分形理論

——非線性科學三大理論前沿之一1整理課件

前言

一、非線性復雜系統

〔一〕什么是分形〔FRACTAL〕

〔二〕自相似性

〔三〕標度不變性

二、非歐氏幾何學〔分形幾何學〕

三、分形理論的應用

結束語2整理課件分形理論——非線性科學三大理論前沿之一前言自然界大局部不是有序的、平衡的、穩定的和確定性的，而是處于無序的、不穩定的、非平衡的和隨機的狀態之中，它存在著無數的非線性過程，如流體中的湍流就是其中一個例子。在生命科學和社會科學中，生命現象和社會現象都是一種復雜現象，非線性關系更是常見?？陀^世界是復雜的，所以科學家們認為“世界在本質上是非線性的〞。但以往人們對復雜事物的認識總是通過復原論方法把它加以簡化，即把非線性問題簡化為線性問題。這種認識方法雖然在科學研究中發揮過巨大作用，但是隨著科學技術和社會的開展，已經暴露出它的局限性，從而要求人3整理課件們直接研究復雜事物，以便更準確、更充分地反映其本來面目。因此，一門研究復雜現象的非線性科學應運而生。在非線性世界里，隨機性和復雜性是其主要特征，但同時，在這些極其復雜的現象背后，存在著某種規律性。分形理論使人們能以新的觀念、新的手段來處理這些難題，透過撲朔迷離的無序的混亂現象和不規那么的形態，揭示隱藏在復雜現象背后的規律、局部和整體之間的本質聯系。

4整理課件目前國內外定期召開有關分形的學術會議，出版會議論文集和關于分形的專著，在重要期刊上經常發表涉及分形理論和應用的論文。世界上1257種學術刊物在80年代后期發表的論文中,與分形有關的占據37.5%。從發表論文來看，所涉及的領域包括哲學、物理、化學、材料化學、電子技術、外表科學、計算機科學、生物學、醫學、農學、天文學、氣象學、地質學、地理學、城市規劃學、地震學、經濟學、歷史學、人口學、情報學、商品學、電影美學、思維、音樂、藝術等。分形是一門新的學科，它的歷史很短，目前正處在開展之中，它涉及面廣但還不夠成熟，然而分形理論具有強大的生命力。5整理課件研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？6整理課件英國的海岸線地圖7整理課件研究對象〔續〕當你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發現，這些細小之處同樣也是無數的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發現的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。

8整理課件研究對象〔續〕得到的結論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應該是有界的。海岸線什么有界？〔長度、面積、體積顯然無界〕。9整理課件Koch曲線10整理課件Koch曲線〔續〕Koch曲線曾經在數學界成為一個魔鬼。同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界〞。另外，有一個特點：當取其中的一局部展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數次的自我復制。11整理課件自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。England的海岸線從視覺上也感覺有某種自相似性12整理課件一、非線性復雜系統〔一〕什么是分形〔fractal〕“分形〞這個名詞是由美國IBM公司研究中心物理部研究員暨哈佛大學數學教授曼德勃羅特〔BenoitB.Mondelbrot〕在1975年首次提出〔創造〕的，其原義是“不規那么的，分數的，支離破碎的〞物體，這個名詞是參照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出來的。它含有英文中frature(分裂)fraction〔分數〕的雙重意義。而我國在山西五臺山南山寺的影壁墻上的碑文中，早在清朝時代就有了“日月光明，分形變化〞的語句。13整理課件人類在認識世界和改造世界的活動中離不開幾何學。在歷史上，科學技術的開展與幾何學的進步始終是密切相關的。在生產實踐和科學研究中，人們用以描述客觀世界的幾何學是歐幾里德幾何學，以及解析幾何、射影幾何、微分幾何等，它們能有效地描述三維世界的許多現象，如各種工業產品的現狀，建筑的外形和結構等。但是，自然界大多數的圖形都是十分復雜而且不規那么的。例如：海岸線、山形、河川、巖石、樹木、森林、云團、閃電、海浪等等，例如圖1.1、圖1.2和圖1.3所示。用歐幾里德幾何學是無能為力的。14整理課件

