第8章二階電路分析8.1二階電路的零輸入響應(yīng)8.2二階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)8.3一般二階電路

8.1二階電路的零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的原始儲(chǔ)能引起的響應(yīng)。首先研究最簡(jiǎn)單的二階電路,即RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)。設(shè)圖8-1(a)所示電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),開關(guān)S在t=0時(shí)打開,t≥0+時(shí)的電路如圖8-1(b)所示,該電路為RLC串聯(lián)的零輸入電路。由圖8-1(a)可以求出電路的初始條件,即

圖8-1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

解該式,可以求出常數(shù)A1和A2,即

代入式(8-3)即可得出響應(yīng)uC

。

例8-1在圖8-1電路中,已知R1=R=10Ω,US=10V,L=0.16H和C=0.01F,求t≥0+時(shí)的uC

和i。圖8-2例8-1的響應(yīng)曲線

8.1.2臨界阻尼響應(yīng)

8.1.3欠阻尼響應(yīng)

圖8-3欠阻尼響應(yīng)曲線

由分析知道,無論是過阻尼、欠阻尼還是臨界阻尼的響應(yīng)過程,電路中的原始儲(chǔ)能都是逐漸衰減并最后到零。換句話說,電路中的儲(chǔ)能均由電阻消耗了,因此,電阻的大小決定著暫態(tài)過程的長(zhǎng)短。對(duì)于欠阻尼過程來說,如果令R=0,則α=0,于是式(8-9)變?yōu)?/p>

例8-2圖8-4(a)所示電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),在t=0時(shí)打開開關(guān)S,試求t≥0+時(shí)的電壓uC

和電流i。圖8-4例8-1圖

8.2二階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

對(duì)于二階電路來說,當(dāng)激勵(lì)為階躍函數(shù)時(shí),所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為階躍響應(yīng);若激勵(lì)為沖激函數(shù),則響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)。

8.2.1二階電路的階躍響應(yīng)

圖8-5所示為階躍電流源激勵(lì)下的GLC并聯(lián)電路。由階躍函數(shù)的定義知,當(dāng)t<0-時(shí),電路中無儲(chǔ)能,即電容和電感均處于零狀態(tài),所以有uC(0-)=0和iL(0-)=0。

當(dāng)t≥0+時(shí),根據(jù)KCL,有

8.2.2二階電路的沖激響應(yīng)

和一階電路相同,如果二階電路的激勵(lì)為沖激函數(shù),當(dāng)沖激過后,沖激源所攜帶的能量就儲(chǔ)存到儲(chǔ)能元件上,電路的響應(yīng)就是由該能量所引起的響應(yīng)。沖激過后,電路中的外加激勵(lì)為零,此時(shí)的響應(yīng)就是零輸入響應(yīng),即沖激響應(yīng)。所以求沖激響應(yīng)的首要任務(wù)是求沖激源能量的轉(zhuǎn)移,即求電路的初始儲(chǔ)能或初始狀態(tài),其次是求電路的零輸入響應(yīng)。

圖8-6(a)所示為沖激電壓源激勵(lì)的RLC串聯(lián)電路。由于是沖激激勵(lì),所以u(píng)C(0-)=0,i(0-)=0。根據(jù)7.6節(jié)的結(jié)論,電感對(duì)沖激相當(dāng)于開路,電容對(duì)沖激相當(dāng)于短路,則沖激作用在t=0時(shí)刻的等效電路如圖8-6(b)所示,所以有

再根據(jù)電感元件的VCR,有

如圖8-6

可見,沖激所攜帶的能量轉(zhuǎn)移到了電感元件上,沖激使電感電流發(fā)生了躍變。由于在t=0時(shí)流過電容的電流為零,所以電容電壓不可能躍變,則

t≥0+時(shí)的電路如圖8-6(c)所示,該電路為RLC串聯(lián)的零輸入電路。若以u(píng)C

為變量,則該電路的響應(yīng)就是8.1節(jié)所求的零輸入響應(yīng),即根據(jù)特征根的不同沖激響應(yīng)有三種不同的結(jié)果。此時(shí)的初始條件為

例8-3設(shè)電路為欠阻尼情況,試求圖8-7(a)所示電路的沖激響應(yīng)iL。圖8-7例8-2圖

8.3一般二階電路

在實(shí)際中常常會(huì)遇到含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件的任意二階電路,將前面討論的方法用于這樣的電路,其分析的步驟與方法如下:

第一步:設(shè)方程變量,列出電路方程。對(duì)于動(dòng)態(tài)電路來說方程變量必須是狀態(tài)變量uC或iL,并用函數(shù)f(t)統(tǒng)一表示它們,然后根據(jù)KVL、KCL(或第3章的方法)以及支路上的VCR列出電路方程。零輸入電路的方程為二階齊次常微分方程,非零輸入電路的方程是非齊次二階微分方程。

第二步:確定初始條件如果電路中只有階躍激勵(lì),則初始狀態(tài)為零;如果電路只有沖激激勵(lì),則可通過求沖激源能量的轉(zhuǎn)移結(jié)果得到初始狀態(tài)。

第三步:求微分方程對(duì)應(yīng)特征方程的特征根,確定電路自由(暫態(tài))響應(yīng)fn(t)的形式,即為過阻尼響應(yīng)、臨界阻尼響應(yīng)或者欠阻尼響應(yīng)。若電路是零輸入或沖激激勵(lì),則利用初始條件求出響應(yīng)中的兩個(gè)未知常數(shù)便可以得出電路響應(yīng)。

第四步:求出強(qiáng)制(穩(wěn)態(tài))響應(yīng)。如果激勵(lì)是直流,則強(qiáng)制(穩(wěn)態(tài))響應(yīng)為

式中f(∞)為終值或穩(wěn)態(tài)響應(yīng),可以通過電路直接求得。對(duì)于直流激勵(lì)而言,在t→∞時(shí),電容是開路的,電感是短路的。

第五步:求出全響應(yīng)。因?yàn)槿憫?yīng)是強(qiáng)制(穩(wěn)態(tài))響應(yīng)與自由(暫態(tài))響應(yīng)之和,根據(jù)式(8-16),即

可以由初始條件確定全響應(yīng)中的兩個(gè)未知常數(shù),即可得出電路的全響應(yīng)。

例8-4已知圖8-8(a)所示電路已達(dá)穩(wěn)態(tài),t=0時(shí)閉合開關(guān)S,試求uC。圖8-8-例8-3圖

本章研究了含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件的電路,描述這種電路的方程是二階微分方程。由于電路參數(shù)的不同,特征方程的特征根有三種情況,即兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根、兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)

根和一對(duì)共軛復(fù)根。對(duì)應(yīng)的電路響應(yīng)分