超變分總則化圖像盲復原的研究

1總變分基礎設施方法在圖像、傳輸和顯示過程中，圖像不可避免地會退化。許多應用需要清晰、高質量的圖像。因此，圖像復原具有重要意義。由于點擴散函數(PointSpreadFunction,PSF)常常是未知的,所以維納濾波等傳統的非盲復原算法的應用受到了限制,針對PSF的不確定性,國內外提出了許多種圖像盲復原的算法,包括貝葉斯估計算法、正則化約束方法等。這些算法都取得了一定的成效,其中總變分最小化法以其允許圖像存在邊緣、紋理等重要的不連續特征的特點而備受關注。近年來,利用變分最小化方法研究圖像恢復問題取得了許多突破性的成果。由Rudin,Osher以及Fatemi于1992年提出的ROF模型成功地用于去噪,而后在圖像恢復領域中得到了進一步的發展。Chan和Wong提出的總變分模型,很好地解決了邊緣模糊問題,但是該模型的算法收斂速度慢,計算量較大;HaiyongLiao等對Chan和Wong的總變分模型的正則項做了改進,提出采用總變分作為圖像正則項和拉普拉斯平滑算子作為PSF的正則項對圖像做盲復原,實驗結果顯示該方法能成功地獲得更高質量的圖像,但是不可避免地會產生塊效應。GiannisChantas等利用總變分建立一個先驗模型,再結合貝葉斯公式,估計其原始圖像,該方法成功地解決了參數估計問題,得到的圖像質量也有明顯提高,但是由于概率的不確定性,使得在圖像的邊緣處產生一些毛刺,影響圖像的恢復效果。針對這些不足,本文提出一種自適應閾值的超變分正則項最小化算法,并利用半二次規整化及輔助變量解決總變分微分難以計算的問題,提高了算法的效率。2基于超變分的盲回歸模型的構建2.1觀察圖像和正則項圖像退化過程可描述為g=h*f+n,其中f表示原始真實圖像,g表示退化圖像,h表示模糊算子,即PSF,n表示高斯白噪聲。圖像盲恢復是在不知道PSF的情況下,根據退化圖像來獲取高質量的圖像,以便進一步觀察或處理。依據最大似然原理,通過求解如下變分問題可以得到真實圖像的最小二乘逼近:上式中,g,h,u分別表示退化圖像、模糊算子和恢復圖像。該式對積分求下確界能保證恢復后的圖像u滿足h*u→g。但是由于噪聲的影響使得該問題在數學上是一個病態問題,因此需要引入正則項,使問題化為良態。正則項有拉普拉斯正則項、總變分正則項等,其中由總變分(TV:TotalVariation)正則項所得到的TV模型為:式中為圖像的總變分,右邊的第一項稱為保真項,主要用來使得修復后的圖像u與觀察圖像g在一定程度上相近似。第二、三項分別為圖像u和點擴散函數h的正則項,主要用來保證u和h有一定的光滑性。2.2超變分正則化盲模型在圖像去噪中,總變分雖然能很好地保持邊緣,但是它同時會產生塊效應。而ROF變分模型能夠避免塊效應,基于此,本文提出了超變分正則化盲復原模型,如式(3)所示:式(3)中圖像的正則項采用混合變分正則項(又稱超變分正則項),當圖像中某點的梯度大于某一個值(閾值),說明該點處于圖像的邊緣,應盡量保持;而當梯度小于某一個值,說明該點處于圖像的平滑區,應重點去噪。式(3)中函數φ的形式定義為:其中Th為閾值,它根據圖像的噪聲自適應地選取。3算法的求解和分析這里主要對上節式(3)所描述的模型進行分析、求解及實驗驗證。3.1半二次規則轉化求解代價函數式(3)的迭代求解涉及到復雜矩陣的L1-范數求導的問題,通過引進3個輔助變量z,w,k將式(3)轉化成等價的易于求解的形式,如式(5)所示。該式中,只需對簡單矩陣的L1-范數求導:式(5)中,當參數λ,β,γ→∞,minJ必然會導致‖z-(h*u-g)‖2→0,‖wi-ue065iu‖2→0,‖kj-ue065jh‖2→0;也就是說式(5)的代價函數等效于式(3)的代價函數。