千米(10000厘米)。1100006.比例尺意義圖上距離和實際距離的比叫做比例尺。分類

線段比例尺：在圖上附有一條注有數字的線段，用來表示和地面相對應的實際距離。(如下圖：表示圖上距離1厘米相當于實際距離100千米)0100500千米2003004006.比例尺的應用圖上距離︰實際距離=比例尺圖上距離÷比例尺=實際距離實際距離×比例尺=圖上距離6.比、除法、分數的比較類型式子結果性質特征比前項︰比號后項比值比值不變的性質：比的前項和后項同時擴大或縮小相同的倍數，比值不變。比表示兩個量的倍數關系除法被除數÷除號除數商商不變的性質：被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變。除法是一種運算分數分子－分數線分母分數值分數值不變的性質：分數和分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數，分數值不變。分數是一個數常見的量1.貨幣單位常見的單位：元、角、分單位換算1元=10角=100分1角=10分常見的量2.時間單位常見的單位：世紀、年、季度、月、日、時、分、秒單位換算1世紀=100年1年=12月=4個季度=365天(平年)或366天(閏年)一、三、五、七、八、十、十二是大月，大月31天四、六、九、十一是小月，小月30天平年二月有28天，閏年二月有29天1天=24小時1小時=60分鐘1分鐘=60秒鐘常見的量3.質量單位常見的單位：噸(t)、千克(㎏)、克(g)單位換算1t=1000kg1kg=1000g常見的量4.長度單位常見的單位：千米(㎞)、米(m)、分米（dm)、厘米(㎝)、毫米(㎜)單位換算1km=1000m=10000dm=100000cm1m=10dm=100cm=1000mm1dm=10cm=100mm1cm=10mm常見的量5.面積單位常見的單位：平方千米(k㎡)、平方米(㎡)、平方分米（d㎡)、平方厘米(c㎡)、平方毫米(m㎡)、公頃、公畝單位換算1k㎡=100公頃=1000000㎡1公頃=100公畝=10000㎡1㎡=100d㎡=10000c㎡1d㎡=100c㎡=10000m㎡1c㎡=100m㎡面積：物體所占平面的大小。常見的量6.體積和容積單位常見的單位：立方米(m3)、立方分米（dm3)、立方厘米(cm3)、升(L)、毫升(ml)單位換算1方=1m31m3=1000dm3=1000000cm31dm3=1000cm31L=1dm31L=1000ml1ml=1cm3體積：物體所占空間的大小。容積：箱子、油箱、倉庫所能容納物體的體積。數的運算估算運算的意義計算與應用運算律1.整數加、減法1.把幾個數合并成一個數的運算叫做加法。加數＋加數=和加數=和-加數2.已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。被減數-減數=差被減數=差+減數減數=被減數-差加法和減法互為逆運算2.整數乘法求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。因數×因數=積因數=積÷加數0乘以任何數都得0；1和任何數相乘都得任何數。即：0×a=0;1×a=a3.整數除法已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。被除數÷除數=商被除數=商×除數在除法中，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。但0除以任何數都得0，即0÷a=0.除數=被除數÷商乘法和除法互為逆運算4.小數、分數的加、減、乘、除法1.小數、分數的加、減、乘、除法的意義與整數加、減、乘、除法的意義相同。2.求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如：3×3=32=93.乘積是1的兩數叫做互為倒數。5.整數加、減法運算法則1.整數加法：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位進一。2.整數減法：相同數位對齊，從低位減起，哪一位上的數不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。6.整數乘、除法運算法則1.整數乘法：先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然后再把各次乘得的數加起來。2.整數除法：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。7.小數加、減法運算法則1.相同的數位對齊(即小數點要對齊)。2.然后按照整數加減法法則進行計算。3.得數里的小數點要和加數或被減數、減數的小數點對齊。4.得數的小數部分末尾有0的，要去掉。7.小數乘法運算法則1.先按照整數乘法的計算法則進行計算。2.看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數幾位，點上小數點；如果數位不夠就用“0”補。3.得數的小數部分末尾有0的，要去掉。8.小數除法運算法則1.除數是整數的小數除法：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續除。2.除數是小數的小數除法：先移動除數的小數點，使它變成整數(除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位_位數不夠的補“0”)，然后按照除數是整數的除法法則進行計算。9.分數加、減法運算法則1.同分母分數加減法：分子相加減，分母不變。2.異分母分數加減法：先通分，再按照同分母分數加減法的法則進行計算。3.分數運算的最后結果一定要化成最簡分數，假分數可化成帶分數。10.分數乘、除法運算法則1.分數乘整數：用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變。2.分數乘分數：用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。3.分數除法：甲數除以乙數(0除外)，等于甲數乘以乙數的倒數。10.整數、小數、分數的運算順序1.整數、小數、分數的運算順序相同。2.沒有括號的，同級運算從左到右依次運算；兩級運算，先算乘除法，后算加減法。3.有括號的，先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。4.加減法叫做第一級運算；乘除法叫做第二級運算。11.0和1的四則運算01加法a+0=a0+a=a減法a-a=0a-0=a乘法0×a=0a×0=0a×1=a1×a=a除法0÷a=0(a≠0)a÷1=aa÷a=1(a≠0)1.估算的意義對事物的數量或計算結果做出粗略的推斷或預測的過程叫做估算。例：某校有20個班，每班約有40多個學生。經估算可知該校的學生數大約在800至1000人之間。2.估算的方法

