一種確定小波分解層數的自適應算法

0閾值函數的選取及估計效果1992年，首席教授提出的非線性噪聲消噪算法是一種廣泛使用的抗小波噪聲去除方法之一。該方法的基本原則是基于這樣的事實。在小波分解后，噪聲信號的噪聲能量主要集中在高頻部分，分布均勻，包括云數較多但振幅較大的小波系數。有用信號的能量集中在多個振幅較大的小波系數上。因此，可以通過選擇合適的閾值來切割和處理小波系數，將值小于該閾值的小波系數置為零，并保持或關閉具有較大位移系數的小波系數。閾值函數的映射可以用于評估小波系數。最后，評估系數的估計直接用于去除噪聲。在該方法中,門限閾值的選取以及對小波系數進行量化處理的閾值函數的選取是影響去噪效果的關鍵.在閾值的選取上,由于最早由Donoho和Johnstone給出的統一閾值δ=σ2ln(N)??????√δ=σ2ln(Ν)有“過扼殺”小波系數的傾向,因此人們紛紛對閾值的選取進行了研究,提出了多種不同的閾值確定方法,比如Chang等人給出的BayesShrink閾值,Moulin等人給出的MapShrink閾值以及目前使用較多的SureShrink閾值和GCV閾值.在閾值函數的選取上,由于Donoho等人給出的經典的軟閾值和硬閾值函數分別都存在著一些缺陷,一些學者對其進行了改進,并得到軟硬折中閾值函數和模平方閾值函數等.在實際應用中,通過實驗發現不僅閾值和閾值函數的選取是影響去噪效果的關鍵,小波分解的層數(即尺度)J也對去噪效果有重要影響.人們通常的做法是在對含噪信號進行小波分解時,根據經驗預先設定一個分解層數.但仿真實驗發現,對不同的信號,在不同的信噪比下,都存在一個去噪效果相對較好的分解層數.當分解層數過多時,對所有各層小波系數都進行閾值處理,會造成有用信號信息的丟失,反而使信噪比下降,而且計算工作量也大為增加;當分解層數過少時,導致不能有效地去除噪聲,信噪比不能得到很大提高.因此,確定一個合理的分解層數對去噪是必要的.本文在對含噪信號的小波變換特性分析的基礎上,基于運用自相關函數進行白噪聲檢驗的方法,提出了一種確定小波分解層數的自適應算法,并以軟閾值函數為例,結合4種不同的閾值選取準則,以信噪比和最小均方誤差為度量指標,通過仿真實驗驗證了該方法的有效性.1自相關函數估計在實際應用中,采集到的信號常混有白噪聲.白噪聲可以看作是一個平穩的隨機序列,它是均值為零,方差為常數的不相關隨機變量構成的序列.根據時間序列分析的相關知識,白噪聲序列的理論自相關函數為:ρk={1,k=00,k≠0ρk={1,k=00,k≠0.因此,可以利用白噪聲序列自相關函數的這一特性進行白噪聲的檢驗.在自然界中,純粹的白噪聲很難遇到,很多隨機序列只是近似的符合白噪聲的特性.而且在實際中,我們所得到的只是一個隨機過程的有限個觀測值構成的有限序列,由此只能得到自相關函數的估計值.因此,只能用自相關函數的估計來檢驗一個序列是否符合白噪聲的特性.檢驗方法如下:假設離散有限數據序列zt(t=1,2,…,N),將它看作一個隨機序列的有限個樣本值,定義其自相關函數的估計為:ρ?k=γ?kγ?0?k=1,2,?,Kρ^k=γ^kγ^0?k=1,2,?,Κ其中γ?k=1N∑t=1N?k(zt?zˉ)(zt+k?zˉ)γ?0=1N∑t=1N(zt?zˉ)2zˉ=1N∑t=1Nztγ^k=1Ν∑t=1Ν-k(zt-zˉ)(zt+k-zˉ)γ^0=1Ν∑t=1Ν(zt-zˉ)2zˉ=1Ν∑t=1Νzt分別是自協方差函數γk、序列方差σ2zz2、序列均值μ的估計.考慮序列(N??√ρ?1?N??√ρ?2?N??√ρ?3??,N??√ρ?k)(Νρ^1?Νρ^2?