2020-2021九年級上下冊單元過關卷（滬教版）

第24章相似三角形（鞏固篇）

姓名：考號：分數：

（考試時間：100分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，已知零件的外徑25cm,現用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和3。相等，OC=OD）

量零件的內孔直徑AB，若OC:AC=1:3,量的CD=10mm,則零件的厚度為（）

A.2inmB.2.5mmC.3mmD.3.5mm

【答案】B

【分析】

先根據題意證明勖。曬COD,再根據相似三角形對應邊成比例求出A8,問題得解.

【詳解】

解：團兩條尺長AC和8。相等，OC=OD,

回。4=。8,

0OC：AC=1：3,

（30C：OA=1：2,

0OD：08=0C：04=1：2,

^\COD=BAOB,

^\AOBSBCOD,

0CD:AB=OC：OA=1：2,

BCD=10mm,

M8=20mm,

回零件的厚度為g(25-20)=2.5mm.

故選：B

【點睛】

此題考查相似三角形的應用，把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比,

求出零件的內孔直徑AB是解題關鍵.

k

2.如圖，中，對角線經過點。，BDYAD，軸，反比例函數＞=一

x

的圖象經過點5和點。(1,2),則8的長為()

C.5D.6

【答案】C

【分析】

設軸于點E，根據反比例函數的性質求得8點坐標為(-1,-2),然后利用勾股定

理及相似三角形的判定和性質求解.

【詳解】

解：設無軸于點E,

團nABCD中，對角線80經過點O，y=人的圖象經過點B和點。(1,2),

回8點坐標為(-1,-2)

回。￡=1,BE=2

在RtaoEB中，OB=YOE2+BE2=石

回8。=2。8=2逐

&BD±AD^AB_Lx軸，

EEL4D8=I3OEB=90°

又13幽8。=回。8￡

EEMDSEEOEB

OBABV5AB

BEBD22后

解得:AB=5

回口ABCD中，CD=A8=5

【點睛】

本題考查反比例函數與兒何綜合以及相似三角形的判定和性質，掌握相關性質定理，利用數

形結合思想解題是關鍵.

3.如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2:3,點A,B的對應點

分別為點A',B'.若AB=6,則的長為()

【答案】B

【分析】

直接利用位似圖形的性質得出線段比進而得出答案.

【詳解】

解：團圖形甲與圖形乙是位似圖形，0是位似中心，位似比為2:3,

0AB=6，

回A'B'=9

故答案為：B.

【點睛】

此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵.

4.一個矩形按如圖1的方式分割成三個直角三角形，最小三角形的面積為5,把較大兩個

三角形紙片按圖2方式放置，圖2中的陰影部分面積為52,若$2=25,則矩形的長寬之

比為（）

圖1圖2

廠4廠

A.2B.y]2C.—D.43

【答案】A

【分析】

圖中直角三角形比較多，通過分析E、$2之間的關系轉化為線段比，所求的長寬等于兩個

三角形的相似比，面積比等于相似比的平方，從而求得線段比.

【詳解】

如圖（1）,設RdBDC的面積為S3；

如圖（2）由題意，知/1=/2,則N3+N1=N2+N4

Z3=Z4

:.OC=OA=OD

:.OA=-AC

2

S3=2s2

Q52=24

“4

ZABD+ZCBD=90°,ZABD+NBAD=90°

：.ZCBD=ZBAD

又ZBDC=ZADB=90°

:.AABD^ABCD

.?0=（紀尸

S.BC

_AB_]

"BC"2

二矩形的長寬之比為2.

圖2

故選A.

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，相似三角形的面積比等

了相似比的平方.，相似三角形，本題中找到￡、S3之間的關系是解題的關鍵.

5.在平面直角坐標系中，把AA6c以原點為位似中心放大，得到VAB'C,若點A和它的

對應點A'的坐標分別為(2,3),(6,9),則VAEC'與AABC1的相似比為()

11

A.—B.2C.-D.3

23

【答案】D

【分析】

根據坐標與圖形的性質進行解答即可.

【詳解】

解：團蜘8c和M8C關于原點位似，且點A和它的對應點A的坐標分別為(2,3),(6,9)

回對應點乘以3,則她，8c與胡8c的相似比為：3.

故選：D.

