2021-2022學(xué)年浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟高三（上）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集為R,集合A={x|0<xW2},B={x[x>l},則AC（CRB）=（）

A.{x[0<xWl}B.{x|O<x<l}C.{x|l<xW2}D.{x,W2}

2.己知復(fù)數(shù)z滿足z（1+z）=2,（i為虛數(shù)單位），則（）

A.|z|=2

B.復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為三=1-i

C.復(fù)數(shù)z的虛部為-i

D.復(fù)數(shù)z是方程x2-2x+2=0的一個(gè)虛根

3.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長的最大值為（）

2\2k

C.2&D.V5

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。），中，點(diǎn)M（x,y）為陰影區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），

則下列不等式恒成立的是（)

A.sin(x+y)>0B.tan(x+y)>0C.sin(x+y)<0D.tan(x+y)<0

已知?jiǎng)t片是成立的（

5.a>0,b>0,“1>319+'"a>b”)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

6.在正方體ABCD-ASGOi中，P,。分別是BG和C。的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是

()

A.PQLCC\B.PQ_L平面AiACG

C.PQ//BDD.PQ〃平面48。

jr

7.已知x€（0,j-）,則下列各式中正確的是（）

A.Inx>x-IB.x<sinxC.xz<2xD.x+cosx>----

2

8.給定曲線r：x2-盯+y2=3,P（x,y）為曲線「上任一點(diǎn)，給出下列結(jié)論：

①-2y4+《2人

②尸不可能在圓好+爐=2的內(nèi)部；

③曲線「關(guān)于原點(diǎn)對稱，也關(guān)于直線y=±x對稱；

④曲線「至少經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知函數(shù)f（x）=4+卜-。|-4|在［-1,1］上的最大值為3,則實(shí)數(shù)。的所有取值組成集

合為（）

A.[1-h^-,7^1]J[-5,-3]B.[1,7]

yy

c.{1」坐，7-^-,-5,-3)D.{-5，-3,1,7)

gy

10.已知數(shù)列{小}滿足0=1,an+1=^(an+l)(an-^-l)(n€N*),則()

A.5Vo2021Vl2B.12V。2021Vl9

C.19<〃202i<26D.26Vo2021V33

二、填空題：本大題共7小題，共36分，多空題每小題4分，單空題每小題4分.

I1.設(shè)X>1,若10g2(10gM)+10g4(10gl6X)+10g|6(10g2X)=0,則10g2(lOgl6X)+logl6(10gU)

+1Og4(10g2X)=.

12.若多項(xiàng)式/+/=加+。|(x+1)+-+ai(JC+1)7+a?(x+1)8,貝!]ao+ai+2a2+。3+。4+。5+。6+。7+〃8

'g(x),x<0,

13.已知f(x)=<若y=/(x)為奇函數(shù)，則f(g(-1))=_____；若y

2x-4,x>0

=fQx)為偶函數(shù)，則/⑴20的解為.

14.將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用：表示兩名科學(xué)家之間的航

天員人數(shù)，則E(2)=，D(J)=.

15.已知△ABO和△CBO是同一平面內(nèi)共斜邊的兩個(gè)直角三角形，4B=1,8C=&,NABC

=135°,則8。的長為,cosZDBC=.

22

16.已知Ft,尸2是雙曲線r：》-%=l(”>°，b>0)的左、右焦點(diǎn)，4,B分別在雙

曲線的左、右兩支上，且滿足瓦=入不(入為常數(shù))，點(diǎn)C在X軸上，而=3彳，

BK-BKBK-BC

&「■=??&?,則雙曲線「的離心率為_______________.

|BFt||BC|

17.點(diǎn)尸是外接圓半徑為1的正〃邊形內(nèi)或邊界上的點(diǎn)，記|拓+巨豆+…+可|

的最大值為M,當(dāng)〃=6時(shí)，M=；當(dāng)〃=5時(shí)，M=.