依據半二次規整化理論,對式(5)按順序w→z→u→k→h交替最小化求解,求解方法都是先對變量求偏導,并令其偏導數等于零,然后解出變量的表達式。其中求解過程中會遇到形如下式的求解,傳統的解法是用上一次迭代的變量代替要求解的量,即Xn+1=2aT-ue065Xn,因而在每一步迭代中都存在很小的誤差,致使整個復原過程會產生不可忽略的累計誤差,影響最終的復原效果。本文采用文獻的方法,避免使用近似,解出其準確結果。其中需要用到如下式的偏微分:3.1.1w的優化由式(4)知,φ只有2個值,因此w的優化只需分2種情況:φ=2時w的優化表達式為:φ=1時w的優化表達式為:3.1.2傅立葉變換方程u的優化表達式為:轉換成頻域表達式后可解出u的優化表達式:其中H,G,Z,D,W分別表示h,g,z,▽,w的傅立葉變換,上標“*”表示矩陣的共軛,F-1表示逆傅立葉變換。k的優化表達式為:h的優化表達式為:3.2圖像的梯度值去噪算法的思想是對圖像邊緣進行重點恢復,對圖像的平滑區進行重點去噪,而圖像的高頻量主要由其邊緣及噪聲共同決定,因此閾值的選擇應盡可能地分離邊緣和噪聲。對于標準差是δ的高斯噪聲而言,處在區間[-δ,δ]的噪聲的概率達到0.68,也就是說大于δ的噪聲只是少部分,因此,圖像的梯度值大于δ的絕大部分應予以保留銳化;而圖像的梯度值比較小的部分受噪聲影響較大,需主要實施去噪。基于上述討論,本文實驗中Th取為:圖像噪聲的標準差可通過小波變換中值估計法直接得到:其中,HH1是小波變換第一層對角方向的高頻子帶。3.3處理算法參數和算法流程3.3.1psf正則項及約束圖像的初始值可設為模糊圖像g,點擴散函數的初始值可設為Dirac函數,即h(x,y)=δ(x,y);點擴散函數的支持域需要事先估計。正如3.1小節中已描述的,當λ,β,γ→∞時,代價函數式(5)與代價函數式(3)等價。但是λ,β,γ越大,收斂速度越慢。為了兼顧收斂速度并保證式(5)與式(3)等價,本文算法設定λ,β,γ為遞增序列,初始值為1,其最大值為106~107。每一次u,h的內部循環結束后,它們的值分別修改為:λ=3λ(u的內循環);β=3β(u的內循環);γ=3γ(h的內循環)。參數α1,α2決定保真項與正則項在最優化過程中所占的比重。其中α1是圖像正則項的系數,它是由噪聲決定的,隨著噪聲方差的增大而增大;α2是PSF正則項的系數,影響收斂速度及恢復效果,α2越大,收斂速度越快,但是復原效果變差。因此迭代過程中應合理地選擇參數α1,α2的值,具體可參考文獻[10-11]。3.3.2算法流程由前面優化過程所述,本文算法分內外兩層,流程如圖1所示。4其他算法實驗結果為了說明本文算法的有效性及優越性,本文用合成的退化圖像和真實的退化圖像做了大量的實驗,部分實驗如下所述。為了便于比較,在給出本文算法的實驗結果之外,還給出另外2種算法的實驗結果,一種是文獻所提出的CrossValidation總變分盲復原算法;另外一種是文獻所提出的基于總變分先驗模型的貝葉斯盲復原算法。對于復原圖像的質量評價,采用客觀評價因子改善信噪比(ISNR)、灰度平均梯度值(GMG)和圖像熵(Entropy)結合主觀評價共同評測。其中f,g,u分別為原始圖像、觀察圖像及復原圖像,M×N為圖像的尺寸,p(i,j)為像素概率。4.1閾值th的恢復應用本文算法對圖2(a)的模擬降質圖像進行盲復原,由于圖像各點的梯度值|▽u|∈,因此閾值選擇500,-1,1.2δ3種情況,以驗證算法的性能。