第第頁專題22圓錐曲線與重心問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】分別為橢圓的左、右焦點，設，G點是三角形的重心，則，得，又是橢圓E上一動點，，即，又G點是三角形的重心，，所以點G的軌跡方程為，故選：B2．已知是拋物線上三個動點，且的重心為拋物線的焦點，若，兩點均在軸上方，則的斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．【解析】依題意，設，，，由，在軸上方，故，，

因為拋物線為，所以，則，所以，則，注意到，故，即，又，代入可得，故，即，解得，當且僅當時，等號成立，因而.故選：B.3．已知點為雙曲線的虛軸的上頂點，為雙曲線的右焦點，存在斜率為的直線交雙曲線于點兩點，且的重心為點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【解析】，設，設斜率為的直線為，聯立，消去并整理得，，，即，設，，則，，因為的重心為點，所以，，所以，，所以，，消去得，得，得，得，得，得，得，.故選：A4．已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內心，則（

）A． B． C．2 D．【解析】由橢圓可得，，如圖，設的內切圓與三邊分別相切與，，，，分別為的重心和內心．則，，，所以，所以，故選：D5．橢圓的右焦點為，上頂點為，若存在直線與橢圓交于不同兩點，重心為，直線的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】設橢圓的半焦距為，由已知，，設，因為重心為，所以，所以，又，所以，所以，所以直線的斜率，當且僅當時等號成立，又，所以直線的斜率取值范圍是，故選：B.6．設雙曲線的右焦點為，，若直線與的右支交于兩點，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由題意，雙曲線的右焦點為，且，設點為的中點，因為為的重心，所以，即，解得，即，因為直線與的右支交于兩點，則滿足，整理得，解得或（舍去），當離心率為時，即時，可得，此時，設，可得，又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，又因為，所以，此時四點共線，此時不滿足題意，綜上可得，雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.7．已知F為拋物線的焦點，A，B，C為該拋物線上的三點，O為坐標原點，，，面積分別為，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【解析】設、、三點的坐標分別為，，，，，，拋物線的焦點的坐標為,，，，、、在拋物線上，，，，由此可得：，點是的重心，，可得,因此，,解得（負值舍去），故該拋物線的方程為，故選：．8．拋物線的焦點為，點、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】由題意知，拋物線的焦點為，設點、、，由重心的坐標公式得，，，設直線的方程為，由，消去得，，由韋達定理得，，所以，，故，，將點的坐標代入拋物線的方程得，得，則，得，則.不在直線上，則，此時，，則.因此，的取值范圍是.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．橢圓的左、右焦點分別是，是橢圓第一象限上的一點（不包括軸上的點），的重心是，的角平分線交x軸于點（m，0），下列說法正確的有（

）A．G的軌跡是橢圓的一部分 B．的長度范圍是C．取值范圍是 D．【解析】設重心，又，∴，即，又是橢圓上一點，∴，即，故A正確；∵G的軌跡是橢圓的一部分，長半軸長為，短半軸長為，∴，故B錯誤；根據內角平分線定理可知，，又，∴，故C正確；同樣利用內角平分線定理與焦半徑公式，由可知，，∴，故D正確.故選：ACD.10．已知為拋物線上的三個點，焦點F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線段BC的中點坐標為B．直線BC的方程為C．D．【解析】設，因為F為重心，所以，設BC中點，則，，由重心分中線得，即，又因為A在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；，直線，故B正確；因為，所以，所以，故C錯誤；，同理，所以，故D正確．故選：ABD11．設雙曲線的右焦點為，若直線與的右支交于兩點，且為的重心，則（