三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.已知函數(shù)f(x)=2sin(x—JT)，將y=/(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?《，縱坐標(biāo)不變，

62

再向左平移2個(gè)單位后得到g(%)的圖象.

6

TT

(1)求g(X)在［0,彳］上的值域；

(2)在銳角△ABC中，若g(?)W§,求tanA+tanB的取值范圍.

19.如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC=2?,。為BC中點(diǎn)，E,尸分別為AC,AO中

點(diǎn)，現(xiàn)將△A8O繞邊AO翻折至△PAO,使面P面AOC.

(1)證明：E/U平面PAD-,

(2)若。是線段尸F(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PC與EQ所成角取得最小值時(shí)，線段FQ的長度.

20.已知數(shù)列｛%｝滿足。|=1,%+1=3m+2,neN*.數(shù)列｛仇｝滿足加=1,S)+i-n=Sn+bt,+n+\,

其中S,為數(shù)列｛仇｝是前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列g(shù)“｝的通項(xiàng)公式；

2(b+n)15

(2)令c尸/J、,求數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和A,并證明：2WT”〈殍.

n(an+l)4

21.如圖，己知拋物線C：f=4y,過直線/：y=x-4上任意點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A,B.

(1)直線AB是否過定點(diǎn)。？若是，求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不是，請說明理由；

(2)設(shè)例為AB的中點(diǎn)，連接PM交拋物線于點(diǎn)M連接8N并延長交AP于點(diǎn)Q,求

△ANQ面積的最小值.

22.已知函數(shù)/(x)=-^-x2-a.

(1)若函數(shù)y=/(x)在x=2處的切線斜率為1,求。的值;

(2)若/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)為XI,XI,且X1<X2,

①求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

②若不等式/(Xl)-/<X2)>b(婷-也2)恒成立，求實(shí)數(shù)5的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集為凡集合A={x|0<xW2},8="仇>1},貝IJAC(CRB)=()

A.{x[0<xWl}B.{x|0<x<1}C."|1<XW2}D.{小W2}

【分析】求出B的補(bǔ)集，求出AC(CRB)即可.

解：?.?全集為R,8={小>1},

?.,A={x|0<xW2},貝IJ4n(CRB)={X[0<X<1},

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+D=2,(i為虛數(shù)單位)，則()

A.|z|=2

B.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為三=1-i

C.復(fù)數(shù)z的虛部為-i

D.復(fù)數(shù)z是方程x2-2x+2=0的一個(gè)虛根

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求出z=l-i,即可依次求解.

解:,:z(1+0=2,

.2.2(l-i)一

對于A,|Z|=J[2+(_])2=&,故A錯(cuò)誤，

對于8,復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為W=l+i，故B錯(cuò)誤，

對于C,復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故C錯(cuò)誤，

對于D,V(1-02-2(l-i)+2=0,

復(fù)數(shù)z是方程/-2x+2=0的一個(gè)虛根，故。正確.

故選：D.

3.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐各棱棱長的最大值為()

D.V5

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出四棱錐的各棱長，進(jìn)一步確

定結(jié)果.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐

根據(jù)幾何體的三視圖中的線段的長，AABE為等邊三角形,

所以AE=AB=BE=OE=2,CB=\,

--二正+22=2I2+22=V5>AC=V22+12=V5）

故選：C.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。），中，點(diǎn)M（x,y）為陰影區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），

則下列不等式恒成立的是（）

A.sin(x+y)>0B.tan(x+y)>0C.sin(x+y)<0D.tan(x+y)<0

【分析】根據(jù)題意，分析可得0Vx+)，<m結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

解：根據(jù)題意，陰影區(qū)域的兩條邊界直線為x+y=0和x+y=m

若點(diǎn)y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則有0<x+y<7i,

必有sin(x+y)>0,

故選：A.

5.已知a>0,Q0,則“1解是“心〃，成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.