【點睛】

本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相

似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k是解答此題的關鍵.

6.如圖，在正方形A8CD中，點￡,F,G分別在邊8C,CD,DA±,四邊形EFGH由兩個正

A.75-1B.3-6C.3-也D.且二!■

22

【答案】D

【分析】

FGCE2CFBE

先證明ElDGFaaCFE,得出一=——=-,再證明回CFEEB8EA,得出——=—,設CE=a,

FEDF1CEAB

則CF=l-2a,BE=l-a,代入計算即可.

【詳解】

解：13四邊形48C。是正方形4BCD,四邊形EFGH由兩個正方形組成

00D=0B=0C=0GFE=9O°,GF=2EF

團團DFG+回CF￡=90°

團CFE+團CEF=90°

盟DFGWCEF

盟DG麗CFE

FGDF2

~FE~~CE~1

設CE=a,則CF=l-2a,BE=l-a

盟CEF+MEB=90°

EL4EB+團￡48=90°

釀EA8二團CEF

又回C=團8

^ICFE^BEA

CFBE

0------=-------

CEAB

1-2a\-a

0----------=---------

a1

0?2-3tz+l=O

0a<l

同3+6,仝土、3-6

回a=-----------（舍去），a=-----

22

SBE^l-a=1-=立11

22

故選：D.

【點睛】

本題考查相似三角形的性質及判定，正方形的性質，一元二次方程的解法，熟練掌握相似三

角形的判定是關鍵.

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，BFEMC,DF交AC的延長線于點E,交8F于點F,且CE：AC

=1：2.則下列結論不正確的有（）

A.SABESBADE；B.BCBE^SCDF；

C.DE—FE；D.SBBCE：S四邊）SA8FD=1：9

【答案】D

【分析】

由四邊形A8CD為菱形，AB=AD,SBAC=BDAC,可證AA8E也△ADE（S4S）可判定A；由

MLBE^^ADE，可得財BE=04DE,由四邊形ABCD為菱形，可得048C=EMDC,利用等角之

差MBE=mCDE,可判定B；連結BD交AC于。，四邊形ABCD為菱形，可得8。=2。。，可證

QDOE^EDBF,可證。p=2Z）E，可判定C；根據0E為（3DBF的中位線，（3D。田ED8F,可得

SADBF=4S4￡>OE，由CE：AC=1：2.可得%80A=5W8OC=SMC￡=5M。。，SBDOE=2S[BBCF,可求

S四A8FO=10SABC￡可判定D.

【詳解】

解：團四邊形A8CD為菱形，

^AB=AD,0S4C=0D4C,

團在EL48E和EL4DE中，

AB=AD

<NBAE=NDAE,

AE^AE

團AAB￡%A4OE（&1S）

故選項4正確；

皿BE=EgDE,

回四邊形ABCD為菱形,

WABC=SADC,

WCBE=SABE-&ABC=&ADE-&ADC=SCDE,

故選項B正確；

連結BD交AC丁0,

團四邊形A8CD為菱形，

SDO=BO,OESBD,

SBD=20D,

SBR2AE,

^DOE=&DBF,&DEO=BF,

SEDOEWDBF,

DODE1

回-----------——>

DBDF2

?DF=2DE，

0DF=EF+DE=2DE，

@EF=DE，

故選項c正確；

000=08,DE=EF,

為團。8F的中位線，

^BF=20Ef

回S^DBF=4SADOE

0CE：AC=1：2.

04C=2CE,

^A0=0C=CEf

^S^B0A=S^B0C=S^BCE=SliAD0,

0S7]DOF=2S?jBCF，

故選項D不正確.

故選擇D.

【點睛】

本題考查菱形性質，三角形全等判定與性質，三角形相似判定與性質，三角形面積與四邊形

面積，掌握菱形性質，三角形全等判定與性質，三角形相似判定與性質，三角形面積與四邊

形面積是解題關鍵.

8.如圖，已知點D、E分別在MBC的邊AB、AC上，DESBC,點F在8的延長線上，4F0BC,

則下列結論不正確的是（）

ADAEDEAF

C--------------D.-----=------

■ABACAFBC

【答案】D

【分析】

由A甩8C,DEHBC,得到AfElDE,根據平行線分線段成比例定理和三角形相似判定與性質即

可得到結論.