圖1.1布達拉宮中藏族壁畫中的云的形狀

圖1.2日本傳統繪畫中對海浪的描述15整理課件

圖1.3山脈的復雜形態另外，在科學研究中，對許多非規那么性對象建模分析，如星系分布、滲流、金融市場的價格浮動等復雜對象，都需要一種新的幾何學來描述。所以,一般地可把“分形〞看作大小碎片聚集的狀態，是沒有特征長度的圖形和構造以及現象的總稱。描述分形的幾何，稱為分形幾何，又稱為描述大自然的幾何。16整理課件下面給出“分形〞的兩個定義，在物理上易于理解，但不夠精確，也不夠數學化。定義1〔Mandelbrot,1986〕:局部以某種形式與整體相似的形狀叫分形。定義2〔Edgar,1990〕:分形集合是這樣一種集合，它比傳統幾何學研究的所有集合還更加不規那么〔irregular〕,無論是放大還是縮小，甚至進一步縮小，這種集合的不規那么性仍然是明顯的。

17整理課件分形的概念分形是具有如下所列性質的集合F：F具有精細結構，即在任意小的比例尺度內包含整體。F是不規那么的，以致于不能用傳統的幾何語言來描述。F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統計意義下的。F在某種方式下定義的“分維數〞通常大于F的撲維數。F的定義常常是非常簡單的，或許是遞歸的。18整理課件JuliaSetJuliaSet:Zn+1=Zn2+C令復數C為一定值，將Z平面上任意一點代入，那么Z平面上局部區域收斂，局部區域發散，而發散與收斂間的邊界，即為JuliaSet的圖形。根據C、Z0的不同會生成不同的Julia集合19整理課件MandelbrotSet

在復平面中，M集是通過下述迭代式產生的：

Zn+1=Zn^2+C。其中，Z和c都是復數，由各自的實部和虛部組成

Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCy20整理課件展開得：Xn+1=Xn2-Yn2+Cx〔實部〕Yn+1=2*XnYn+Cy〔虛部〕對上述迭代式反復進行迭代，得到的數集，稱為Mandelbrot集，簡稱M集。在迭代過程中，Z的初值定為0，而C選擇一個不為0的數,使C在復平面的某個區域內有規律地變化，對于二次函數fc(Z)=Z^2+C的迭代，定義M集為：M={c∈C:fck(0)/→∞(k→∞)}。21整理課件用不同的C值反復進行迭代，由此產生的Zk序列有兩種情況： 〔1〕Zk序列自由地朝著無窮大的方向擴散，即發散；〔2〕Zk序列被限制在復平面的某一區域內，即收斂。建立判斷收斂與發散的判斷準那么，對于那些收斂的Zk序列的點，設置某種顏色的色調，就可以顯示M集的計算機圖象。對于那些發散的Zk序列的點，根據發散速度的不同，按照給定的規那么著上不同顏色的色調，就能顯示M集周圍的圖象。22整理課件23整理課件自然界中的分形山星云24整理課件星云25整理課件天空中的云朵植物的葉子26整理課件