1.根據已知數據的最高位數字和最低位數字估算。例如：1547+4076-2358，由于此題中的三個數最高位上的數字計算結果是3，最低位上的數字計算結果是5，所以此題的計算結果約在3000左右，并且末尾的數字一定是5。

309×607，由于題中兩個數的最高位數的積是：300×600=180000，最低位的數字之積是9×7=63，所以此題的計算結果是略大于180000的六位數，末位數字一定是3。2.估算的方法

2.根據已知數據的部分高位數字估算。例如：3543+446+55，由于此題中各百位數的約是10，千位上的數字和是3，所以原式的結果大約是4000。

3456×23，由于題中各數的最高位數的積（3千×2十）是60000，又由于第一個因數第二位與第二個因數最高位數的積（4百×2十）約等于10000，所以計算結果大約是7萬多。2.估算的方法

3.利用四舍五入把各個已知數，變成近似的整萬、整千、整百或整十。例如：56317÷812可這樣估算：

56000÷800＝70，此題的結果大約是70。

4.利用一些基本口算進行估算。例如：1248×809，題中兩個數分別接近1250和800，利用基本口算125×8＝1000，估算出結果在1000000左右。3.取近似數

1、四舍五入法：求一個數的近似數,要看尾數的最高位上的數是幾,如果比5小,就把尾數都舍去;如果尾數最高位上的數是5或大于5,就把尾數舍去后,要向它的前一位進1.

2、去尾法：根據實際需要，所保留數后面的數字不管是幾都舍去。

3、進一法：根據實際需要，不管保留的數位上右邊的第一位是幾（非零數字），前一位都加1。1.簡單應用題1、已知乙數是甲數的幾位，求乙數是多少。2、已知乙數是甲數的幾分之幾，求乙數是多少。3、把甲數平均分成幾份，每份是多少。4、已知一個數和每份是多少，求可以分成幾份。5、已知甲乙兩數，求甲數是乙數的幾倍或求乙數是甲數的幾分之幾。6、常見數量關系：總價＝單價×數量路程＝速度×時間工作總量＝工作效率×工作時間總產量＝單產量×數量2.典型應用題·平均數問題例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙，又以每小時60千米的速度雙乙地開往甲地，這輛汽車的平均速度是多少？

分析：求汽車的平均速度可以利用公式“數量之和÷數量個數＝平均數”的公式進行計算。此題設甲乙兩地的路程為“1”，則汽車行駛的總路程為“2”，由此可求出從甲地到乙的時間和從乙到甲地用的時間，再用總路程÷總時間＝平均速度。解：根據題意得：2÷答：這輛汽車的平均速度是75千米/時。3.典型應用題·歸一問題例：一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930米，需要多少天？