【詳解】

解：0DEI3BC,

ADAE

0------=------

BDCE

AD,AE,AD+BDAE+CE

團——+1=一+1,即un-------=---------

BDCEBDCE

ABACanBDCE

BDCEABAC

EWF0BGDE0BC,

幽用DE,

DECE

0-------=--------,

AFAC

BDDE

0------=--------

ABAF

故選項A正確,

04FEDE，

FDAE,FDDC

團---=----，即in----=----

DCECAEEC

故8正確,

團D￡08C,

0[?LADE=08,W\ED=^ACB,

^ADE^BABC,

ADAEj.

0----------------,故C1上確，

ABAC

(2L4F0DE,

DECD

0------=-------，

AFCF

04FI21BC,

團團外。二團B,國F二團DC8,

00/4FD008CD,

AFFD

團---=---

BCCD

DECDFD

0-------=--------w--------,故D不正確.

AFCFCD

故選:D.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，三角形相似判定與性質，掌握平行線分線段成比例定理,

三角形相似判定與性質是解題關鍵.

【答案】D

【詳解】

對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形.根據位似圖形的概念，AB,C

中的兩個圖形都是位似圖形；D中的兩個圖形對應頂點的連線不能相交于一點，不符合位似

圖形的概念，故不是位似圖形.

10.如圖，在正方形4BCO中，點E在CO邊上，點F在BE邊上，且4尸=筋，過點F

作FGLBE交BC于點G,若CG=2,￡>E=7,則正方形的邊長為（)

C.12D.13

【答案】C

【詳解】

如解圖，過點A作于點K,交BC于點H,設=?.?四邊形A5CD是正方

形，

BC=CD=AB=m,AABH=ZC=90°.

?;CG=2,DE=7,：.CE^m-1,BG=m-2.FG1BE,：.ZBFG=90°.

:AF=AB,AK1BE,BK=FK,即BF=2BK，

BHBK1

/BKH=9Q°=NBFG.:.^BKH^^BFG.——=—=一，即

BGBF2

BH=-BG=-(m-2).ZABK+ZBAH=ZABK+ZCBE=90°,

22

NBAH=4CBE,

ABAH=Z.CBE.在AABH和ABCE中，＜AB=BC,

NABH=NBCE.

：.BH=CE.Tm-,解得加=12.

2

11.如圖，點P（9,6）在△ABC的邊AC上，以原點。為位似中心，在第一象限內將AABC

則點P在A'C上的對應點p的坐標為（）

C.(4,3)D.(2,3)

【答案】A

【詳解】

由題意得點P在AC上的對應點P'的坐標為（3,2）.

CLhC

12.已知a,》,c為AABC的三邊，且——=——=——=k,則k的值為（）

b+ca+ca+b

A.1B.'?或1C.—D.1或-2

22

【答案】B

【詳解】

略

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

k_

13.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=(k<0,x<0)的圖象經過A、P兩點,

x

其中P為AB的中點，8點在x軸上，若豳。8的面積是9,則k的值為.

【答案】-6

【分析】

過點A作AC0X軸，垂足為C,點P作PD取軸，垂足為D,連接P。，根據k的幾何意義，

確定8D=DC=0C,根據兇。8的面積是9,計算4>C。的值，根據圖像的分布確定k值即可;

【詳解】

過點A作ACHx軸，垂足為C,點P作PD取軸，垂足為。，連接P0,

X

回SNOC=S/XPOD，

軸，PDlilx軸,

EJPDMC,

附P二P8,

0BD=DC,

1

0PD=—AC,

2

團一ACxCO二一PDxDO,

22

111

團一4>C0=—x—47(zDC+CO),

222

團。c=CO,

0BD=DC=OC,

的4。8的面積是9,

11

0—ACxBO=—ACx3CO=9，

22

04CxCO=6,

0|k|=6,

回圖像的分布在第二象限，

0k=-6,

故答案為：-6.

【點睛】

本題考查了反比例函數k的幾何意義，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，熟練

掌握反比例函數k的幾何意義，靈活運用三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理是解

題的關鍵.

14.如圖，在菱形ABCD中，AC,BD相交于點。，。。=2,將8c繞點8逆時針旋轉得到BE,

交CD于點F,且使得DE13BD.若AC=4DE,則CF=—.