視網膜中央動脈顳上支阻塞視乳頭旁毛細血管瘤毛細血管分布27整理課件河流分布圖28整理課件自然界中的分形股票價格曲線巖石裂縫金屬損傷裂縫道路分布神經末梢的分布…………29整理課件局部結論從分析上述現象可以看到，Julia、Mandelbrot集合所顯現出來的圖形是極端復雜的，而且存在著自相似性〔即局部等于全體〕，而這么復雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復迭代得到的結果。反推回來，一個具有分形特征的自然現象是否可以認為是有一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復迭代得到的結果？如果是，只要找到方程和初值，就可以隨意地生成我們所希望的圖形？30整理課件如何來研究分形？Mandelbrot提出了一個分形維數的概念。在Euchlid幾何學中我們知道維數的概念點---0維；線---1維；面---2維；體---3維。31整理課件〔二〕自相似性分形具有“粗糙和自相似〞的直觀特點。一個系統的自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統或結構的局域性質或局域結構與整體類似。另外，在整體與整體之間或局部與局部之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復雜的表現形式，而不是局域放大一定倍數以后簡單地和整體完全重合。人們在觀察和研究自然界的過程中，認識到自相似性可以存在于物理、化學、天文學、生物學、材料科學、經濟學，以及社會科學等眾多的科學之中，可以存在于物質系統的多個層次上，它是物質運動、開展的一種普遍的表現形式，即是自然界普遍的規律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。32整理課件太陽系的構造與原子的結構作一比照，就會發現這兩個系統在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質系統之間存在著自相似的性質。物質系統之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進化到一定程度的產物，解剖學研究說明，人體中的大腦、神經系統、血管、呼吸系統、消化系統等在結構上都具有高度的自相似性。圖1.4是人體小腸的結構，由圖可以看到，當以不同的放大倍數觀察小腸結構時，即從a到e較大的形態與較小的形態之間的相似說明小腸結構具有自相似性。33整理課件

圖1.4人體小腸的自相似結構34整理課件一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，假設把一根樹枝與該棵大樹相比，在構成形式上完全相似。又會發現該樹枝上分叉長出來的更小的細枝條，仍具有大樹構成的特點。當然，這只能是在一定尺度上呈現相似性，不會無限擴展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現出明顯的自相似性。再仔細觀察樹葉的葉脈，也可以發現類似的自相似結構。由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴格的，而是，在統計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。但凡滿足統計自相似性的分形稱之為無規分形。另外，還有所謂有規分形,這類分形,由于它是按一定的數學法那么呈現，因此具有嚴格的自相似性。所謂koch曲線，就是屬于有規分形,如圖1.5所示。35整理課件圖1.5三次koch曲線它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二條等長〔1/3〕的折線來代替，形成一個生成單元，如圖1.5(b).然后再把每一條直線段用生成單元進行代替，經過無窮屢次迭代后就呈現一條無窮多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。36整理課件koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內部還有圖形。從圖1.5〔e〕中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一局部放大，其形狀與整體相同。設想把圖1.5〔e〕中的koch曲線區間[0,1/3]中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區間[2/3,1]放大3倍，也會得到同樣的結果。雖然區間[1/3,1/2]，[1/2,2/3]的圖形是傾斜的，但是把它放大，也會得到同樣的結果。假設把區間[0,1/9]的圖形放大9倍，同樣也可以產生與原來相同的圖形。對更小的局部進行放大也是如此，不管多小局部，假設把它放大到適當大小，應該能得出與原來相同的圖形。37整理課件〔三〕標度不變性所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態特性。因此,對于分形，不管將其放大或縮小，它的形態、復雜程度、不規那么性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數。所以具有自相似特性的物體〔系統〕，必定滿足標度不變性，或者說這類物體設有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴格的自相似性的有規分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的根本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標度不變性。因此,可以看到,自相似性與標度不變性是密切相關的。自相似性和標度不變性是分形的兩個重要特性。38整理課件對于“特征長度〞這一名詞，作一簡單的說明，自然界存在的所有物體的形狀和人類迄今所考慮的一切圖形，大致可分為如下兩種：具有特征長度的圖形和不具有特征長度的圖形。對于特征長度，并沒有嚴格的定義，一般認為能代表物體的幾何特征的長度，就稱之為該物體的特征長度。如一個球的半徑、正方體的邊長、人的身高、汽車的長度，這些都是各個物體的特征長度，它們很好地反映了這些物體的幾何特征。對具有特征長度的物體的形狀，對它們即使稍加簡化，但只要其特征長度不變，其幾何性質也不會有太大的變化。如豎起一個代替人的、與人具有相同高度的圓柱，那么從遠處去看，也不會有太大的過失；如果再精細一點，以小圓柱代替手和腿，以矩形代替身軀，以球代替頭，那么就會很像人了。換句話說，關于這類物體,可以用幾何學上熟知的矩形體、圓柱、球等簡單形狀加以組合，就能很好地與其構造近似。39整理課件二、非歐氏幾何學〔分形幾何學〕歐幾里德幾何學〔簡稱歐氏幾何學〕，是一門具有2000多年歷史的數學分支，它是以規整幾何圖形為研究圖象。所謂規整幾何圖形就是我們熟悉的點、直線與線段；平面與平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各種三角形以及正多邊形等?？臻g中的正方體、長方體、正四面體等。另外一類就是曲線或由曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱以及圓臺等。這些點、直線、平面圖形、空間圖形的維數〔歐氏維數〕分為為0、1、2、和3。對規整幾何圖形的幾何測量是指長度〔邊長、周長以及對角線長等〕、面積與體積的測量。40整理課件數學的不規那么圖形實際上，在曼德爾勃朗特的問題提出之前，數學家就曾經構造過多種不規那么的幾何圖形，他們具有和海岸線相似的性質。41整理課件Cantor集Cantor在1883年構造了如下一類集合：取一段歐式長度為l的直線段，將該線段三等分，去掉中間的一段，剩下兩段。再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間的一段，剩下四段。將這個操作進行下去，直至無窮，可得到一個離散的點集，點數趨于無窮多，而長度趨于零。經無限次操作所得到的離散點集稱為Cantor集。42整理課件Koch雪花線瑞典數學家科赫〔H.vonKoch)在1904年提出了一種曲線，它的生成方法是把一條直線段分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進行代換，經無窮次迭代后就呈現出一條有無窮多彎曲的Koch曲線。43整理課件Sierpinski集