Νρ^3??,Νρ^k),因此檢驗zt(t=1,2,…,N)是否是白噪聲序列,就轉化為檢驗這K個量是否相互獨立并服從標準正態分布.令Qk=∑k=1K(N??√ρ?k)2=N∑k=1Kρ?2kQk=∑k=1Κ(Νρ^k)2=Ν∑k=1Κρ^k2,此時,問題又轉化為檢驗Qk是否服從自由度為K的中心χ2分布,這時利用統計學中的假設檢驗即可實現,具體檢驗過程不在此贅述.2基于小波分解的白噪聲檢驗由小波理論可知,含噪信號經過小波變換以后,有用信號和噪聲在各層小波空間里分別具有不同的特性:信號的主要特征由分布在較大尺度上的少數幅值較大的系數來表征,而噪聲則表現在各層小波空間里,對應著個數較多,幅值較小的小波系數.白噪聲經過小波變換之后仍然是白噪聲,因此,在強噪聲弱信號的情況下,在大多數小波空間里,白噪聲起主導作用,表現出白噪聲的特性,而在少數大尺度小波空間里,信號對應的小波系數占主導地位,表現出非白噪聲的特性.因此,可以通過對小波系數進行白噪聲檢驗來自適應確定分解層數,具體算法如下:①選擇一個小波函數,將待處理的離散含噪信號{f(k)}進行一層小波分解;②保留(1)中得到的尺度系數a1,對得到的小波系數d1進行白噪聲檢驗.若d1能通過白噪聲檢驗,則對a1繼續進行一層分解;③重復上述步驟,即每分解一層,就對該層小波系數進行一次白噪聲檢驗,直到分解得到的小波系數不能通過白噪聲檢驗為止;④放棄最后一次未通過白噪聲檢驗的分解結果,即若分解了n次,則分解層數為n-1.并將分解得到的各層小波系數d1,d2,…,dn-1根據閾值λj(j=1,2,…,n-1)進行軟閾值量化處理;⑤用尺度系數an-1及經過閾值處理后的小波系數d1,d2,…,dn-1進行重構,即得到消噪后的信號.3最佳分解層數的選取為了驗證確定合適分解層數的重要性以及本文方法的有效性,以Blocks、Bumps和Heavysine3種典型信號為例進行仿真實驗,原始信號如圖1所示.在以上3種信號中,分別疊加均值為0,標準差為1的高斯白噪聲形成待處理信號,如圖2所示.在實驗中,選用Daubechies4小波進行分解.仿真實驗中均采用軟閾值方法.門限閾值的選取準則分別采用heursure(混合準則),rigrsure(無偏風險估計準則),minimaxi(極大極小準則)和sqtwolog(固定門限準則)四種準則進行處理.對3種信號分別用本文的方法,確定的“最佳”分解層數分別為5,4和5.把這個最佳分解層數下的處理結果與其相鄰的上下兩個分解層數下的處理結果進行對比,并以信噪比和最小均方誤差為度量指標,如表1～3所示.從表中數據可知,對不同信號,分解層數的選取對去噪效果確實有重要影響.當分解層數過少時,不能有效去除噪聲;當分解層數過多時,去噪后信號的信噪比反而下降.這說明一個合適的分解層數對取得較好的去噪效果是至關重要的.同時從表中數據還可以看到,采用不同的閾值選取準則,對應的最佳分解層數會有所不同.比如對Blocks信號,如果閾值準則采用heursure和rigrsure,最佳的分解層數為5;如果閾值采用minimaxi和sqtwolog準則,最佳的分解層數為4.對Bumps信號也存在類似的結論.這說明小波分解層數、閾值選取準則以及閾值函數的選取對去噪效果的影響并不相互獨立,而應結合起來綜合考慮.雖然用本文方法確定的Blocks信號的最佳分解層數為5,這與閾值選取準則為minimaxi和sqtwolog的時候不一致,但是從去噪后的信噪比和最小均方誤差來看,5層的分解層數和rigrsure準則結合,效果是最佳的.這說明本文的方法是有效的.最后利用本文分層方法,給出3種含噪信號的去噪結果,如圖3所示.4自適應確定分解層數本文通過對含白噪聲信號