基于高斯白噪聲的最佳接收機(jī)性能研究

隨著通信技術(shù)的快速發(fā)展，提高數(shù)字通信的可靠性已成為一個現(xiàn)實(shí)問題。特別是，高速計(jì)算機(jī)進(jìn)入通信領(lǐng)域后，人們對數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)的差異得到了控制。數(shù)字信號在通信系統(tǒng)中傳輸時,因系統(tǒng)特性不理想和信道中有噪聲干擾而引起數(shù)字信號波形失真,在接收判決時可能誤判而造成誤碼。信道中的噪聲干擾隨機(jī)地與信號疊加,使數(shù)字信號變形,這種噪聲為加性噪聲,信道中加性噪聲的出現(xiàn)及其大小都是隨機(jī)的。若噪聲的n維分布都服從高斯分布,這類噪聲統(tǒng)稱為高斯噪聲,它造成的誤碼前后無關(guān),互為獨(dú)立。若噪聲的功率譜密度在整個頻率范圍內(nèi)是均勻的(即是一個常數(shù)),則稱之為白噪聲。既服從高斯分布而功率譜密度又是均勻分布的噪聲稱為高斯白噪聲。國內(nèi)外的專家學(xué)者一直致力于研究在隨機(jī)干擾存在的情況下如何最好地接收數(shù)字信號。作者從加性高斯白噪聲信道最佳接收機(jī)的性能研究入手,重點(diǎn)探討了獲得最佳接收機(jī)的有效途徑。1信號的信號條件在二進(jìn)制通信系統(tǒng)中,由0和1組成的二進(jìn)制數(shù)據(jù)采用兩個信號波形S0(t)和S1(t)來傳輸。假設(shè)數(shù)據(jù)速率為Rbit/s,發(fā)送每個比特都根據(jù)如下規(guī)則映射為相應(yīng)的信號波形:0→S0(t)0≤t≤Τb；1→S1(t)0≤t≤Τb0→S0(t)0≤t≤Tb；1→S1(t)0≤t≤Tb其中Tb=1/R是比特時間間隔。若數(shù)據(jù)比特中0,1出現(xiàn)的概率相同,且是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,信道在傳輸信號時還疊加有功率譜為N0/2W/Hz的高斯白噪聲n(t),這種信道稱為加性高斯白噪聲(AWGN)信道。接收信號波形為:r(t)=Si(t)+n(t)i=0?10≤t≤Τbr(t)=Si(t)+n(t)i=0?10≤t≤Tb接收機(jī)的任務(wù)是根據(jù)在時間間隔0≤t≤Tb內(nèi)所收到的信號r(t)來確定發(fā)送的是0還是1。根據(jù)盡可能減少差錯的原則所設(shè)計(jì)的接收機(jī)稱為最佳接收機(jī)。加性高斯白噪聲信道的最佳接收機(jī)是由信號相關(guān)器(或匹配濾波器)、判決器兩個模塊組成的,如圖1所示。2關(guān)于機(jī)座的性能的研究2.1信號相關(guān)器t的兩種發(fā)送信號S0(t)和S1(t)與接收信號r(t)的互相關(guān)運(yùn)算(圖1),在時間間隔0≤t≤Tb內(nèi)計(jì)算兩個輸出,在t=Tb時對輸出進(jìn)行抽樣,并送入判決器。假設(shè)發(fā)送信號S0(t)和S1(t)的波形如圖2所示,當(dāng)發(fā)送信號S0(t)時,接收信號為:r(t)=S0(t)+n(t)0≤t≤Τb由于兩個信號波形是正交的,存在∫Τb0S0(t)S1(t)dt=0,因此,在t=Tb抽樣時刻相關(guān)器輸出為r1=∫Τb0r(t)S1(t)dt=∫Τb0S0(t)S1(t)dt+∫Τb0n(t)S1(t)dt=n1r0=∫Τb0r(t)S0(t)dt=∫Τb0S20(t)dt+∫Τb0n(t)S0(t)dt=E+n0式中:n0,n1為信號輸出的噪聲分量,n0=∫Τb0n(t)S0(t)dt,n1=∫Τb0n(t)S1(t)dt;E為信號S0(t)和S1(t)的能量,E=∫Τb0S2(t)dt=A2Tb。當(dāng)發(fā)送信號S1(t)時,接收信號為r(t)=S1(t)+n(t)?0≤t≤Τb容易得出,此種情況下信號相關(guān)器的輸出為r0=n0?r1=E+n1相關(guān)器(無噪聲情況)輸出波形如圖3所示。