分析：此題必須先求出每天織布多少米（即單一量）。數量關系式：單一量×份數＝總數量（正歸一）；總數量÷單一量＝份數（反歸一）。解：根據題意得：

6930÷（4774÷31）＝6930÷154＝45（天）答：織布6930米，需要45天。4.典型應用題·歸總問題例：修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實際4天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求出總量；歸總問題是先求出總量，再單一量。解：根據題意得：

800×6÷4＝4800÷4＝1200（米）答：實際每天修了1200米。5.典型應用題·和差問題例：某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少12人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：此類題的解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然后再求另一個數。這一題中從乙班調46人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成2個乙班，即94－12，由此得到現在的乙班是（94－12÷2=41（人），乙班在調出46人之前應該為41+46=87（人），甲班為94－87＝7（人）。解：根據題意得：（94－12）÷2＝41（人）乙班：41+46＝87（人）甲班：94－87＝7（人）答：原來甲班有7人，乙班有87人。解題規律：（和＋差）÷2=大數大數－差=小數（和－差）÷2=小數和－小數=大數6.典型應用題·行程問題－追及問題例：甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。解：根據題意得：

28÷（16－9）＝4（小時）答：甲4小時可以追上乙。解題關鍵及規律：同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間＝路程÷速度差。同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：

路程＝速度差×時間。6.典型應用題·行程問題－相遇問題例：甲乙兩人從相距750米的兩地相向走來，甲每分行80米，乙每分行70米，問甲距乙出發地多遠的地方和乙相遇？

分析：兩個物體以不同速度從兩地同時出發相向而行，并且相遇。在路程、速度和時間中，已知兩個量，求第三個量。此題中路程和甲乙兩人的速度已知，發求出乙走的路程就要先求出乙走了好長的時間（即相遇時間）。解：根據題意得：速度和：80+70＝150（米/分）相遇時間：750÷150＝5（分）乙行路程：70×5＝350（米）答：甲距乙出發地350米處和乙相遇。解題規律：同時同地相背而行：

路程＝速度和×時間。

同時相向而行：

相遇時間＝速度和×時間速度和＝路程÷相遇時間路程＝速度和×相遇時間

7.典型應用題·盈虧問題例：幼兒園老師給小朋友分糖，每位小朋友3粒，糖少1粒，每位小朋友2粒，糖多余13粒。問糖有幾粒？小朋友有幾人？

概述：把一定數量的物品平均分給一定數量的人，在兩次分配中物品有余（盈）或不足（虧），已知余和所不足的數量，要求出物品的數量及參加分配的人數的一類問題稱為盈虧問題。解：根據題意得：（13+1）÷（3－2）＝14（人）

3×14－1＝41（粒）或2×14+13＝41（粒）答：甲距乙出發地350米處和乙相遇。解題思路：（盈＋虧）÷（兩次分得的差）＝人數（大盈－小虧）÷（兩次分得的差）＝人數（大虧－小虧）÷（兩次分得的差）＝人數8.典型應用題·年齡問題例：父親今年45歲，女兒今年11歲，幾年后父親的年齡是女兒的3倍？

概述：已知若干人的年齡，求他們之間的某種數量關系；或已知他們年齡之間的數量關系，求這幾個人的年齡的一類問題稱為年齡問題。解：根據題意得：（45－11）÷（3－1）－11＝6（年）答：6年后父親的年齡是女兒的3倍。解題思路：抓住年齡差不變的量，利用和差、和倍、差倍的知識來解決。幾年后＝大小年齡之差÷倍數差－小年齡8.典型應用題·植樹問題例1：一條公路長100米，在路的一邊從頭至尾每隔5米種一棵樹，一共需要種多少棵？解：根據題意得：

100÷5＋1=21（棵）答：一共需要種21棵。解題思路：不封閉路線1、兩端植樹棵數=段數＋1=總距離÷棵距＋1

總距離=棵距×（棵數－1）棵距=總距離÷（棵數-1）2、一端植，另一端不植：總距離=棵距×棵數棵數=總距離÷棵距棵距=總距離÷棵數8.典型應用題·植樹問題例2：一根木頭長100分米，現在要把全部鋸成4分米長的短木頭，每鋸開一處需要3分鐘。全部鋸完需要幾分鐘？解：根據題意得：（100÷4－1）×3=72（分鐘）答：全部鋸完需要72分鐘。解題思路：3、兩端都不植：棵數=總距離÷棵距－1