解:由ln--=ln(2a)-Inb>3b-32a-得/〃(2a)^-32a>lnh+3b,令/(x)=lnx+y,f

(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又fC2a)>f(Z?),貝!J即當(dāng)。>0,b>0時(shí)，-9'=>2。>匕從而不能

得到。>4所以充分性不滿.

顯然，a>b=^2a>b=>f(2a)>f(b)=1第〉3》.

所以應(yīng)該是必要不充分條件.

故選：B.

6.在正方體ABCC-ABiG。中，P,Q分別是BG和CQ的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是

()

A.PQVCC\

C.PQ//BDD.PQ〃平面48。

【分析】根據(jù)題意，連接C。、BD,分析可得。也是CQ的中點(diǎn)，由中位線定理可得

PQ//BD,由線線平行的性質(zhì)可得AB都正確，。錯(cuò)誤，即可得答案.

解：根據(jù)題意，如圖：連接G。、BD,

正方形COQiG中，。是C。的中點(diǎn)，則。也是的中點(diǎn)，

又由P是CA的中點(diǎn)，則PQ是△BOG的中位線，則有PQ〃8。，選項(xiàng)C正確；

又由CG,底面A8C3,則CC」BD,則有尸QLCG,選項(xiàng)A正確；

又由平面4ACG,則有PQJ_平面AACG,選項(xiàng)B正確；

8。與平面ABA相交于點(diǎn)3,故PQ也與平面A89相交，選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

故選：D.

7.已知x€(0,—?jiǎng)t下列各式中正確的是()

_7T

A.lnx>x-1B.x<sinxC.x^<2xD.x+cosx>---

2

【分析】對于A選項(xiàng)：可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其最小值，即可判斷A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)：方法一：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可判斷B選項(xiàng)；

方法二：利用三角函數(shù)線，x€(0,夕)時(shí)，situ<x<tanx,即可判斷B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)：利用基函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷C正確；

對于。選項(xiàng)：由0<=--x<白，結(jié)合B選項(xiàng)即可得到。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

22

1Y-1

解：對于A選項(xiàng)：f(x)-1-bvc,f，(x)=l---,

XX

當(dāng)元>1時(shí)，/(x)>0,/(工)單調(diào)遞增，當(dāng)OVxVl時(shí)，，(x)<0,單調(diào)遞

減，

所以當(dāng)元=1時(shí)，取極小值，即為最小值，/(I)=0,

所以/(%)=x-1-所以故A錯(cuò)誤;

jr

對于B選項(xiàng)：方法一：設(shè)/(x)-sinx,x€(0,f(幻—1_cosx>0,

TT

所以f(x)在區(qū)間(0,下-)單調(diào)遞增，

由jf(O)=0,所以f(x)>0,BPx>sinx,

TT

方法二：根據(jù)三角函數(shù)線可知，當(dāng)x€(0,夕)時(shí)，sinx<x<tanx,

故8錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)：由基函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)X6(0,2)時(shí)，/<2，，

TT

所以當(dāng)x€(O,—故C正確；

1I"JI"JI

對于。選項(xiàng)：由x€(0,*,則0<1--x〈”-，由B選項(xiàng)可知，

/兀\兀

sin(—--x，

JT

所以x+cosx〈k，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

8.給定曲線「：/-盯+V=3,P(x,y)為曲線「上任一點(diǎn)，給出下列結(jié)論：

①-273《*+/<2的；

②尸不可能在圓爐+)，=2的內(nèi)部；

③曲線「關(guān)于原點(diǎn)對稱，也關(guān)于直線y=±x對稱；

④曲線「至少經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用基本不等式求解判斷①；利用基本不等式求解范圍判斷②；利用對稱性判

斷③；判斷整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足方程，判斷④.