因?yàn)閚(t)是功率譜N0/2的高斯白噪聲的抽樣函數(shù),那么容易證明噪聲分量n0和n1分別是均值為0、方差為σ2i(i=1,2)的高斯過程。所以,當(dāng)發(fā)送S0(t)時,r1是一個均值為0、方差為σ2的高斯過程,而r0是一個均值為E、方差為σ2的高斯過程;當(dāng)發(fā)送S1(t)時,r0是一個均值為0、方差為σ2的高斯過程,r1是一個均值為E、方差為σ2的高斯過程。2.2脈沖信號h0和s1t的輸出匹配濾波器可以代替信號相關(guān)器進(jìn)行信號r(t)的解調(diào)。一個與輸入信號波形S(t)(0≤t≤Tb)相匹配的濾波器的脈沖響應(yīng)為:h(t)=S(Τb-t)0≤t≤Τb(1)其輸出信號波形y(t)可由卷積積分y(t)=∫t0S(τ)h(t-τ)dt(2)給出。用(1)式得出的h(t-τ)代入(2)式,有:y(t)=∫t0S(τ)S(Τb-t+τ)dt如果在t=Tb時刻對y(t)進(jìn)行抽樣,則得到:y(Τb)=∫Τb0S2(t)dt此時,匹配濾波器的輸出與信號相關(guān)器的輸出是相同的。對S0(t)和S1(t)兩種信號采用匹配濾波器進(jìn)行解調(diào),先從S(t)得到S(-t),再將S(-t)延遲Tb得到S(t-Tb),最后獲得脈沖響應(yīng)(如圖4所示):h0(t)=S0(Τb-t)h1(t)=S1(Τb-t)若發(fā)送信號為S0(t),接收信號r(t)=S0(t)+n(t)經(jīng)過上述兩個濾波器,得到的脈沖信號h0(t)和h1(t)的輸出響應(yīng)如圖5所示。因此,在t=Tb抽樣時刻,兩個脈沖響應(yīng)h0(t)和h1(t)的匹配濾波器的輸出分別為:r0=E+n0r1=n1顯然,這兩個輸出與t=Tb時刻抽樣相關(guān)器輸出信號是相同的。2.3關(guān)于平均誤差和信噪比判決器是根據(jù)相關(guān)器或匹配濾波器的輸出r0和r1來判決發(fā)送信號的波形是S0(t)還是S1(t)。對于信號相關(guān)器而言,這兩個發(fā)送信號等概率,并且具有相等的能量。最佳判決器將比較r0和r1,并作出判決:當(dāng)r0>r1發(fā)送為“0”,當(dāng)r1>r0發(fā)送為“1”。判決器的差錯率可由下面的推導(dǎo)得到。當(dāng)S0(t)為發(fā)送信號波形時,其差錯率為:Ρe=Ρ(r1>r0)=Ρ(n1>E+n0)=Ρ(n1-n0>E)因?yàn)閚0和n1都是零均值的高斯隨機(jī)變量,它們的差x≡n1-n0也是零均值的高斯隨機(jī)變量,其方差為:E(x2)=E?(n1-n0)2?=E(n21)+E(n20)-2E(n1n0)又信號波形是正交的,E(n1n0)=0,則E(x2)=2(EΝ0/2)=EΝ0=σ2x所以,差錯率為:Ρe=1√2πσx∫∞Ee-x2/2σ2xdx=1√2π∫∞√E/Ν0e-x2/2dx=Q(√EΝ0)同樣可以證明,發(fā)送S1(t)信號波形時獲得的差錯率與發(fā)送S0(t)時相同。因?yàn)樵跀?shù)字序列中0和1是等概率的,所以上式給出的是平均差錯率。有時,要求將符號差錯率轉(zhuǎn)變?yōu)榈葍r的二進(jìn)制數(shù)字誤碼率。對于等價的正交信號,所有符號差錯發(fā)生的概率都是等價的,且為:PM/(M-1)=PM/(2k-1)k比特中的n比特出錯的方式有(kn)種,因此,每k個比特符號的平均差錯比特?cái)?shù)為:k∑n=1n(kn)ΡΜ2k-1=k2k-12k-1ΡΜ上式除以k恰好得到平均誤碼率。于是,每一符號的比特?cái)?shù)為:Ρb=2k-1ΡΜ/(2k-1)當(dāng)M=2,4,8,16,32,64時,二進(jìn)制數(shù)字誤碼率和信噪比Eb/N0間的函數(shù)關(guān)系如圖6所示,這里Eb=E/k是比特能量。可以看出,它與信噪比存在著一定的關(guān)系。信噪比用對數(shù)表示為(10log10E/N0),