）A．的離心率的取值范圍為B．的離心率的取值范圍為C．直線斜率的取值范圍為D．直線斜率的取值范圍為【解析】設為的中點，根據重心性質可得，因為，則，因為直線與的右支交于兩點，所以點在雙曲線右支內部，故有，解得，當直線斜率不存在時，的中點在軸上，故三點不共線，不符合題意舍，設直線斜率為，設，所以，，因為在雙曲線上，所以，兩式相減可得：，即，即有成立，即有，因為不共線，即，即，即，所以的離心率的取值范圍為，因為，因為，即，所以，所以.故選：AC12．若雙曲線，分別為左、右焦點，設點在雙曲線上且在第一象限的動點，點為的內心，點為的重心，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．點的運動軌跡為雙曲線的一部分C．若，，則.D．存在點，使得【解析】由題意，雙曲線，可得，則離心率為，所以A正確；設，的內切圓與邊切于點，與邊切于點，與邊切于點，可得，由雙曲線的定義可得，即，又由，解得，則的橫坐標為，由與的橫坐標相同，可得的橫坐標為，可得在定直線上運動，所以B不正確；由且，解得，則，可得，所以，同理可得，設直線，直線，聯立方程組，求得，設的內切圓的半徑為，則，解得，即有，可得，由，可得，解得，可得，所以C正確；設，則，設的內切圓的半徑為，則，于是，可得，若，可得，即，又由，聯立可得，因此，解得，即存在點，使得，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知的頂點，，頂點A在拋物線上運動，則的重心G的軌跡方程為．【解析】設，．由點G為的重心，得，所以．又在拋物線上，所以，即．又點A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．14．已知拋物線上三點滿足：的重心是，則直線的斜率之和為．【解析】設拋物線上三點，由的重心是，得，即有，直線的斜率分別為，，所以直線的斜率之和.15．已知，是雙曲線的左，右焦點，點M是雙曲線C在第一象限上一點，設I，G分別為的內心和重心，若IG與y軸平行，則．【解析】由題意知.如圖，為的內切圓，切點分別為A、B、C，設，則，由雙曲線的定義知，，即，又，所以，得，即.又的重心G與內心I的連線平行與y軸，即軸于點A，所以.因為，所以，代入雙曲線方程，得，解得，即，又，所以，所以.16．已知拋物線，過定點的動直線與拋物線交于兩點，是坐標平面內的動點，且的重心為坐標原點.若的最小值為1，則.【解析】設，則，，因為共線，則，化簡得，因為是的重心，于是得，因此，，即，當且僅當a+b=0時取“=”，即，而的最小值為1，則，即，所以.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知拋物線上的任意一點到的距離比到x軸的距離大1．(1)求拋物線的方程；(2)若過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的切線，兩條切線交于點Q，求重心G的軌跡方程．【解析】（1）由拋物線的定義可得，∴拋物線的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在，設其為k，設，則直線的方程為；代入拋物線方程得，則有，∵，∴，∴，即①同理可得②，①-②有，得，∴．∴又，設，則，消k得，所以G的軌跡方程為．18．已知曲線在軸上方，它上面的每一點到點的距離減去到軸的距離的差都是2.若點分別在該曲線上，且點在軸右側，點在軸左側，的重心在軸上，直線交軸于點且滿足，直線交軸于點.記的面積分別為(1)求曲線方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）曲線上每一點到點的距離減去到軸的距離的差都是2，即曲線上每一點到點的距離與到直線的距離相等，所以曲線為拋物線，；（2）設點，為的重心，，由相似三角形可知且，可得，令，因為，所以，故，，.19．已知，為的兩個頂點，為的重心，邊，上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程；(2)若直線與曲線相交于點、，若線段的中點是，求直線的方程；(3)已知點，，，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，求證：當點變化時，點恒在一條定直線上.【解析】（1）因為為的重心，且邊，上的兩條中線長度之和為6，所以，故由橢圓的定義可知的軌跡是以，為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），故設點的軌跡的方程為，所以，，所以，所以的軌跡的方程為；（2）設，，若直線的斜率不存在，根據橢圓的對稱性可得線段的中點在軸上，不滿足題意；故設直線：，與：聯立，整理得：，由整理得：，故，，由題意知，解得：，，滿足，故直線：（3）設直線的方程為：，，，聯立方程得：，由整理得：，即或，則，，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯立方程得：，把代入上式得：，所以當點運動時，點恒在定直線上20．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，A，B為E上兩點，且點A的縱坐標為，F恰好是的重心.(1)求E的方程；(2)若，P，Q為拋物線上相異的兩個動點，且，求的最小值.【解析】（1）由已知可得，，設F恰好是的重心，，解得，將代入，得，，解得，E的方程為；（2）設直線PQ的方程為，，，由方程組，得，即，且，，，，，，，即，，，，或，若，直線PQ過N點，不合題意，舍去，，此時，，則，當時，有最小值為11.21．已知雙曲線C：的漸近線方程為，其左右焦點為，，點D為雙曲線上一點，且的重心G點坐標為.(1)求該雙曲線的標準方程；(2)過x軸上一動點作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，A點關于x軸的對稱點為（與B不重合），連接并延長交x軸于點Q，問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，故可設雙曲線的方程為，設，因為的重心點的坐標為，所以，解得，所以，則代入得，所以雙曲線的標準方程為（2）由題意知直線的斜率必存在，設的方程為，，則，聯立，化簡得，則，且，由韋達定理得，，則直線的方程為：，令，則，故.

.22．已知O是平面直角坐標系的原點，F是拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且的重心G在曲線上.(1)求拋物線