當閾值Th=500時,對所有像素而言,取φ=2,算法重點去噪,同時使得邊緣模糊化,恢復后的圖像效果不佳,如圖2(b)、2(c)所示。當閾值Th=-1時,對所有像素而言,取φ=1,算法重點保持邊緣,但是,這時候算法把噪聲所形成的虛假邊緣也當成了真實的邊緣,因此恢復后的圖像產生了嚴重的塊效應,如圖2(d)、2(e)所示。當閾值Th=1.2δ時,對梯度值大于閾值的像素,取φ=1,算法主要保持邊緣;而對梯度值小于閾值的像素,取φ=2,算法主要平滑去噪,因此,恢復后圖像邊緣得以保持且塊效應大大減少,如圖2(f)、2(g)所示。對比圖像2(e)和2(g)可以發現Lena圖像的帽沿和臉部的塊效應明顯減少,因此恢復圖像的ISNR相應地增大,相關數據見表1。為了驗證閾值的最佳性,取閾值區間為,間隔為1;閾值區間為,間隔為10,共計55個閾值對圖2(a)分別進行盲復原。圖3的曲線圖顯示了圖2(a)在不同閾值下的ISNR。由圖3可以看出,ISNR的最大值出現在閾值Th=8附近,而由小波變換中值估計法得到圖2(a)的噪聲標準差為7.413,因此,這與式(14)提出的閾值估計是吻合的。4.2不同算法恢復圖像效果對比圖片選自標準圖像庫256×256的Cameraman,128×128的FH二值圖,對它們分別施加模糊并附加一定量的噪聲,如圖4(a)所示。Cameraman的模糊算子是模糊長度為12的運動模糊;FH的模糊算子是大小7×7,方差為5的高斯模糊。對產生的模糊圖像分別用文獻、文獻和本文算法進行復原。本文算法中的閾值如上一小節所述,取為1.2δ。3種算法的恢復圖像見圖4。表2給出了各算法恢復圖像的ISNR。從恢復效果來看,本文算法和其它2種算法所得到的恢復圖像景物都比較清晰,對比度和細節都得到明顯提高,獲得了較好的視覺效果。文獻的算法所得到的復原圖像的塊效應明顯;文獻的算法在邊緣處產生了毛刺,而本文算法由于采用半二次規整化及增加輔助變量來求解總變分的偏導,避免了變量的近似,提高了復原效果,并且采用自適應閾值法減少了塊效應,因此所得到的復原圖像效果最佳。表2的數據也說明了這一點。4.3種常用重建算法的對比為檢驗算法對真實模糊圖像的復原程度,本文選用相機拍攝的模糊圖片,如圖5(a)所示。先估計PSF的支持域半徑得到其大小為7.826,取半徑為8,分別采用文獻、文獻及本文算法進行盲恢復。恢復效果分別如圖5(b)、5(c)、5(d)所示。對比其放大圖來看,雖然3種復原算法的恢復圖像都獲得了一定程度的恢復,但是本文算法在細節及紋理上的恢復更顯著,尤其是放大圖中的漢字更易顯示出3種算法的區別。由于沒有原始清晰圖像,因此選用無參考評價因子灰度平均梯度值(GMG)和圖像熵(Entropy)綜合評價圖像質量。GMG能較好地反映圖像的對比度和紋理變化特征,其值越大,表示圖像對比度越大,圖像質量越好;Entropy表示圖像所含有的信息量,Entropy越大,反映圖像的信息量越大,相應地圖像的質量越好。恢復質量見表3的數據。表3的數據結合主觀評價可知,本文算法很好地實現了真實模糊圖像的盲復原。5實驗結果及分析本文針對一階總變分盲復原塊效應嚴重的問題,提出一種自適應閾值的超變分正則項最小化算法,使得恢復后的圖像在保持邊緣的同時塊效應明顯減少。本文方法的成功得益于兩個方面:一是提出了自適應閾值的超變分正則項,并且根據圖像噪聲的標準差選取閾值,使得圖像復原過程中,邊緣區得以保持,平滑區得以去噪,提高了算法的恢復效果。另外一方面,在求解過程中,先引進輔助變量把代價函數轉化成易于計算的形式;然后使用半二次規整化方法迭代最小化求解。這樣克服了傳統方法中過多的使用近似的缺點