此題如果把“鋸開處”看作“樹”，這個問題就相當于在不封閉的公路上兩端都不植樹的問題。8.典型應用題·植樹問題例3：公園中有一個圓形花壇，繞一圈正好是100米，現沿花壇外圈每隔5米放一大盆花，一共可以放多少盆？解：根據題意得：

100÷5=20（盆）答：一共可以放20盆。解題思路：封閉路線棵數=段數=總長（周長）÷棵距

9.典型應用題·雞兔同籠問題例1：雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？解：根據題意得：兔：（170-2×50）÷2=35（只）雞：50-35=15（只）或雞：（4×50-170）÷2=15（只）免：50-15=35（只）答：雞有15只，兔有35只。解題思路：算術解法解答這類問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是雞或全是兔），然后根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。

1、假設全是雞，則免的只數=（總腿數-2×總頭數）÷22、假設全是兔，則雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2

9.典型應用題·雞兔同籠問題例2：雞兔同籠，共20個頭，58條腿。雞、兔各有多少只？解：設有x只兔，則有(20-x）只雞，根據題意得：4x+2×（20-x）=584x+40-2x=584x-2x=58-402x=18x=9

雞：20-9=11（只）答：雞有11只，兔有9只。10.典型應用題·搭配問題例1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以詳細汽車，還可以乘輪船。已知有8趟火車、6班汽車、4班輪船。問：在天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，有多少種不同的走法？解：根據題意得：

8＋6＋4=18（種）答：有18種不同的走法。解題思路：加法原理做一件事的各種方法分成好幾類，而且每一類中的任何一種方法都難完成這件事，那么完成這件事的方法，就是把每一類中的方法相加。

10.典型應用題·搭配問題例2：用0、1、2、3四個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？解：先確定百位，可以從1、2、3三個數字中任取一個，有3種方法；再確定十位，可從余下的三個數字中任先取一個，有3種方法，最后確定個位，可以從余下的兩個數字中任取一個，有2種方法。根據乘法原理，可組成的三位數字共有3×3×2=18（種）。答：用0、1、2、3四個數字可以組成18個沒有重復數字的三位數。解題思路：乘法原理當一項工作可以分成若干步完成時，將每一步的可選擇數相乘便得到完成這項工作所有可選擇的個數。10.典型應用題·搭配問題例2：用0、1、2、3四個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？解：先確定百位，可以從1、2、3三個數字中任取一個，有3種方法；再確定十位，可從余下的三個數字中任先取一個，有3種方法，最后確定個位，可以從余下的兩個數字中任取一個，有2種方法。根據乘法原理，可組成的三位數字共有3×3×2=18（種）。答：用0、1、2、3四個數字可以組成18個沒有重復數字的三位數。解題思路：乘法原理當一項工作可以分成若干步完成時，將每一步的可選擇數相乘便得到完成這項工作所有可選擇的個數。11.分數、百分數應用題類型：求一個數是另一個的幾分之幾（或百分之幾）。意義：已知標準量和比較量，求比較量是標準量的幾分之幾（或百分之幾）。結果是一“分率”（或百分數）。公式：比較量÷標準量=分率示例：六（1）班有學生17人，其中女生10人，女生占全班人數的幾分之幾（或百分之幾）？11.分數、百分數應用題類型：求一個數比另一個數增加或減少百分之幾。意義：正確判斷哪個量是標準量，再用相差的部分與它去比。公式：增加（或減少）量÷標準量=增加（或減少）的分率示例：六（1）班有男同學7人，女同學10人。男同學比女同學少百分之幾？11.分數、百分數應用題類型：求一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少。意義：已知單位“1”的量（標準量）和分率，求與分率所對應的實際量（比較量）。結果為一個確定的數值。公式：

標準量×分率=比較量標準量×（1±原分率）=比較量示例1：一工人要生產300個零件，已完成了，他已經做了多少個零件？示例2：去年計劃植樹800棵，結果超過原計劃的10%，實際植樹多少棵？11.分數、百分數應用題類型：已知一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少，求這個數。意義：已知比較量和分率，求單位“1”的量（標準量）。結果為一個確定的數值。公式：算術解法：比較量×分率=標準量方程解法：ⅹ·分率=比較量（設標準量為ⅹ）示例：有兩根繩，甲繩長2米，比乙繩短，乙繩長多少米？12.工程問題公式：