首先，將一個等邊三角形四等分，得到四個小等邊三角形，去掉中間的一個，保存它的邊。將剩下的三個小三角形再分別進行四等分，并分別去掉中間的一個，保存它的邊。重復操作直至無窮，得到一個面積為零，線的歐式長度趨于無窮大的圖形。這個圖形被人們稱為謝爾賓斯基縷墊。44整理課件Sierpinski地毯將一個正方形九等分，去掉中間的一個，保存四條邊，剩下八個小正方形。將這九個小正方形再分別進行九等分，各自去掉中間的一個保存它們的邊。重復操作直至無窮。45整理課件對一個正六面體，將它的每條邊進行三等分，即對正六面體進行27等分，去掉體心和面心處的7個小正六面體，剩下20個小正六面體，并保存它們的外表，重復操作直無窮，得到的圖形。體積趨于零，而其外表的歐式面積趨于無窮大。Sierpinski海綿46整理課件Sierpinski集的共同特點它們都是經典幾何無法描述的圖形，是一種“只有皮沒有肉〞的幾何集合。它們都具有無窮多個自相似的內部結構，任何一個分割后的圖形放大后都是原來圖形的翻版。47整理課件問題在哪里？以上是一些經典幾何意義下的“病態〞圖形，以Koch曲線為例，以一維來度量它，它的長度趨于無窮，而以二維來度量它，它的面積為零，那么，它究竟是幾維圖形?1維？2維？1．？？？？維嗎？經典的維度定義有問題嗎？48整理課件經典幾何的維度定義在經典幾何下，點被定義成0維的，點沒有長度；直線被定義成1維，只有長度，沒有面積，平面圖形被定義成2維的，有面積，沒有體積，立體圖形是3維的，有體積。經典幾何討論的維度都是整數，它們的數值與決定幾何形狀的變量個數及自由度是一致的，這是一個很自然的想法。49整理課件換一個角度看維度

根據相似性來看線段、正方形和立方體的維數。首先把線段、正方形和立方體的邊兩等分，這樣，線段成為長度一半的兩條線段，正方形變成邊長為原來邊長1/2的四個小正方形，而立方體而成為八個小立方體，邊長為原來邊長的1/2。原來的線段、正方形和立方體分別由2，4，8個把全體分成1/2的相似形組成。而2，4，8可改寫成2的1，2，3次方，這里的1，2，3分別與其圖形的經驗維數相一致。50整理課件(1)長度=,面積=2,體積=3〔正方體〕；(2)長度〔半徑〕=,面積=,體積=(球〕；由上面兩式可以看到，長度、面積和體積的量綱是長度單位的1、2和3次方，它們恰好與這些幾何圖形存在空間的歐氏維數相等，而且均為整數。除了正方體和球以外的那些幾何圖形的體積，都可以用正方體或球來進行測量?？偨Y歐氏幾何的測量可以看到：第一類幾何圖形的測量是以長度為根底；第二類幾何圖形也是以長度〔兩點間的距離r〕為根底的，平面圖形以圓為根底，空間圖形以球為根底。所以，在歐氏幾何中對規整幾何圖形的測量，可以用下式來表示：在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形〔分別以正方體和球作為代表〕歸納為如下二點：51整理課件長度=面積=

