江西省新余市渝水區第一中學2023-2024學年數學高一上期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．函數的單調遞增區間是（）A. B.C. D.2．表示不超過x的最大整數，例如，，，．若是函數的零點，則（）A.1 B.2C.3 D.43．已知是角的終邊上的點，則（）A. B.C. D.4．函數的單調減區間為（）A. B.C. D.5．若、是全集真子集，則下列四個命題①；②；③；④中與命題等價的有A.1個 B.2個C.3個 D.4個6．設，則的大小關系為（）A. B.C. D.7．定義在上的偶函數的圖象關于直線對稱，當時，．若方程且根的個數大于3，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（）A.B.f（x）的圖象關于直線對稱C.f（x）在[－，－]上單調遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象9．若為所在平面內一點，，則形狀是A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.以上答案均錯10．已知在海中一孤島的周圍有兩個觀察站，且觀察站在島的正北5海里處，觀察站在島的正西方.現在海面上有一船，在點測得其在南偏西60°方向相距4海里處，在點測得其在北偏西30°方向，則兩個觀察站與的距離為A. B.C. D.11．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12．已知函數是定義在R上的周期為2的偶函數，當時，，則A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．若函數是定義在上的偶函數，當時，．則當時，______，若，則實數的取值范圍是_______.14．已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，，，，，則__________15．天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點距離地面的高度為120m，開啟后按逆時針方向勻速轉動，每30轉動一圈．喜歡拍照的南鳶同學想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉動一圈的過程中，南鳶同學可以拍到最美景色的時間是_________分鐘16．設函數，則____________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設，函數（1）若，判斷并證明函數的單調性；（2）若，函數在區間（）上的取值范圍是（），求的范圍18．已知函數（1）化簡并求的值；（2）若是第三象限角，且，求19．設集合，.（1）若，求；（2）若，求m的取值范圍；20．如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側棱與底面所成的角的正切值為（1）求側面與底面所成的二面角的大小；（2）若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；21．已知函數，函數的最小正周期為，是函數的一條對稱軸.（1）求函數的對稱中心和單調區間；（2）若，求函數在的最大值和最小值，并寫出對應的的值22．在①函數為奇函數；②當時，；③是函數的一個零點這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答，已知函數，的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，______.（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的單調遞增區間.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】根據誘導公式變性后，利用正弦函數的遞減區間可得結果.【詳解】因為，由，得，所以函數的單調遞增區間是.故選：C2、B【解析】利用零點存在性定理判斷的范圍，從而求得.【詳解】在上遞增，，所以，所以.故選：B3、A【解析】根據三角函數的定義求解即可.【詳解】因為為角終邊上的一點，所以，，，所以故選：A4、A【解析】先求得函數的定義域，利用二次函數的性質求得函數的單調區間，結合復合函數單調性的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，即函數的定義域為，令，可得其圖象開口向下，對稱軸的方程為，當時，函數單調遞增，又由函數在定義域上為單調遞減函數，結合復合函數的單調性的判定方法，可得函數的單調減區間為.故選：A.5、B【解析】直接根據集合的交集、并集、補集的定義判斷集合間的關系，從而求出結論【詳解】解：由得Venn圖，①；②；③；④；故和命題等價的有①③，故選：B【點睛】本題主要考查集合的包含關系的判斷及應用，考查集合的基本運算，考查了Venn圖的應用，屬于基礎題6、D【解析】利用指數函數與對數函數的性質，即可得出的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查的是有關指數冪和對數值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數函數和對數函數的單調性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數的大小關系，常用方法：（1）利用指數函數的單調性：，當時，函數遞增；當時，函數遞減；（2）利用對數函數的單調性：，當時，函數遞增；當時，函數遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.7、D【解析】由題設，可得解析式且為周期為4的函數，再將問題轉化為與交點個數大于3個，討論參數a判斷交點個數，進而畫出和的圖象，應用數形結合法有符合題設，即可求范圍.【詳解】由題設，，即，所以是周期為4的函數，若，則，故，所以，要使且根的個數大于3，即與交點個數大于3個，又恒過，當時，在上，在上且在上遞減，此時與只有一個交點，所以.