解：/-盯+)2=3,可得(x+y)2=3+3xyW3+3(x+y)2,所以(x+y)2<12,

"4

可得-2F<x+y<2F；所以①正確；由①可知2?/+產(chǎn)=3+冷<6,所以②正確；

用-x換x,-y換y,方程不變，所以曲線r關(guān)于原點(diǎn)對稱；也關(guān)于直線y=±x對稱；％

y互換，方程不變，所以曲線關(guān)于y=x對稱，用-x換y,-y換x,方程不變，所以曲

線關(guān)于y=-x對稱，所以③正確；

當(dāng)x=l時(shí)，方程化為：>'2-y-2=0,解得y=-l,y=2,即曲線過兩個(gè)整點(diǎn)，(1,-

1),(1,2),同理x=-l時(shí)，，方程化為：y+y-2=0,解得y=l,-2,曲線過兩個(gè)

整點(diǎn)，（-1,1）,（-1,2）,由③可知曲線經(jīng)過（（-1,-2）,（-2,-1）.所

以④正確.

故選：D.

9.己知函數(shù)/（x）=H+|x-a卜4|在［-1,1］上的最大值為3,則實(shí)數(shù)a的所有取值組成集

合為（）

A.［1-k^-,7-^-］U［-5,-3］B,［1,7J

99

c.（1-^p-,7-^-,-5,-3}D.{-5,-3，1,7}

99

【分析】根據(jù)最值的性質(zhì)，結(jié)合任意性和存在性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解：由函數(shù)/（X）=H+印-川-4|在［-1,1］上的最大值為3,

則kMx-a|-4|W3對xe［-1,1］恒成立，且至少存在一個(gè)xo€［-1,1］,使等號成立，

即1-%3忘以-。怔7-%3對比［-1,1］恒成立，且至少存在一個(gè)xo€［-1,1］,使等號成立，

若以-a|W7-V恒成立，可化為dnx-7Wa<--+x+7對-1,1］恒成立，且至少存

在一個(gè)xol-1,1］,使等號成立，

所以a=-7）maJ（S.a—（-J?+X+7）

顯然函數(shù)y=V+x-7在［-1,1］上是增函數(shù)，因此當(dāng)x=-l時(shí)，有最大值為-5,所以a

=-5,

y=-；r3+x+7可得y=-3/+1,當(dāng)炬（-1,-返）時(shí)，y'vo,此時(shí)函數(shù)遞減，

3

當(dāng)（-返，返）時(shí)，y>o,此時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)?shù)祝ǚ担?）時(shí)，y<o,此時(shí)函數(shù)遞

333

減，

當(dāng)x=l時(shí)，y=7,當(dāng)》=-零時(shí)，y=7-Z常，此時(shí)最小值為7-2乎，

若1-RWW-a|恒成立，可化為〃WV+x-l,或-3+x+l對-1,1］恒成立，且至

少存在一個(gè)為日-1,1］,使等號成立，

所以4=（R+X-1）3且。=（-dhr+l）min,

顯然函數(shù)y=^+x-1在［-1,1］上是增函數(shù)，因此當(dāng)工=-1時(shí)，有最小值為-3,所以。

=-3,

由y=-r+x+1得y=-3/+1,當(dāng)xe（-1,-返）時(shí)，y<0,此時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)（-

3

返，返）時(shí)，y>o,此時(shí)函數(shù)遞增，

33

當(dāng)（專，1）時(shí)，y<0,此時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)x=l時(shí)，y=l,當(dāng)時(shí)，y=l+等

此時(shí)最大值為i+-2叵，

9__

所以滿足條件的。的值的集合為｛7-當(dāng)巨，1+Z返，-5,-3）.

99

故選：C.

10.己知數(shù)列｛。〃｝滿足0=1,an+1=J（@n+l）（@八十工-1）（n€N*）,則（）

Van

A.5V〃2021<12B.12Va2021Vl9

C.19Va2021V26D.26<。2021<33

【分析】由題意可知，an+i>a?,因此可得a〉a；〉n-l,即2門〉右，因此

d

aa<1o1

n+l_n3/-^'利用累加法，化簡整理可得.<1?3,即可求得他021

2Vn2an^aiH-1^2

取值范圍.

