新高考數學二輪復習考點突破課件 第1部分 專題突破 專題2　培優點5　平面向量“奔馳定理”（含解析）_第1頁
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培優點5平面向量“奔馳定理”專題二

三角函數與解三角形平面向量是高考的必考考點，它可以和函數、三角、數列、幾何等知識相結合考查.平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用.考點一平面向量“奔馳定理”考點二“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內部)專題強化練內容索引平面向量“奔馳定理”考點一例1√∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.解得m＝4.利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內一點；定理中等式左邊三個向量的系數不是三角形的面積，而是面積之比.易錯提醒跟蹤演練1“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內部)考點二例2考向1

“奔馳定理”與重心依題意，可得56a＝40b＝35c，例3考向2

“奔馳定理”與外心－1依題意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，例4考向3

“奔馳定理”與內心√所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，例5考向4

“奔馳定理”與垂心依題意，可得tanA∶tan

B∶tan

C＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtan

Btan

C，可得6tanA＝6tan3A，因為tanA≠0，所以tanA＝±1.又因為tanA<tanB<tanC，涉及三角形的四心問題時，內心和重心一定在三角形內部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點都在三角形內部，解題時，要注意觀察題目有無這一條件.規律方法跟蹤演練2方法一

據奔馳定理得，方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin2A∶sin2B∶sin2C，專題強化練1.點P在△ABC內部，滿足

，則S△ABC∶S△APC為A.2∶1 B.3∶2

C.3∶1 D.5∶3√12345678根據奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.√1234567812345678根據奔馳定理，√1234567812345678又G為△ABC的重心，√12345678在△ABC中，由余弦定理，

1234567812345678所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，12345678√√123456781234567812345678∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，則b＝2k，c＝3k，設△ABC內切圓半徑為r，外接圓半徑為R，∴a＝4，b＝4，c＝6，123456781234567812345678由奔馳定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，1234567812345678123456

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