【分析】

首先根據題目已知條件理清各邊之間的關系，根據勾股定理求出DE,AC的長，再根據勾股定

理求出菱形邊長，利用相似：WBWDBE^A\OF^]^Z,再利用相似用0cMF得出CF的

長.

【詳解】

設DE的長為X,

^AC=4DEf

蜘C=4x,

回四邊形ABCD為菱形，

EWO=；AC=2X,AC08D,

H04OD為直角三角形，

團AD=辦。2+002="%2+4,

團8c二皿

酗>J4f+4,

0DEI2BD,

03D8E為直角三角形，

此￡=y/BD2+DE2=次+f=716+x2>

乂EIBE=8C,

0A/16+X2=\)4X2+4>

解得X=2,

0D￡=2,AC=8,AO=OC=4,BC=DC=26，

設8E與AC交點為M,

SDEZDB,AC0D8,

0DEELAC,即DESOM,

團。為D8中點，

OMOB1

團----=---=一

DEDB2

0OM=1Z

又12004,

^\MC=0C-0M=3,

DEDF2

0--=--=—,

MCFC3

0CF=-DC=-?2^述，

555

故填:w

【點睛】

本題考查菱形的性質，旋轉的性質，勾股定理，相似，解題本題的關鍵是利用勾股定理求出

邊長，再根據平行得出兩組相似三角形.

15.如圖，在邊長為2的菱形A8CD中，蜘=60。，點E在AD上（不與A、。重合），連接

BE,CE,CE交BD于點F.當AE=DF時，則AE=.

【答案】3-V5

【分析】

DEDF

通過證明團DE用（3BCF,可得——=——，即可求解.

BCBF

【詳解】

證明：團四邊形A8CO是菱形，04=60°,

加嗡8C,團8c。=勵=60°,AB=AD=CD=BC.

0048D和團C8。都是等邊三角形.

^AD=BD=BC=2.

ME=DF,

aDE二BF.

^DE^BCF.

DEDF

團----=-----.

BCBF

設AE=DF=X9貝ljDE=BF=2-x.

2-XX

團—=-----.

22-x

2

整理得，X-6X+4=0.

解得，石=3—6，9=3+石.

03+V5>2-不合題意，舍去，

EME=3-V5.

故答案為：3-V5

【點睛】

本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、一元二次方

程的解法等知識點，正確的找到相似三角形,建立已知量和未知量的等量關系是解題的關鍵.

16.如圖，在△ABC中，。是8c的中點，以點。為位似中心，作AABC的位似圖形

△DEF.若點A的對應點。是AABC的重心，則△ABC與.DEF的位似比為.

【答案】3:1

【分析】

結合題意，根據三角形重心的性質，得AD=2OD；再根據位似的性質，得

△ODFs^OAC,通過相似比計算，即可得到答案.

【詳解】

13點。是AABC的重心，。是6c的中點

團4)=20。

回。是的中點，以點。為位似中心，作AA5c的位似圖形△。所

團△ODRs/XOAC

ACOAOD+AD3

F51_______—_______—_________________——

DF~OD~OD~1

故答案為：3:1.

【點睛】

本題考查了位似、三角形重心、相似三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形重心、位

似和相似三角形的性質，從而完成求解.

AB

17.如圖，以點。為位似中心，將E10AB放大后得到I30CD,04=3,AC=7,則一?=.

CD-

【答案】本3

【分析】

利用位似的性質求解.

【詳解】

解：???點。為位似中心，AQ43放大后得到A0CD，

.ABOA33

"CD-OC_3+7-10'

3

故答案為布.

【點睛】

本題考查了位似變換：位似的兩個圖形必須是相似形，對應點的連線都經過同一點；對應邊

平行（或共線）.

18.如圖，點A是邊長為2的正方形DEFG的中心，在AABC中，ZABC=90°，A3=2,

BC=4,OG//BC,點P為正方形邊上的一動點，在的右側作NP5H=90°且

BH=2PB,則A”的最大值為.