解：因?yàn)閍：+「a：=，->0,所以如+|>0”所以a：+i-a，>an（a：+i-a：）=l，

an

所以a：-a；>n-l,所以a門>右，

11

又因?yàn)閍

"n+1n~a(+a/小吃2<2a：21

n%1tH2annr?'

所以an+i-=(an+\-an)+(an-an-i)+???+(t/2-tzi)

11爰+…+

~T^七］

n3(n-l)33n33(n-1)T3X23

J_J,

、1_k__-(k-l)=k3-(k-l)3,

因?yàn)?1~

3k3k3+k3(k-l)3+(k-l)3

所以"I■［專4---^^,■?+±］</￡(n3_l)=-n3-1,

n3(n-l)3l3

1

所以an<~<p

所以r7<公<33",所以

n、a42n

12<12.6432-病五<a2021<1^2021^國9647<19,

故選:B.

二、填空題：本大題共7小題，共36分，多空題每小題4分，單空題每小題4分.

11.設(shè)X>1,若log2(logu)+log4(log|6X)+10gl6(log2X)=0,則10g2(log|6X)+10g［6(log4X)

+10g4(10g2X)=-一_?

4-

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

解：V10g2(10g4X)+log4(10gl6X)+10gl6(10gU)=0,

lo§2(■^■log2X)+~~log2(■^■log2X)+~1°g2(logu)=0,

_1_1

wX24

??log2［ylog2x(Y1°S2^?(lo］一°,

11—1_

??.ylog2x-±(log2X)2-(log2x)4-l.

_1_1

24

**lo§2X*(log2x)?(log2x)%

丁log2(10gl6X)+logl6(logu)+log4(lOgiX)=

JL11j_x

49

log2弓log2*'glog2X)4?(1。g2>)之］—log?(/)-log22~~i

故答案為：--y.

4

12.若多項(xiàng)式爐=4()+。］(x+l)+…+。7(x+l)(x+l)8,則&0+。1+2a2+43+〃4+。5+%+。7+"8

=29.

【分析】通過賦值可直接求得結(jié)果.

解：令工=0,

□J得〃0+。|+2。2+。3+44+。5+。6+。7+48=0,

令X+l=f,

所以X=L1,

原式化為(L1)2+(/T)8=〃()+〃］什42產(chǎn)+...產(chǎn)，

政為產(chǎn)的系數(shù),

所以I2-(-1)-29,

所以。0+。1+2。2+。3+。4+。5+。6+〃7+。8=29

故答案為：29.

'g(x),x<0,

13.已知f(x)=4若y=f(x)為奇函數(shù)，則f(g(-1))=0；若y

2x-4,x>0

=/(x)為偶函數(shù)，則f(x)20的解為(-8,-偶味[2,+8).

【分析】由奇函數(shù)的定義和已知函數(shù)的解析式，求得x<0時(shí)，g(x)的解析式，可得g

(-1),進(jìn)而得到了(g(-1))；由偶函數(shù)的定義求得x<0時(shí)，f(x)的解析式，對

x討論，分x>0,x<0,可得不等式組，解不等式可得所求解.

解：設(shè)xVO,則-x>0,由x>0時(shí)，/(x)=2,-4,

可得-x)=2)-4,

又y=/(x)為奇函數(shù)，可得/(-x)=-/(x),

則-f(x)=2-x-4,即f(x)=-2'x+4,

即有g(shù)(x)=-2-v+4,

則g(-1)=-2+4=2,f(g(-1))—f(2)—4-4=0；

若y=f(x)為偶函數(shù)，則/(-x)=f(x),

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2)-4,

fx>0(x<0

則/(x)2o等價(jià)為4或<_,

2x-4>0I2-x-4>0

解得x22或xW-2,

所以解集為(-8,-2]U[2,+8).

故答案為：0,(-8,-2]U[2,+8).