(2.1)體積=式中a和b為常數，稱為幾何因子，與具體的幾何圖形的形狀有關，如對圓；對球.由式〔2.1〕可以得出如下結論：它們是以兩點間的距離為根底的，而且它們的量綱數分別等于幾何圖形存在的空間的維數。在物理學中，大于3維的空間也是存在的，如把時間和空間一起加以考慮，就得到了所謂的四維空間。以上討論的維數都是整數，它們的數值與決定幾何形狀的變量個數及自由度數是一致的。也就是說，直線上的任意點可用1個實數來表示，平面上的點可用由2個實數組成的數組來表示……52整理課件我們把自由度數作為維數，也稱為經驗維數。現在我們會問:是否有非整數維的幾何存在呢？實際上,假設對長度為1的線段n等分，每段長為r，那么(2.2)對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，那么(2.3)對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，那么(2.4)上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數，于是有如下公式(2.5)53整理課件對上式兩邊取對數，那么得到空間維數D的表達式：〔2.6〕對koch曲線而言，在第n步時，其等長折線段總數為4n，每段長度為，于是koch曲線的維數D應為

〔2.7〕

這是一個非整數值，它定量地表示koch曲線的復雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比較復雜，但其復雜程度可用非整數維數去定量化，維數愈大，其復雜性就會相應提高。54整理課件我們上面講的維數又稱為相似維數，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，那么有：

，(2.8)因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構成的，按式〔2.8〕，koch曲線的相似維數那么為(2.9)

下面我們再看看KOCH曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然，，，，那么55整理課件由于它是一條閉區間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統的歐氏幾何領域不可度量。而分維恰好反映了這種曲線的不規那么性和復雜性。由以上的討論，我們可以看到，從傳統的幾何學出發，我們用非常簡單的一把直尺去研究koch曲線，會發現它十分的復雜，它包含無限的層次結構，用什么樣的尺子都很難測量它，所以我們說koch曲線是很復雜的幾何對象。從分形幾何學出發，我們用一個看起來很復雜的測量單位——一個小的koch曲線——去測量koch曲線，所得的結果卻十分簡單。比照以上兩種情況：歐氏幾何用簡單的圖形作為工具，研究某些對象時發現存在著復雜性；分形幾何用復雜的圖形〔恰恰是利用自相似性，利用復雜圖形的本身或其一局部〕作工具,研究對象時得到非常簡單的結果。56整理課件維數的含義分形是復雜不規那么的系統,而描述這系統的粗糙,破碎,不規那么,不光滑程度及復雜性的定量指標和手段就是非整數維數:分維,分數維數是描述復雜對象或系統的最根本特征--分形特征的定量參數.分維D度量了系統填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統的無序性,表征了動力學系統最低的根本或獨立變量的個數.57整理課件描述的對象層次性自相似性特征長度表達方式維數人類創造的簡單的標準物體(可微,可導,連續,光滑,規整)常無