工作總量÷工作時間=工作效率工作總量÷工作效率（效率和）=工作時間（合作時間）

工作效率×工作時間=工作總量示例：一項工程，甲獨做要10天，乙獨做要15天，丙獨做要20天。三人合做，多少天可以完成這項工程？現甲乙合做3天，剩下的由丙單獨做，還需幾天完成？現先由甲獨做3天后，再由三人合做，還需幾天完成？13.折扣問題意義：百分數應用題的一種。買賣貨物時，照標價減到原來的十分之幾，稱為幾折，這樣的問題就是折扣問題。公式：折扣價=原價×折扣示例：一件衣服原價120元，現按八折出售，現價是多少元？14.利率問題意義：利率是金融用詞，又稱“利息率”，它表示一定時間內利息數與本金的比值。公式：利息=本金×利率×時間稅后利息=本金×利率×時間×（1-稅率）示例：王叔叔把3000元存入銀行，定期兩年，年利率是2.25%，到期時他可獲本金、利息一共多少錢？15.濃度問題示例：在濃度為10%質量為80克的鹽水中，加入多少克水，就能得到濃度為8%的鹽水？分析：此題的變化過程中，由于鹽的質量沒有變，可知現在鹽占鹽水的8%，可先求出鹽的質量，再求出濃度為8%的鹽水的質量，再用濃度為8%的鹽水的質量減去濃度為10%的鹽水的質量得到加入水的質量。解：根據題意得：原來鹽的質量：80×10%=8（克）現在鹽水的質量：8÷8%=100（克）加入水的質量：100-80=20（克）答：加入20克水就能得到濃度為8%的鹽水。

觀察下面算式，想一想，說一說怎樣計算可以又快又準確。499+37+50125×78×4125×（80+8）101×69723×4×10×25377+648－177我們學過哪些整數運算的運算律？用字母表示出來。運算定律公式1、加法交換律：a＋b=b＋a2、加法結合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c)3、乘法交換律：a×b=b×a4、乘法結合律：a×b×c=a×(b×c)5、乘法分配律：a×（b±c）=a×b±a×c)6、減法的性質：a-b-c=a-(b＋c)舉一些例子驗證這些運算律。（2+3）+4=2+（3+4）=一共有多少？。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4×5或5×4面積是多少？可以是：4×（5+3）也可以是：4×5+4×3

整數運算律在小數、分數運算中成立嗎？舉例說明。1.（3.98+5.7）+6.02=（3.98+6.02）+5.73.每千克蘋果2.5元，每千克香蕉1.8元，各買3千克，可以是2.5×3+1.8×3，也可以是（2.5+1.8）×32.+=+38385858兩種水果各買4箱，共需要多少元？

方法一：26×4+74×4=104+296=400（元）方法二：（26+74）×4=100×4=400（元）答：共需400元。（1）8÷2=44÷2=22÷2=11÷2=？（2）4－2=23－2=12－2=01－2=？這個結果是整數嗎？這個結果是多少？這個結果是正數或零嗎？這個結果是多少？數的擴充（二）從數的運算來看，任何兩個正整數相加，結果仍然是正整數，我們說加法運算在正整數范圍內是“通行無阻”的。但是，任何兩個正整數相減，結果卻不一定是正整數，有了0和負數，減法運算在整數范圍內也就沒有“障礙”了。同樣，一個整數乘一個整數，結果還是整數，但是，一個整數除以另一個整數，結果不一定是整數，于是又有了分數……由此可見，滿足運算的需要，是數的擴充的另一個重要原因。代數初步用字母表示數方程探索規律正比例、反比例

在含有字母的式子里，數字和字母中間的乘號可以記作“·”，也可以省略不寫。當1與任何字母相乘時，“1”省略不寫。在省略乘號時，應當把數字寫在字母前面。不能寫成X5。想一想：正方形的周長：c=a