14.將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用《表示兩名科學(xué)家之間的航

天員人數(shù)，則E(孑)—1,D(0—1.

【分析】先求出隨機(jī)變量S的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望和方差的

計(jì)算公式求解即可.

解：由題意可知，E的可能取值為0,1,2,3,

所以P丹=0）

p（日）

PF=2)

A2A3

P(；=3)1

10

所以E(E)=0X—+1X———F2X—+3X1,

510510

E(E2)=OX^H-1X—+4X^+9X—=2,

510510

D(p=E(產(chǎn))-E2(《)=1.

故答案為：1;1.

15.已知△AB。和△CB。是同一平面內(nèi)共斜邊的兩個(gè)直角三角形，A8=l,BC=M，ZABC

=135°,則8。的長為_百5_,cosZPBC-$

一5一

【分析】在aABC中由余弦定理計(jì)算得AC,由△43。和△C8。是同一平面內(nèi)共斜邊的

兩個(gè)直角三角形可推出A,B,C,。四點(diǎn)共圓且8。為圓的直徑，在△AC￡>中，由正弦

定理求得外接圓直徑，即8。的長度，最后在直角三角形BCD中計(jì)算cos/OBC.

解：因?yàn)?8=1,8C=圾，NA8C=135°,

在AA8c中，由余弦定理有AC^^AB^BC2-2AB-BCcosZABC,

即4（?=1+2-2*1><^乂8$135°=5,

所以AC=j\f^,

因?yàn)椤鰽B。和△C8O是同一平面內(nèi)共斜邊的兩個(gè)直角三角形，

所以NBAO=/BCZ）=90°,

所以A,B,C,力四點(diǎn)共圓且BO為圓的直徑,

設(shè)外接圓半徑為R

因?yàn)镹ABC=135°,

所以NAZ）C=45°,

Vs

AC

在△ACO中，由正弦定理得=，I5=2R,

sinZADC

~2~

所以BD=2R—yf]X),

在直角三角形BCD中，cos/DBC=更恒

_BDV105

故答案為：?io；Y5.

5

16.已知Fi,巳是雙曲線「：-^--^-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，4,B分別在雙

azbz

曲線的左、右兩支上，且滿足瓦=入不(入為常數(shù))，點(diǎn)C在X軸上，CB=3F7A>

BFn-BF,BF9-BC-

J,.1,=.,,則雙曲線「的離心率為_或_.

|BFj|BC|—一

【分析】由題意可得EB=2c,由而=3取，得FaA〃CB,進(jìn)而可得△RAF2s△QBC,

BF'BF<BF?-BC

推出BC=4c,設(shè)AB=f,則BC=3f,由一2--=—工一可知，BF2平分NRBC,

|BFi||BC|

BLFiF91

由角分線定理可知，一?r再結(jié)合雙曲線的定義，即可得出答案.

BCF2c4c2

解：由題意可得FIF2=2C,

因?yàn)槎?3F2A,

所以FM〃CB,

所以△RAF2s△RBC,

所以BC=4c,

設(shè)AF2=f,則BC=3/,

BK-BF\BF9-BC

由一--■=—區(qū)一可知，8尸2平分/KBC,

|BFj||BC|

FIF

由角分線定理可知，一BF.=一2=個(gè)2c=±1，

BCF2c4c2

Q+1+0

所以BFt=以，AFi^—BF^—,AB^—BF\=t,

2323

由雙曲線的定義知，AF2-AFi=2a,

所以r-5=2a,即r=4.①，

BF\-BFi—la,

所以8尸2=孚-2a=t,

2

所以BF2=AB=AFi=t,

即△ABB是等邊三角形，

所以/F28C=/A8F2=60°,

在△BBC中，由余弦定理知，

222

BF?+BC-FnC

cosZFiBC--------------,

2BF2-BC

即_l=t2+9t276c2

22t-3t

化簡得7尸=16。2,

2

由①②可得，寫=7，

a

所以離心率e=￡=J],

a

故答案為：,^7-

17.點(diǎn)尸是外接圓半徑為1的正〃邊形4A24內(nèi)或邊界上的點(diǎn)，記|為+可+…+鳳|

的最大值為M，當(dāng)〃=6時(shí)，M=6；當(dāng)”=5時(shí)，M=5.