E

【答案】2萬

【分析】

連接BD,連接BG并延長到。，且使GD'=8G,易得4DPB?4DHB，由此可得當

點P在DG上運動時，點”在過點。'且垂直于8c的線段D'G'上運動，且。G'=-4,仿

此，可得點”在以點C為中心的邊長為4的正方形上運動，可得當點P與點F重合時，AH

取得最大值，在RtSAE'E'中，利用勾股定理即可求得A”的長.

【詳解】

如圖，當點P在線段0G上時，連接BD,連接BG并延長到。'，且使GD'=BG

0BO3DG,EWeC=90"

EMB0DG

回四邊形DEFG是正方形，且A為正方形的中心，AB=DG=2

EMB、DG相互垂直平分

OBO=BG,回。BG=90°

@BD=2BD

EI8H=2PB

BD'BH、

0——=——=2

BDPB

00DBG=0PBH=9O-

0NDBP=〃JBH

Se/\DRP~/\D'RH

0/BDG=/BD'H,D'H=2DP

a3BDG=IZ]BGD=45°,I3DGF=9O°

釀FGD'=45°,ZBDG=NBD'H=45。

0FG0DH

I3DG0FG

0DG0D'H

故當點P在邊OG上運動時，點H則在線段。'G'上運動，且。'G'=2DG=4

由此可得，當點P在四邊形DEFG上運動時，點”在以C為中心的正方形DE/'G'上運動,

且其邊長為4

當點P與點F重合，點”與點尸重合時，AH最長，此時連接A。'，則47=2

回AE'=47+OE=6

在戶'中，由勾股定理得：AH=AF'-yjAE'2+E'F'2=762+42=2713

故答案為：2屈

【點睛】

本題是動點問題，求線段的最大值，它考查了正方形的性質，三角形相似的判定與性質，勾

股定理等知識，關鍵和難點是確定動點H的運動路徑.

三'解答題(本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

19.有五本形狀為長方體的書放置在方形書架中，如圖所示，其中四本豎放，第五本斜放.每

本書的厚度為4cm,高度為20cm.

(1)找出圖中的相似三角形，并證明.

(2)當CD=16cm時，求書架的寬BF.

【答案】(1)I2CDEEBEFG,證明見解析；(2)—cm

【分析】

(1)根據同角的余角相等EICEDWEGF,EICDE=EIEFG=90"可得回CDEE0EFG；

(2)由題意可知EG=4cm,CE=20cm,CD=16cm,根據勾股定理求出DE的長，根據相似三

角形的性質可得EF的長，由BF=BD+DE+EF即可求解.

【詳解】

解：⑴ACDEsgFG.

證明：NCDE=NEFG=NCEG=90°,

NCED+NGEF=90°,ZEGF+Z.GEF=90°,

:.Z.CED=ZEGF,

?.?ZCDE=ZEFG=90°,

:.XCDEs.FG:

(2)由題意可知EG=4<7w,CE=20cm.CD—I6cm.

QNCDE=90。，

DE=^CE--CD-=12(cm),

?:NCDE》莊FG,

.EFEG

"ZB一在‘

,EF4

?--=--，

1620

?尸*3

??匕r—，

5

,/BD=4x4=16(cvn),

BF=BD-^DE+EF=16+12+—=—(cm),

55

答：書架的寬B尸為飛-cm.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的理解題意，認真識別圖形是解題的關

鍵.

20.如圖1是一張矩形紙片，點E在邊A8上，把ABCE沿著直線CE對折，點B恰好落在

對角線AC上的點F處.如圖2,連結。F,若點E,F,。在同一直線上.

(1)請寫出圖中與邊DC相等的線段并說明理由.

(2)若AE=2，求EF的長.

(3)如圖3,延長EF交邊AD于點G,若。G：AG=〃，且AE=2，求BE的長(請用含

"的代數式來表示)

【答案】(1)DC=AB=DE,見解析；(2)EF=#-1；(3)>/n2+6n+5-(n+1)

【分析】

(1)利用矩形的性質和軸對稱的性質即可找到與OC相等的線段；

(2)設EF=E8=x,則CD=DE=x+2,通過△AEf's^CDR,利用“相似三角形的對應邊成比

例”將已知量和未知量:建立聯系，從而求得訐的長；

(3)借助于(1)、(2)兩題的經驗和方法，同樣將已知與未知通過AOUGSAAEG與

△AEFs"HF建立聯系,解決求BE的長度的問題.