4

可以簡寫成。C=4a如：x

5

簡寫成：5·x

或5x5x要注意：

表示兩個a相乘。a2

=a×a讀作“a的平方”，

a2=a

a2a=2

a=a

2{a2比較a2與2a的區別：

想一想：x2讀作什么？表示什么？

a2不能寫成a2哦！請認真觀察一下：

a2的“2”在大小上和位置上有什么特點？做一做（1）省略乘號，寫出下面各式。ax=xx=x3=5a=axx25a3x（2）如果用a表示長方形的長,b表示寬，那么這個長方形的面積s=這個長方形的周長c=2(a+b)ab練習一、判斷題：

1.x

×1=x

()

4.8×2=82()

2.4+a=4a()

3.10×2=102()×

××二、選擇題：

a2表示

()

B.2個a相除D.2個a相乘C.2個a相減A.2個a相加D思考題

游樂園成人門票每張s元，兒童門票的價錢是成人門票的一半。買一張兒童門票需要（）元。

我想：我班有2位老師參加，要門票費（）元；有35個同學參加，要門票費（）元；我班老師和同學一共要門票費（）元。s÷22s(s÷2)×352s+(s÷2)×35日記：

游樂園學校買來9個足球，每個a元，又買來b個籃球，每個45元。

9a表示（）

45b表示（）45b-9a表示（）9a+45b表示（）下面說法對嗎？a+5可以寫成5a。（）1×d可以寫成d。（）b×c可以寫成b·c，也可以寫成bc。（）b×b可以寫成2b。（）×√√×口答：1.一箱蘋果重10千克，吃了X千克，還剩多少千克？2.一本練習本的價錢是0.6元，買B本應付多少元？3.一本練習本的價錢是a元，買b本應付多少元？4.食堂有X噸煤，共燒了5個月，平均每個月燒多少噸？說一說下面的式子所表示意義1.一輛公共汽車上有乘客36人，到站后下車a人。“36-a”表示什么？2.學校買來X個小足球，每個24.5元。“24.5×X”表示什么？3.甲、乙兩地相距86千米，一輛汽車從甲地到乙地行駛了X小時。“86÷X”表示什么？？思考題：

當x=6時，x2和2x各等于多少？當x的值是多少時，x2和2x正好相等？復習提綱一：1、什么是方程？方程必須具備什么條件？2、方程與等式有什么關系？3、淘氣說“解方程就是方程的解”，你同意他的說法嗎？為什么？復習提綱一：4、解下列方程，說說你是怎么解的。

9Ⅹ－1.8＝5.4＝2檢驗一下，做對了沒有？復習提綱二：1、列方程解決實際問題時，要先根據題意找出（）。2、根據句子找出等量關系：①男生比女生多8人。②白兔比黑兔的3倍多5只。③桃樹比梨樹多。

④降價40%。⑤等底等高的圓柱和圓錐的體積我能行：一、下面的式子,哪些是方程?哪些不是方程?為什么?0.5-0.5x=02x-167×0.3+0.4=2.5X+0.75>65x-4x=27×0.3+x=2.5二、解方程。0.42×6＋3Ⅹ＝4.267Ⅹ÷3＝819%Ⅹ－Ⅹ＝1三、看圖列方程。120米Ⅹ女工男工160人？人復習：1、什么是正比例的量與正比例關系？2、什么是反比例的量與反比例關系？思考：正比例關系與反比例關系有什么相同點和不同點？你能利用自己的語言描述出來，并填出下表：正比例關系反比例關系相同點

不同點正比例和反比例的關系：yx＝K（一定）x×y=k（一定）

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。比值(也就是商)一定積一定

觀察下面的兩個表，再回答問題。路程（千米）時間（時）511022555010速度（千米/時）時間（時）100150220510101、表中各有哪兩種相關聯的量？2、在各表的兩種相關聯的量中，一種量是怎樣隨著另一種量的變化而變化的？它們的變化規律各有什么特征？3、哪個表中的兩種量成正比例關系？哪個表中的兩種量成反比例關系？速度、時間、路程速度×時間=路程