【分析】利用正〃邊形的性質(zhì)得到西+福+.“+西=五，再利用向量的線性運(yùn)算得到

引+福+...+祝=“玩即可得解.

解：設(shè)正"邊形AAA的中心為0，則西+福+...+西=節(jié)，

?*-OF+PA^+OP+PA^+-+OP+PA^=0>

++,

PA1+PA2-PAn=?po

+

.".|PA1+PA2-+PAnl=l?p3<?,

當(dāng)尸點(diǎn)在圓上時(shí)等號成立，

.,.當(dāng)”=6時(shí)，M=6,當(dāng)〃=5時(shí)，M=5.

故答案為：6,5.

三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.已知函數(shù)f(x)=2sin(x―兀)，將尸/⑴的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?4,縱坐標(biāo)不變，

62

TT

再向左平移專個(gè)單位后得到g(X)的圖象.

(1)求g(X)在［0,上的值域；

(2)在銳角△的(:中，若求tanA+tanB的取值范圍.

【分析】(1)由題意利用函數(shù)丫=擊也(3X+(p)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，

再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g(X)在［0,亍TT］上的值域.

(2)由題意求得C,可得A+8的值，再利用兩角和的正切公式、基本不等式，求得tanA+tanB

的取值范圍.

兀1

解：(1)函數(shù)f(x)=2sin(x-)，將尸/⑴的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹犊v坐標(biāo)

62

jr

不變，可得y=2sin(2x--)的圖象；

6

TTJT

再向左平移k個(gè)單位后得到g(x)=2sin(2x+—)的圖象.

66

TTTTTTOTTJT1

在[0,—―]_t,2XH"——E[—~f———],sin(2XH?——)€[---,1],g(x)E[1,2],

466362

即函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇1,2].

⑵在銳角AC中,若；.c+*拳或c++號

求得C=W~,或C=W■(舍去)，.?.A+6=5兀，tan(A+8)=tanA+tanB=一返,

6261-tanAtanB3

2

求tanA+tanB=-四(1-tanAtanB)=返(tanAtanB-1)tanA+tanB

)71，

332

(tanA+tanB)?_]L

即tanA+tanB

4

即(tanA+tanB)2-(tanA+tanB)-4>0,

求得tanA+tanBW2-4,或tanA+tanBn2J^+4.

由于tart4>0,tanB>0,tanA+tanB,

即tanA+tanB的取值范圍為[2&+4,+~).

19.如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC=2&,。為BC中點(diǎn)，E,尸分別為4C,AD中

點(diǎn)，現(xiàn)將△然力繞邊A。翻折至△以，使面面AOC.

(1)證明：平面PAD；

【分析】(1)由A￡?_LCC,EF//CD,可得而面厚￡>_￡面AOC,由面面垂直

的性質(zhì)定理容易得證；

(2)作圖，判斷/GEH就是直線EG與平面PEF所成角，此時(shí)的〃就是滿足條件的點(diǎn)

。，然后再轉(zhuǎn)化到△PAD中，解三角形即可得解.