有用數學公式0及正整數1或2或3大自然創造的復(非歐幾何學)雜的真實物體(不連續,不可導,不規則,粗糙,不光滑,曲折)有

無用迭代語言,分維一般是分數(可是正整數)分形幾何學與歐氏幾何學的差異分形幾何學歐氏幾何學58整理課件三、分形理論的應用分形幾何的誕生接近30年，但它對多種學科的影響是極其巨大的。分形理論在生物學、地球物理學、物理學和化學、天文學、材料科學、計算機圖形學、語言學與情報學、信息科學、經濟學等領域都有廣泛的應用。生物學：肺〔人肺的分形維數約為2.17；血管〔血管直徑分布的分形維數約為2.3〕，人腦〔人腦外表的皺紋的分形維數約為2.73-2.79〕；蛋白質。地球物理學：海岸線、河流的干流和支流分布、地震研究。物理學和化學：超導；固體外表；高分子。59整理課件下面我們舉一個經濟學中的例子。所謂股票價格的變動。股票價格變動圖雖然經?？稍趫蠹垺不螂娨暤取成峡吹?，但因價格漲落得非常厲害，而且完全是隨機的，因此使人感到幾乎無規律可循。但假設從統計學觀點解析這一變動，就會發現有很好的規律。Mandelbrot發現下面兩個法那么：⑴每個單位時間內的股票價格變動分布，服從特性指數D≈1.7的對稱穩定分布。⑵單位時間不管取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說，適當地改變尺度，就可成為同樣的分布。60整理課件關于穩態分布,只討論與分形有關的一些性質。假設把單位時間T之間的股票價格變動x的分布密度記為P〔x〕，那么下述關系成立：

此關系式表示股票價格變動的大小分布為分形。例如，一天的股票價格變動在x元以上，比2x元以上的變動次數多21.7≈3.2倍。法那么〔2〕表示股票價格變動在時間上也是分形的。一天的股票價格變動圖形與一年的股票價格變動圖形相比，不同的只是股票價格的尺度，而對變動情況那么很難加以區別。61整理課件

下面我們再介紹分形對哲學的影響。分形中充滿著辯證法思想，它不僅為辯證法提供新的事例，而且可以豐富人們對辯證法的認識。分形理論中具有確定性與隨機性、內在隨機性與外在隨機性、局部與整體、簡單與復雜等幾對矛盾的辯證關系。后面，僅對所謂整體與局部這一對矛盾，存在著辯證的關系，加以簡要的闡述。很早以前，人們對局部〔局部〕與整體的關系，是認為整體可以分解為一些局部，整體是由局部組成的；局部包含在整體之中，是整體的組成局部，局部相加可以構成整體。因此，整體等于局部。在這一認識中,把局部與整體的關系理解為機械的分解和相加。比方，人們在求面積的過程中就充分表達了這一思想。人們正是基于這種整體與局部的關系的看法，形成簡化事物的方法——復原論方法。這種方法確實為我們解決了許多問題，推動了科學技術的開展。但是，隨著科學技術的開展，說明它并非總是有效的。62整理課件

17世紀，伽利略〔Galileo，G.1564～1642〕在1638年出版的?關于新科學的對話?一書中提出一個悖論：正整數集合s1的元素與正整數平方的集合s2的元素是一樣多的。人們稱伽利略悖論,可以表示如下：

s1：1，2，3，…，n…

s2：12，22，32，…，n2…一方面從常識來看，s1的元素顯然比s2的元素多。因為從12到22就少了2、3兩個數，從22到32缺少5、6、7、8四個數，一般地從n2到〔n+1〕2就缺少2n個正整數；另一方面從上面所列的一一對應關系來看，s1與s2的元素確實是一樣多的，或者說s1的元素并不比s2的元素多。63整理課件

當時，人們用有限數的眼光來看待無限數的關系，無法理解這種奇特的現象，所以稱它為伽利略悖論。這個悖論說明什么呢？在無窮集合中，整體可以與局部相等，或者說整體不大于局部。這說明我們不能把有窮情況下得出的結論，不加限止地推廣到無窮的情況，說明我們以前對整體與局部的關系的認識是有條件的，不是普遍有效的。在局部〔局部〕與整體的關系，分形幾何已經揭示出一個重要特點：自相似，即取分形上任意一小局部加以放大，就可以發現局部與整體是相似的。這種自相似可以是嚴格的或有規律的，也可以是近似的或統計的。因此，自相似性為我們理解局部與整體的辯證關系提供了新的科學依據。64整理課件

對于傳統的和分形理論中關于局部與整體的關系，可用圖3