當速度一定時，也就是路程和時間的比的比值一定，路程和時間成正比例。

當路程一定時，也就是速度和時間的乘積一定，速度和時間成反比例。

當時間一定時，也就是路程和速度的什么一定，這時，路程和速度成什么比例？路程時間＝速度路程速度＝時間024681012150306090120180路程（千米）時間（時）●●●●●246810120150306090120180速度（千米/時）時間（時）●●●●●ABAB正比例關系反比例關系1、

判斷下面的兩種量成不成比例？成什么比例？1)

每小時織布米數一定，織布的總米數和時間2)

生產總量一定，每天生產量和天數3)

平行四邊形面積一定，它的底和高4)

一輛汽車的載重量一定，運送貨物的總量與運的次數5)

一個人的年齡與他的體重6)

正方形的邊長和面積

2、長方形的長、寬和面積三種量，如果長是一定的，寬和面積成正比例關系。說出這三種量在什么條件下還能組成比例關系，是哪種比例關系。寬一定，長和面積成正比例關系面積一定，長和寬成反比例關系3、A、B、C表示三個量，如果A×B＝C，那么：C一定，A和B成（）比例B一定，A和C成（）比例A一定，B和C成（）比例反正正在單價、數量、總價三種量中，（）一定，（）和（）成（）比例（）一定，（）和（）成（）比例（）一定，（）和（）成（）比例單價數量總價正數量數量單價單價總價總價正反4、判斷1）全班的學生人數一定，每組的人數和組數成反比例（

）2）訂閱《小學語文學習》的總份數和總錢數成正比例（）3）

和一定，加數和另一個加數成反比例（）4）三角形面積一定，它的底和高不成比例（

）5）

一條繩子的長度一定，剪去的部分和剩下的部分不成比例（）×√√√×小結：1、正、反比例的相同點和不同點。2、判斷成正、反比例的步驟：（1）判斷兩種量是不是相關聯的量；（2）根據相關聯的量與第三個量的關系列數量關系式；（3）根據關系式定結果：商一定，為正比例關系；積一定，為反比例關系。12456789261012161836121518212427481220242832365101520303540456122430364248547212835424956631624324048566472每行、每列都是某數的倍數。AB=8（一定），A、B成反比例。前一個數+3=后一個數平方立方前兩個數的和=第三個數3620266421639102106+4×36+4×46+4×（n-1）=6+4n－4=2+4n6+4×16+4×020÷5=4沒有余數，說明是最后一個球的顏色，黃色。27÷5=5……2余數是2，說明是第二個球的顏色，黃色。11+21+2+31+2+3+41+2+3+4+51+2+3+4+5+6+7+8方法1：2+3+4+9+10+11+16+17+18=900方法2：10-8+10-7+10-6+10-1+10+10+1+10+6+10+7+10+8=90010－710+710+110－110－1－710－1+710+1－710+1+7所以9個數之和是中間的數的9倍。成立。方法3：如果用字母A表示中間的數，那么這九個數的和就是9A。空間與圖形圖形的認識圖形與測量圖形與變換圖形與位置圖形的認識線與角平面圖形立體圖形回顧學過的線有哪幾種？（直線射線線段）角有哪幾種？（直角銳角鈍角平角周角）判斷下面的圖形各是什么？思考：直線、射線、線段有什么區別？直線：沒有端點，無限長射線：有一個端點，向一端無限延長線段：有兩個端點，可以度量長度線段、射線都是直線的一部分做一做過一點可以畫幾條直線？過兩點呢？（動手畫一畫）過一點可以畫無數條直線，過兩點只能畫一條直線同一平面內兩條直線有幾種位置關系？相交、平行（重合）互相垂直

一般相交（不垂直）討論：什么叫互相垂直？什么叫平行線？1）兩條直線相交成直角時叫做互相垂直（其中一條直線叫做另一條直線的垂線）

（這兩條直線的交點叫垂足）2）同一平面內不相交的兩條直線叫平行線其中一條直線叫做另一條直線的平行線平行線間的距離有什么特點？（平行線間的距離處處相等）做一做（過直線外一點做已知直線的垂線和平行線）M

點到直線的垂線段的長度叫點到直線的距離什么是角？（由一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角）角的大小與什么有關？（角的大小與兩邊叉開的大小有關，與兩邊的長短無關）按角的度數，角可分為哪幾類？

