PAGE1重難點突破03數列與函數綜合一．選擇題（共20小題）1．（2022?齊齊哈爾二模）已知數列的通項公式是數列的最小項，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：根據題意，設，其導數，，當時，有，則函數為增函數，對于數列，其通項公式，若是數列的最小項，則函數的零點在區間上，則有，解可得，同時有，即，解可得，又由，則有，當時，，當時，，即當時，有，若是數列的最小項，必有，，，，解可得，綜合可得：的取值范圍為，；故選：．2．（2022?宣城模擬）已知數列為等差數列，若，為函數的兩個零點，則A． B．9 C．14 D．20【解答】解：等差數列中，，為函數的兩個零點，，，所以，，或，，當，時，，，，所以．當，時，，，，．故選：．3．（2021?甘肅模擬）數列的前項和為，若點在函數的圖象上，則A．2021 B．4041 C．4042 D．4043【解答】解：將點代入函數得，，又由首項為，公差為的等差數列的前項和公式為：，，解之可得，，所以數列的通項公式即為：，．故選：．4．（2021?賀蘭縣二模）已知函數是定義在上的奇函數，且滿足，數列是首項為1、公差為1的等差數列，則的值為A． B．0 C．1 D．2【解答】解：函數是定義在上的奇函數，，且，又，，故周期為2．令，可得（1），（1）．（1）（2）（3）．數列是首項為1、公差為1的等差數列，，則，故選：．5．（2021?秦州區校級三模）已知等比數列的各項均為正數，公比，設，，則與的大小關系是A． B． C． D．【解答】解：等比數列的各項均為正數，公比，，．．故選：．6．（2020?咸陽三模）若數列為等差數列，為等比數列，且滿足：，，函數滿足且，，，則A． B． C． D．【解答】解：數列為等差數列，為等比數列，且滿足：，，所以（9），函數滿足且，，，（9）（7）（5）（3）（1）．故選：．7．（2023?西城區校級模擬）給定函數f（x），若數列{xn}滿足，則稱數列{xn}為函數f（x）的牛頓數列．已知{xn}為f（x）＝x2﹣x﹣2的牛頓數列，，且a1＝1，xn＞2（n∈N+），數列{an}的前n項和為Sn．則S2023＝（）A．22023﹣1 B．22024﹣1 C． D．【解答】解：由f題意得'（x）＝2x﹣1，則，，則兩邊取對數可得．即an+1＝2an，所以數列{an}是以1為首項，2為公比的等比數列．所以．故選：A．8．（2023?江西模擬）已知函數對任意自變量都有，且函數在，上單調．若數列是公差不為0的等差數列，且，則的前2023項之和是A．8092 B．4046 C．2023 D．0【解答】解：函數對任意自變量都有，函數的圖象關于直線對稱，函數在，上單調，數列是公差不為0的等差數列，且，，，則的前2023項之和為．故選：．9．（2021?云南模擬）已知定義域為正整數集的函數滿足，（1），則數列的前99項和為A． B． C． D．【解答】解：令，，可得（1），則（1），則數列的首項為1，公差為2的等差數列，從而，則，則的前99項和為，，，，，故選：．10．（2021?全國Ⅱ卷模擬）九連環是一個古老的智力游戲，在多部中國古典數學典籍里都有對其解法的探究，在《九章算術》中古人對其解法的研究記載如下：記解連環需要的步驟為，，研究發現是等比數列，已知（1），（2），（3），則A．127 B．128 C．255 D．256【解答】解：因為，（1），（2），（3），所以（2）（1），（3）（2），則，所以數列是首項為4，公比為2的等比數列，則，所以，則．故選：．11．（2023?烏魯木齊模擬）已知函數的定義域為，且滿足（1），對任意實數，都有，若，則中的最大項為A． B． C．和 D．和【解答】解：根據題意可得，可得，令，，而（1），可得，，數列是以首項為，公差的等差數列，，，，當時，；當時，；當時，，中最大項為和，故選：．12．（2023?湖北二模）已知定義在上的函數是奇函數，且滿足，，數列滿足且，則A． B． C．2 D．3【解答】解：函數是奇函數，且滿足，，，即，則，即函數是周期為6的周期函數，由數列滿足且，則，即，則，則，．，等式兩邊同時相乘得．，即，即，即數列的通項公式為，則（1），是奇函數，，，（1），即（1），則（1）．故選：．13．（2023?潤州區校級二模）已知函數，記等差數列的前項和為，若，，則A． B． C．2023 D．4046【解答】解：令，因為，所以為上的增函數，因為，所以是奇函數，因為，，所以，，所以，即，所以．故選：．14．（2023?瀘縣校級模擬）已知函數在上單調，且函數的圖象關于對稱，若數列是公差不為0的等差數列，且，則的前100項的和為A． B． C．0 D．50【解答】解：依題意，由函數的圖象關于對稱，可知函數的圖象關于對稱，數列是公差不為0的等差數列，，，，數列前100項和為．故選：．15．（2022?