【詳解】

(1)答：DC=AB=DE.理由如下：

團四邊形A8CD是矩形，

BDC=AB,DC^AB.

國NDCE=NCEB.

國將.BCE沿CE翻折得到/\FCE,

⑦NCEF=NCEB.

也NDCE=NCEF.

團DC=DE.

0DC=AB=DE.

（2）0DC-DE-AB,

0DC=DF+EF=AE+BE，

由折疊知8￡=所，

0AE=￡>F=2.

團。皿8,

團/\AEF^Z\CDF，

AEEF

回------.

CDDF

設EF=EB=x,則CD=DE=x+2.

整理得，X2+2X-4^0

解得，玉=石—1,X2=-A/5-1（不合題意，舍去）.

回族=逐-1.

（3）如圖3,延長EG,CD交于點H.

OHCELAB,

0/HCE=NCEB.

回將ABCE沿CE翻折得到叢FCE，

國NCEH=NCEB.

BZHCE^ZCEH.

0HC=HE.

0DHELAE,

0△Z）//G0°z^4￡G.

0DH=tiAE=2n.

設BE二FE=x,則CD=AB=x+2.

⑦HE=HC=DH+DC=2n+x+2.

HF=HF-EF=2n+x+2-x=2n+2.

EL4E0CH,

田△AEFs?HF.

AEEF

團---=----.

CHHF

2x

0------------=--------.

2n+x+2In+2

整理得，x?+2(〃+l)x—4(〃+1)=0.

22

解得，x,=y/n+6n+5-(n+1),x2=-yjn+6n+5—(n+1)(不合題意，舍去).

⑦BE=x=J/+6〃+5-+1).

【點睛】

本題考查了矩形的性質、軸對稱的性質、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質、一

元二次方程的解法等知識點，熟知相關圖形的判定或性質是解題的基礎，將已知量和未知量

通過相似三角形的性質建立聯系是解題的關鍵.

21.如圖，在AA5c中，AB=AC,N8AC=a,M為的中點，點。在上，以點

A為中心，將線段順時針旋轉a得到線段AE，連接BE,DE.

(1)比較NBAE與NC4D的大小；用等式表示線段BE,之間的數量關系，并證

明；

(2)過點M作AB的垂線，交QE于點N,用等式表示線段NE與的數量關系，并

證明.

【答案】(1)ZBAE=ZCAD.BM=BE+MD，理由見詳解；(2)DN=EN，理

由見詳解.

【分析】

(1)由題意及旋轉的性質易得N84C=NE4O=a,AE^AD-然后可證

進而問題可求解；

(2)過點￡作EHM8,垂足為點Q,交A8于點H,由(1)可得NACD,BE=CD,

易證BH=BE=CD,進而可得=然后可得ADMNS^DHE,最后根據相似

三角形的性質可求證.

【詳解】

(1)證明：EZBAC^ZEAD^a，

SlZBAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a!,

SZBAE=ZCAD.

由旋轉的性質可得AE=AD^

0AB—AC>

^^ABE^ACD(SAS),

0BE=CD,

13點M為BC的中點，

0BM-CM,

&CM=MD+CD=MD+BE,

0BM-BE+MD:

(2)證明：DN=EN,理由如下：

過點E作EH048,垂足為點Q,交AB于點H,如圖所示:

⑦NEQB=NHQB=90。,

由(1)可得△ABE/AC。，

SZABE=ZACD,BE=CD,

0AB=AC,

0ZABC=ZC=ZABE,

SBQ=BQ,

Q^BQE^BQH(ASA),

0BH=BE=CD,

0MB-MC.

0HM=DM，

團MNLA5,

MNIIEH,

ElADMNSADHE.

DMDN1_

0---------

DHDE2

SDN=EN.

【點睛】

本題主要考查全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性質、旋

轉的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性

質、旋轉的性質是解題的關鍵.

EB1

22.矩形ABCO中，E是BC上一點，—連結AE,作AE的中垂線FG交A8,CD于

AB2

點F,G,交AE于點H.

(1)若AB=BC,求證：AE=FG.

cS1

(2)若AB=3C,記△A”「的面積為S,矩形ABC。面積為$2,求廣的值.

~DG1-

(3)石—，<KLrJ值.