解：(1)證明：???在等腰直角△ABC中，D為BC中點(diǎn),

J.AD1CD,

■:E,尸分別為AC,AD中點(diǎn),

.?.E尸為△ACO的中位線，貝IJE尸〃CD,

：.AD±EF,

又面面AOC,面如。C面AZ)C=A。，EFu平面AC。，

，EF_L平面尸4￡)；

(2)如圖，取P4中點(diǎn)G,連接EG,則PC與EQ所成角即為NGEQ,

當(dāng)。在線段尸尸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EQ為平面PEF內(nèi)的動(dòng)直線，而EG是平面的斜線，則當(dāng)EG

與EQ所成角取得最小值時(shí)，ZGEQ為直線EG與平面PEF所成的線面角,

又￡7」平面PAD,在內(nèi)過G作GHVPF,則GHu平面PAD,故EF±GH,

又GHLPF,EFQPF=F,EFu平面PEF,PFu平面PEF,

平面PEF,

ZGEH就是直線EG與平面PEF所成角，此時(shí)的H就是滿足條件的點(diǎn)Q,

如圖，等腰直角三角形PAD中，AD=PD=2,則

PF=V^,PG=AG=亞，sinZPFD-^-,cos/PFD亶

55

.z//兀、z兀/71yflO

??sinNAPF=sin(NPFDq-)二sin/PFDcoS-T-COSNPFDsirr^-

3收如

?"PH=PG"cosZAPF=>/2X

105

275

??FH=PF-PH=

20.已知數(shù)列｛%｝滿足西=1,期+1=3斯+2,nGN*.數(shù)列｛/?"｝滿足"=1,S?+i-n=S?+b?+n+\,

其中S.為數(shù)列｛6｝是前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛如｝,｛d｝的通項(xiàng)公式;

⑵令「叼2(b+。n)求數(shù)歹叫的前〃項(xiàng)和7"'并證明：2.＜華15

【分析】(1)。"+1=3為+2可得。”+1+1=3m+3=33+1),又0+1=2,從而可構(gòu)造出

等比數(shù)列｛斯+1｝,進(jìn)一步即可得到｛a”｝的通項(xiàng)公式；根據(jù)S”+i-〃=*+〃"+〃+1,得Si+i-

Sn—b,,+(2H+1),ERb,i+i-htl—2n+\,從而利用累加法即可求出｛d｝的通項(xiàng)公式;

2

2(bn+n)2(n+n)n+1

(2)由(1)可知C,從而利用錯(cuò)位相減求和

nn-1n-1

n(a「l)n(2-3-l+l)3

法即可得到T，，進(jìn)一步結(jié)合｛〃｝的單調(diào)性即可證明2W。〈學(xué)

解：(1)由麗1=3。田2,得斯+i+l=3a“+3=3(a?+l),又卬+1=2,

｛如+1｝是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列,

nl

.,.a?+l=2?3,即an=2'y~'-1；

SSn+i-n=Sn+bn+n+\,得S,+i-S：=6"+(2〃+1),即6"+i-"=2〃+1,

bn-bn-\=2(n-1)+1=2〃-1,

b=(b"bn-\)+(-b〃-2)+…+(岳-6)+加=1+3+=，+(2w-1)=—(1+2〃

nn2

-1)=層;

2(b”)2(n2+n)_n+1

(2)證明:由(1)可知Cn=

(n-1-n-1：

n(an+l)n2-3-l+l)3

234n+11234n+1

，。=求+”+至+…+百則小7"=~T+~9+~T+…+

oOOO33132333n

二(1—)

討,口22111n+13'n+1__5

兩式相減得57"=9+￡+至+…+'與~=2+----'——

3n~2

1萬

2n+5

2-3n

.T_152n+5

?""-『4.3x1("6N*)；

152n+7152n+5_6n+152n+74n+8

.\Tn+l-T?=(4------)(---------1)—-----=----->0

44-3n44-3n-14-3n4?3n4?3n

二｛北｝是遞增數(shù)列,又〃=l時(shí)，7=2,

2n+5

VnGN\P>O,

4-3n-

15_2n+5

T4-3n-1V'

綜上，2忘7；＜三.

4

21.如圖，已知拋物線C：f=4y,過直線/：y=x-4上任意點(diǎn)尸作拋物線的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A，B.

(1)直線AB是否過定點(diǎn)0?若是，求出定點(diǎn)。的坐標(biāo)；