（銳角、直角、鈍角、平角、周角）銳角直角鈍角平角周角＜900=900＜1800900＜=1800=3600（）個周角=2個平角=（）個直角140°＜1、量角器的中心點與角的一邊重合。2、量角器的零刻度線與角的一邊重合。3、角的另一邊所對的量角器的刻度線就是這個角的度數。如何畫角

判斷正誤：1.直線比射線長。()2.不相交的兩條直線叫做平行線。()3.平角是一條直線。(

4.一個角的兩邊畫得越長，這個角越大。()5.兩條直線相交成的四個角中如果有一個是直角，那么其他三個也是直角。()√×××√6、用一個10倍的放大鏡看一個15度的角是150度。（）7、大于90度的角叫鈍角。（）8、兩點之間線段最短。（）9、經過兩點可以做無數條直線10、鐘表的分針旋轉一周，時針旋轉30（）√×√×°√

1、畫一個80°的角

2（1）量一量下面的角是多少度（2）過一條邊上一點A作另一邊的垂線（3）過另一條邊外一點B作另一邊的平行線。

Ａ

B．．找一找1、三角形和四邊形。1、什么樣的圖形是三角形？由三條線段圍成的圖形叫做三角形。2、什么樣的圖形是四邊形？由四線段圍成的圖形叫做四邊形。3、三角形和四邊形各有什么特點？三角形具有穩定性的特點，而四邊形則沒有。2、三角形的分類（按角分）直角三角形銳角三角形鈍角三角形有一個角為直角三個角都是銳角有一個角為鈍角三角形內角和是180°。2、三角形的分類（按邊分）等腰三角形三角形等邊三角形不等邊三角形：三條邊都不相等等腰三角形：只有兩條邊相等等邊三角形（又稱正三角形）：三條邊都相等對邊相等兩組對邊分別平行有四個直角互相平行練習垂直3、長方形四邊相等兩組對邊分別平行有四個直角互相平行練習垂直4、正方形兩組對邊分別相等且平行5、平行四邊形高底5、平行四邊形上底下底高腰腰只有一組對邊平行6、梯形四邊形四邊相等兩組對邊分別相等只有一組對邊平行兩組對邊分別平行有四個直角正方形√√√√長方形√√√平行四邊形√√梯形√在下表內適當的空格內填上“√”，再說一說幾種圖形之間的聯系和區別。聯系區別四邊形平行四邊形長方形正方形梯形7、幾種平面圖形的關系圓心O半徑r

連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。有無數條半徑，長度都相等。同圓內，圓

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。有無數條直徑，長度也都相等。d=2r

或

r=

d2（曲線圖形）直徑d

長a寬b高h棱長a長方體正方體圓錐圓柱高h高h底面半徑r底面半徑r我們學過哪些立體圖形名稱圖形特征長方體正方體圓柱圓錐有6個面，每個面一般是長方形，特殊兩個面是正方形，相對的兩個面面積相等。有12條棱，相對的四條棱互相平行且相等。有8個頂點。有6個面，每個面都是正方形，每個面面積都相等。有12條棱，每條棱長度都相等。有8個頂點。有兩個底面，是相等的兩個圓。有一個側面，是個曲面，沿高展開一般是個長方形。（當底面周長和高相等時是正方形。）有無數條高，每條高長度都相等。有一個底面，是個圓形。有一個側面，是個曲面，展開是個扇形。有一個頂點。有一條高。長方體的表面積=（上面+前面+側面）×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2S=（ab+ah+bh）×2下面前面后面左面右面上面正方體的表面積=一個面的面積×6S=a2×

6圓柱的表面積=側面積+底面積×2S=ch+2∏r2底面周長高底面底面側面長方體從正面看從左邊看從上面看從不同的方向看從正面看從左面看從上面看從不同的方向看從正面看從左面看從上面看從不同的方向看從正道面看從左面看從上面看從不同的方向看從上面看從左面看從正面看主視圖左視圖俯視圖從不同的方向看從你所在的位置看這組幾何體，看到的是什么樣子？能否把你所看到的樣子畫下來？從不同的方向看俯視圖左視圖主視圖從不同的方向看俯視圖左視圖正視圖從不同的方向看