CG5AB

D,\G___________C

■

A6B

【答案】(1)證明見解析；(2)—；(3)—

6412

【分析】

(1)根據AA5證明△GKF學AABE即可得到結論：

(2)連結EF,設EB=a,AB=2a,EF—x>則EF=,AF-x.EB=2a-x.根據勾

股定理求得x=3,再計算三角形的面積即可得到結論；

(3)過G點作GHJ_AB于點R,連結EF,設。G=Z,(CG=5k,則AB=￡>C=6左，

EB=3k，再設AE=EF=x，由勾股定理可得％=”攵再證明尸S/XABE,根

4

據相似三角形的性質可得結論.

【詳解】

(1)如圖1,過G作G?8于點K

K

圖1

團AB=BC,

回矩形ABC。是正方形、

ZGKF=ZABE=90°,GK=AB,

H3E4H=E1BAE,04HF=0S=90o

⑦NGFK=ZAEB,

回ZXGKF也△ABE,

0AE=FG.

(2)如圖2,連結EF,

設EB=a,AB=2a,EF=x,則石廠二人尸二刀,FB=2a-x.

在RtAEFB中，有EF2=FB2+EB2-

0x2=(2a-x\+a2,

化簡得x=*a.

4

222

團E=^SAAEF=^-x^x^axa=^-a,S2=(2a)=4a.

ZZZ4lo

回EL武，5.

S2-4a2-64

(3)如圖3,G在CD上.過G點作GRJ_A5尸點R,連結EF,

DGI

0——=一,汲DG=k,CG=5k,則AB=0C=6左，EB=3k,再設==

CG5

FB=6k—x,

在Rt/\EFB中，有EF2=FB?+EB2-

0%2=（6A:-X）2+（3A:）2.

化簡得:

RF=AF-AR=AF-DG=x-k=—k-k=—k.

44

又?NGRF=NABE=90°，ZGFR=ZAEB,

0/\GRF^ZXABE,

GRAB

0---=----.

RFBE

GR=211

011,即GR=—G,.

772

與

BCB_2_11

~AB~~6k~n

【點睛】

本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角

形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形

相似是解題的關鍵.

23.己知：如圖，在四邊形A8Q9中，E是邊A3的中點，連接耳），EC.將AADE沿直

線ED折疊，將ABCE沿直線EC折疊，點48同時落在CD邊上點F處.延長AO,EF相

交于點G,連接GC.

BC

(1)填空：直線AD與直線的位置關系是；

(2)若4=90°,AB=12,求的值；

(3)在(2)的條件下，若△CFG與△EFD相似，求AO的長.

【答案】(1)平行；(2)36；(3)20或3亞

【分析】

(1)由折疊的性質得S4DEEBFDE,團BCH33FCE,根據全等三角形的性質可得M=(3OFE,0B

=0fFC,由平角的定義可得出兇+回8=180°,即可得出AD回8C；

(2)由折疊的性質得附ED=EIDEF,QBEC^FEC,由平角的定義可得出EL4ED+08EC=90°,根

據如1=90。可得a4ED+EMOE=9(r,則04DE=EI8EC,由8c得EL4=?8=90。，可得E1ADE008EC,

根據相似三角形的性質即可得出結論；

(3)分兩種情形：①回CFGEEEFD,^CFG^EEFD,0ADE00FDE,0BCE00FCf,由(2)求得的

B4DE0I38EC可得EICFCEHCFE,根據相似三角形的性質得自CEF=I3CGF,0￡CF=0GCF,等角對等

邊得CE=CG,根據等腰三角形的性質可得CDI3EG,EF=GF,由線段中垂線的性質得DE=DG,

則EIDGF=囪DEF,可得回DGF+I3CGF=E1DEG+I3C￡F=9O。，可得出四邊形A8CG是矩形，則CG=

48=12,可得CE=12,根據勾股定理可求出BC的值，利用(2)的結果即可求

解.(2)SCFGWDFE,延長DE交CB的延長線于兀設AD=x,8C=y.構建方程組求解即可.

【詳解】

解：(1)由折疊得：SADEEBFDE,SBCE^EFCE,

33A=^DFE,0B=0EFC,

EBDFE+EIEFC=180°,

004+06=180°,

SAD回8C,

即直