第二十四講：基本不等式的應用（二）【教學目標】1．掌握對應的基本不等式求解最值；2．通過分析實際問題，建立函數方程，通過基本不等式求解最優解.【基礎知識】一、基本不等式：（1）；（2）.利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.二、恒成立與能成立問題若恒成立，則；若恒成立，則.若有解，則；若有解，則.【題型目錄】考點一：基本不等式求參（恒成立與能成立問題）考點二：基本不等式實際應用（一）考點三：基本不等式拓展【考點剖析】考點一：基本不等式求參（恒成立與能成立問題）例1．若對，，有恒成立，則的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練1．若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練2．若時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練3．若兩個正實數，滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍（） A． B． C． D．考點二：基本不等式實際應用（一）例1．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發，為最大程度減少人員流動，減少疫情發生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯動，鼓勵企業在國慶期間留住員工在本市過節并加班追產，為此，高郵政府決定為波司登制衣在國慶期間加班追產提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣在收到高郵政府（萬元）補貼后，產量將增加到（萬件）．同時波司登制衣生產（萬件）產品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產的產品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項補貼成本．(1)求波司登制衣國慶期間，加班追產所獲收益（萬元）關于政府補貼（萬元）的表達式；(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣國慶期間加班追產所獲收益（萬元）最大？變式訓練1．某游泳館擬建一座占地面積為200平方米的矩形泳池，其平面圖形如圖所示，池深1米，四周的池壁造價為400元/米，泳池中間設置一條隔離墻，其造價為100元/米，泳池底面造價為60元/平方米（池壁厚忽略不計），設泳池的長為x米，寫出泳池的總造價，問泳池的長為多少米時，可使總造價最低，并求出泳池的最低造價．變式訓練2．常州在中國工業大獎和工業強基工程項目雙雙位列全國地級市第一，已知常州某零件裝備生產企業2023年的固定成本為2500萬元，每生產100x件零件，需另投資(單位：萬元)，經計算與市場評估得，調查發現，零件裝備售價5萬元，且全年內生產的零件裝備當年能全部銷售完(其中).(1)預測出2023年的利潤(單位：萬元)的函數表達式(利潤=銷售額—成本)；(2)當2023年裝備產量為多少時，常州該企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.變式訓練3．如圖設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點P．設．(1)若，求x的取值范圍；(2)設△ADP面積為S，求S的最大值及相應的x的值．考點三：基本不等式拓展例1．均值不等式可以推廣成均值不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應用，具體為：.(1)證明不等式.(2)上面給出的均值不等式鏈是二元形式，其中指的是兩個正數的平方平均數不小它們的算數平均數，類比這個不等式給出對應的三元形式，即三個正數的平方平均數不小于它們的算數平均數，并嘗試用分析法證明猜想.（個數的平方平均數為）變式訓練1．根據高一課本基本不等式章節知識所學，我們知道基本不等式，那么類比可得，那么根據上述結論，則的最大值為________.變式訓練2．權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立．根據權方和不等式，函數的最小值為（） A．16 B．25 C．36 D．49變式訓練3．我們學習了二元基本不等式：設,,,當且僅當時，等號成立利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.（1）對于三元基本不等式請猜想：設當且僅當時，等號成立（把橫線補全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式證明：設求證：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：設求的最大值.【課堂小結】1．知識清單：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范圍．(3)實際應用問題，基本不等式求解最優解．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區：忽略應用基本不等式求最值的條件(一正、二定、三相等)．【課后作業】1、當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是（） A． B． C． D．2、若對于任意，恒成立，則a的取值范圍為（） A． B． C． D．3、若關于的不等式在區間上恒成立，則的取值范圍為（） A． B． C． D．4、已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（） A． B． C． D．5、已知正實數x，y滿足，若恒成立，則實數t的取值范圍是（） A． B． C． D．6、若正數滿足，且不等式恒成立，則實數的最大值為（） A． B． C． D．7、設，，不等式恒成立，則實數m的最小值是（） A． B．2 C．1 D．8、若兩個正實數x，y滿足，且不等式恒成立．則實數m的取值范圍是（） A． B． C． D．9、已知，若恒成立，則m的最大值為（） A．3 B．4 C．8 D．910、某單位建造一間地面面積為的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度不超過米，房屋正面的造價為400元，房屋側面的造價為150元，屋頂和地面的造價費用合計為元．(1)把房屋總造價表示成的函數，并寫出該函數的定義域．(2)當側面的長度為多少時，總造價最低，最低總造價是多少？11、如圖所示，有一批材料長為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？12、為提高隧道車輛通行能力，研究了隧道內的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關系式：．研究表明：當隧道內的車流密度達到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．(1)若車流速度千米/小時，求車流密度的取值范圍；(2)隧道內的車流量（單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時）滿足，求隧道內車流量的最大值，并指出車流量最大時的車流密度輛/千米．13、志愿者團隊要設計一個如圖所示的矩形隊徽ABCD，已知點E在邊CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周長為8cm.(1)設AB＝xcm，試用x表示出圖中DE