綜上，、的圖象如下所示，要使交點個數大于3個，則，可得.故選：D【點睛】關鍵點點睛：根據已知條件分析出的周期性，并求出上的解析式，將問題轉化為兩個函數的交點個數問題，結合對數函數的性質分析a的范圍，最后根據交點個數情況，應用數形結合進一步縮小參數的范圍.8、C【解析】先根據圖像求出即可判斷A，利用正弦函數的對稱軸及單調性即可判斷BC，通過平移變換即可判斷D.【詳解】根據函數的部分圖象，可得所以，故A正確；利用五點法作圖，可得，可得，所以，令x，求得，為最小值，故函數的圖象關于直線對稱，故B正確：當時，，函數f（x）沒有單調性，故C錯誤；把f（x）的圖象向右平移個單位可得的圖象，故D正確故選：C.9、A【解析】根據向量的減法運算可化簡已知等式為，從而得到三角形的中線和底邊垂直，從而得到三角形形狀.詳解】三角形的中線和底邊垂直是等腰三角形本題正確選項：【點睛】本題考查求解三角形形狀的問題，關鍵是能夠通過向量的線性運算得到數量積關系，根據數量積為零求得垂直關系.10、D【解析】畫出如下示意圖由題意可得，，又，所以A,B,C,D四點共圓，且AC為直徑、在中，,由余弦定理得，∴∴（其中為圓的半徑）.選D11、A【解析】將代入可判斷充分性,求解方程可判斷必要性,即可得到結果.【詳解】將代入中可得,即“”是“”的充分條件；由可得,即或,所以“”不是“”的必要條件,故選:A.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎題.12、A【解析】依題意有.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、①.②.【解析】根據給定條件利用偶函數的定義即可求出時解析式；再借助函數在單調性即可求解作答.【詳解】因函數是定義在上的偶函數，且當時，，則當時，，，所以當時，；依題意，在上單調遞增，則，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：；14、4【解析】函數f（x）（x∈R）滿足，∴f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，而函數的圖象也關于點（1，0）對稱，∴函數與圖像的交點也關于點（1，0）對稱，∴，∴故答案為：4點睛：本題考查函數零點問題.函數零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原函數為兩個函數，利用兩個函數的交點來求解.本題要充分注意到兩個函數的共性：關于同一點中心對稱.15、10【解析】借助三角函數模型，設，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系，由題意求出解析式，再令，解三角不等式即可得答案.【詳解】解：如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系.設時，南鳶同學位于點，以為終邊的角為，根據摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意，可得，，令，，可得，所以南鳶同學可以拍到最美景色的時間是分鐘，故答案為：10.16、【解析】依據分段函數定義去求的值即可.【詳解】由，可得，則由，可得故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）在上遞增，證明見解析.（2）【解析】（1）根據函數單調性的定義計算的符號，從而判斷出的單調性.（2）對進行分類討論，結合一元二次方程根的分布來求得的范圍.【小問1詳解】，當時，的定義域為，在上遞增，證明如下：任取，由于，所以，所以在上遞增.【小問2詳解】由于，所以，，由知，所以.由于，所以或.當時，由（1）可知在上遞增.所以，從而①有兩個不同的實數根，令，①可化為，其中，所以，，，解得.當時，函數的定義域為，函數在上遞減.若，則，于是，這與矛盾，故舍去.所以，則，于是，兩式相減并化簡得，由于，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】函數在區間上單調，則其值域和單調性有關，若在區間上遞增，則值域為；若在區間上遞減，則值域為.18、（1）；.（2）【解析】（1）根據三角函數的誘導公式，準確運算，求得，進而求得的值；（2）由，得到，，進而求得.【小問1詳解】解：由函數，所以.【小問2詳解】解：因為是第三象限角，且，可得，所以，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）時，求出集合，，從而求出，由此能求出（2）由，，當時，，當時，，由此能求出取值范圍【詳解】解：（1）時，集合，∴，∴或（2）∵集合，，，∴，∴當時，，解得，當時，，解得綜上，的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）取中點，連結、，則是側面與底面所成的二面角，由此能求出側面與底面所成的二面角（2）連結，，則是異面直線與所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線與所成角的正切值【詳解】解：（1）取中點，連結、，正四棱錐中，為底面正方形的中心，，，是側面與底面所成的二面角，側棱與底面所成的角的正切值為，設，得，，，，，側面與底面所成的二面角為（2）為底面正方形的中心，是中點，連結，，是的中點，，是異面直線與所成角（或所成角的補角），，，，，異面直線與所成角的正切值為21、（1）對稱中心是，單調遞增區間是，單調遞減區間是（2）當時，，當時，【解析】（1）由函數的最小正周期，求得，再根據當時，函數取到最值求得，根據函數的性質求對稱中心和單調區間；（2）寫出的解析式，根據定義域，求最值【詳解】（1），，，所以，，對稱中心是，單調遞增區間是，單調遞減區間是（2），，當時，，當時，【點睛】三角函數最值問題要注意整體代換思想的體現，由的取值范圍推斷的取值范圍22、（1）選條件①②③任一個，均有；（2）選條件①②③任一個，函數在上的單調遞增區間均為，.【解析】（1）由相鄰兩條對稱軸間的距離為，得到；再選擇一個條件求解出；（2）由（1）解得的函數，根據