沙河口區校級模擬）已知函數，記等差數列的前項和為，若，，則A． B． C．2022 D．4044【解答】解：因為，是奇函數，因為，，所以，所以，所以，所以．故選：．16．（2021?鐵嶺一模）已知是上的奇函數，（1），則數列的通項公式為A． B． C． D．【解答】解：在上為奇函數故，代入得：，當時，．令，則，上式即為：．當為偶數時：（1）（1）．當為奇數時：（1）（1）．綜上所述，．故選：．17．（2021?貴州模擬）對于函數，部分與的對應關系如表：123456789375961824數列滿足：，且對于任意，點，都在函數的圖象上，則A．7576 B．7575 C．7569 D．7564【解答】解：由題意可知，（1），（3），（5），（6），所以數列滿足，，，，，則．故選：．18．（2022?臨澧縣校級二模）已知等比數列首項，公比為，前項和為，前項積為，函數，若，則下列結論不正確的是A．為單調遞增的等差數列 B． C．為單調遞增的等比數列 D．使得成立的的最大值為6【解答】解：函數，則，因為，所以，由等比數列的性質可得，所以，所以，由，可得，故正確；因為等比數列首項，公比為，所以，則，故為單調遞減的等差數列，故錯誤；設，則為常數，因為，所以，單調遞減，所以為單調遞增的等比數列，故正確；因為，且，所以，，所以使得成立的的最大值為6，故正確．故選：．19．（2021?大同模擬）已知各項都為正數的等比數列的前項和為，且滿足，，若，為函數的導函數，則（1）A． B． C． D．【解答】解：設等比數列的公比為，，，，且；或（舍．．，．，（1），．令，①則，②①②得：，．即（1）．故選：．20．（2023?山東模擬）已知函數，數列滿足，，，則A．0 B．1 C．675 D．2023【解答】解：函數的定義域為，且，故函數為奇函數，又為上的增函數，因為，所以，，因為數列滿足，，所以，故選：．二．多選題（共2小題）21．（2023?安慶二模）牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用非常廣泛，其定義是：對于函數和數列，若，則稱數列為牛頓數列．已知函數，數列為牛頓數列，且，，，則下列結論中正確的是A． B． C．是等比數列 D．【解答】解：對于，由得，，解得，故正確；對于，因為，所以，所以由可得．由得，，一方面，，另一方面，，因此，故錯誤，對于，于是，即，所以數列是以為首項，2為公比的等比數列，故．故正確．故選：．22．（2023?濟南三模）若為函數的導函數，數列滿足，則稱為“牛頓數列”．已知函數，數列為“牛頓數列”，其中，則A． B．數列是單調遞減數列 C． D．關于的不等式的解有無限個【解答】解：．，則，則，故錯誤，．由，，得，，，，，，，，即，，，即，即，即數列是單調遞減數列，故正確，．，，由，得，，，令，則，則是公比為2的等比數列，，，則，即，即，即，下面用數學歸納法證明：，當時，，命題成立，假設當時，成立，即，則當時，，，命題也成立．命題成立．綜上成立．故正確．．，，，即，，不等式的解有無限個，故正確．故選：．三．填空題（共7小題）23．（2022?碑林區校級一模）定義函數，其中表示不超過的最大整數，例如，，，當，時，的值域為，記集合中元素的個數為，則的值為．【解答】解：根據題意，設，而表示不超過的最大整數，則則函數中在各區間中的元素個數是：1，1，2，3，，；則有，則．故答案為：．24．（2023?九江模擬）著名科學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用廣泛．其定義是：對于函數，若數列滿足，則稱數列為牛頓數列，若函數，，且，則．【解答】解：，，，，即，又，數列為等差數列，公差為，首項為1，．故答案為：．25．（2023?南海區校級模擬）函數的圖像在點，處的切線與軸交點的橫坐標為，且，則21．【解答】解：對函數求導得到，函數的圖像在點，處的切線的斜率是，在點，處的切線方程為：，切線與軸交點的橫坐標為，當時，解得，，數列是一個首項為32，公比為的等比數列，數列的通項公式為，．故答案為：21．26．（2022?徐匯區校級模擬）已知函數，數列滿足，若數列單調遞增，則實數的取值范圍是．【解答】解：數列是遞增數列，又，，且（7）（8），，解得或，故實數的取值范圍是．故答案為：．27．（2022?上饒模擬）已知函數有兩個零點1和2，若數列滿足：，記，且，，則數列的通項公式．【解答】解：由題意得：的兩個根為1和2，由韋達定理得：，所以，則，所以，因為，，所以，所以為等比數列，公比為2，首項為3，所以．故答案為：．28．（2023?玉林三模）已知函數，若函數，數列為等差數列，，則44．【解答】解：由題意，可得，設等差數列的前項和為，公差為，則，解得，則（4），根據等差中項的性質，可得，則，同理可得，，，，，．故答案為：44．29．（2023?寶山區校級模擬）已知函數有兩個零點1，2，數列