2023-2024學年寧夏銀川市高二下學期期末數學(理)質量檢測模擬試題一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1．某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（

）A．甲學科總體的均值最小B．乙學科總體的方差及均值都居中C．丙學科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同2．若直線的參數方程為（為參數），則其傾斜角為（

）A． B． C． D．3．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在極坐標系中，把曲線繞極點逆時針旋轉后所得曲線的方程為（

）A．B．C．D．5．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則68.27%，95.45%），A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%6．有下列說法：①若某商品的銷售量（件）關于銷售價格（元/件）的線性回歸方程為，當銷售價格為10元時，銷售量一定為300件；②線性回歸直線一定過樣本點中心；③若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的值越接近于1；④在殘差圖中，殘差點比較均勻落在水平的帶狀區域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區域的寬度無關；⑤在線性回歸模型中，相關指數表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好；其中正確的結論有()個A．1 B．2 C．3 D．47．若，，，則事件A與B的關系是（

）A．互斥但不對立 B．對立C．相互獨立 D．既互斥又獨立1238．隨機變量的分布列如右，且滿足，則的值（）A．0B．1C．2D．無法確定，與，有關9．已知某口袋中放有大小、質地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定10．甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為（

）A． B． C． D．11．已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．12．某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數為，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．參數方程為(為參數)，化成直角坐標方程為_________.14．設點P為圓上的一動點，點Q為橢圓上的一動點，則的最大值為_________.15．已知關于x的不等式對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍是_________.16．已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則_________.三、解答題:(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)北京2022年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰自我?積極向上的體育精神，引導了健康?文明?快樂的生活方式.為了激發學生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向未來”為主題的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從參加體育實踐活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數記為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；18．(本小題滿分12分)為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數目為，求的分布列和數學期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3實驗組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數m，并完成下面2×2列聯表：合計對照組實驗組合計（ii）根據2×2列聯表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數據：0.100.050.0102.7063.8416.63519．(本小題滿分12分)在直角坐標系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線M，N的極坐標方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．20．(本小題滿分12分)函數.(1)當時，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求a的取值范圍.21．(本小題滿分12分)多年來，清華大學電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發投入計劃，該研發團隊為需要了解年研發資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發資金投入量x，和年銷售額，的數據（，…，12），該團隊建立了兩個函數模型：①②，其中均為常數，e為自然對數的底數，經對歷史數據的初步處理，得到散點圖如圖，令，計算得如下數據：20667702001446021500(1)設和的相關系數為和的相關系數為，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；（ii）附：①相關系數，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②參考數據.22．(本小題滿分12分)中國提出共建“一帶一路”，旨在促進更多的經濟增長和更大的互聯互通，隨著“一帶一路”的發展，中亞面粉、波蘭蘋果、法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車、電子元件、農產品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發一款電子產品，該電子產品的一個系統有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為900元.（1）求系統需要維修的概率；（2）該電子產品共由3個系統組成，設為電子產品所需要維修的費用，求的期望；（3）為提高系統正常工作的概率，在系統內增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作.問：滿足什么條件時可以提高整個系統的正常工作概率？

高二期末數學(理)答案1．某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（

）A．甲學科總體的均值最小B．乙學科總體的方差及均值都居中C．丙學科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同【正確答案】C【分析】根據正態曲線的特征進行判斷,從圖中看出,正態曲線的對稱軸相同,最大值不同,從而得出平均數和標準差的大小關系,結合甲、乙、丙的總體即可選項.【詳解】由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相等由正態密度曲線的性質,可知σ越大,正態曲線越扁平,σ越小,正態曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選:C.2．若直線的參數方程為（為參數），則其傾斜角為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】求出直線的斜率，結合誘導公式可求得該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，所以，該直線的傾斜角為，故選：B.3.設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】首先解出不等式和，根據兩個不等式的解集即可得出答案．【詳解】由，得，解得；由，得，得因為當時，一定可以推出，而當時，不能推出。所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.在極坐標系中，把曲線繞極點逆時針旋轉后所得曲線的方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】利用旋轉后的點坐標表示出曲線上的點的坐標，代入曲線方程即可整理得到結果.【詳解】設曲線上的點為，旋轉后對應的點為，則，，，即旋轉后所得曲線方程為.故選：B.5.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則68.27%，95.45%）A．4.56%B．13.59%C．27.18% D．31.74%【正確答案】B【分析】正態分布中，，根據正態分布的對稱性求解即可.【詳解】正態分布中，，所以68.27%，95.45%，所以13.59%，故選：B.6．有下列說法：①若某商品的銷售量（件）關于銷售價格（元/件）的線性回歸方程為，當銷售價格為10元時，銷售量一定為300件；②線性回歸直線一定過樣本點中心；③若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的值越接近于1；④在殘差圖中，殘差點比較均勻落在水平的帶狀區域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區域的寬度無關；⑤在線性回歸模型中，相關指數表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，越接近于1，表示回歸的效果越好；其中正確的結論有幾個A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【分析】由最小二乘法求解回歸直線和回歸直線的性質可知①錯誤，②正確；隨機變量為負相關時，線性相關性越強，相關系數越接近，③錯誤；殘差圖中帶狀區域越窄，擬合度越高，④錯誤；越接近，模型擬合度越高，⑤正確；由此可得結果.【詳解】①當銷售價格為時，銷售量的預估值為件，但預估值與實際值未必相同，①錯誤；②由最小二乘法可知，回歸直線必過，②正確；③若兩個隨機變量為負相關，若線性相關性越強，相關系數越接近，③錯誤；④殘差圖中，帶狀區域越窄，模型擬合度越高，④錯誤；⑤相關指數越接近，擬合度越高，則在線性回歸模型中，回歸效果越好，⑤正確.可知正確的結論為：②⑤，共個本題正確選項：本題考查統計案例部分命題的判斷，涉及到回歸直線、最小二乘法、相關系數、相關指數、殘差圖的相關知識.7若，，，則事件A與B的關系是（

）A．互斥但不對立B．對立C．相互獨立 D．既互斥又獨立【正確答案】C【分析】根據獨立事件的乘法公式判斷獨立性，根據互斥事件的定義判斷是否互斥．【詳解】∵，∴，∴，∴事件A與B相互獨立，題中事件A與B之間沒有任何關系，它們既不互斥也不對立.故選：C．8.隨機變量的分布列如下，且滿足，則的值（）123A．0B．1C．2 D．無法確定，與，有關【正確答案】B【分析】根據數學期望定義得到一個等式，概率和為1得到一個等式.計算代入前面關系式，化簡得到答案.【詳解】由隨機變量的分布列得到：，又，解得，∴，∴．故選B．9.已知某口袋中放有大小、質地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定【正確答案】B【分析】設口袋中有紅球個，白球個，根據獨立事件的概率公式，分別求得，，結合基本不等式，即可求解.【詳解】設口袋中有紅球個，白球個，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，因為，可得，當且僅當等號成立，所以.10.甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用獨立事件及互斥事件的概率求法求解該問題被解答的概率，再利用條件概率計算公式求解即可.【詳解】設事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則，，故，所以在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為.故選：D11.已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．【正確答案】B【分析】利用柯西不等式求出的最小值，從而可求出，進而可求出的值【詳解】由柯西不等式得：則．則根據等號成立條件知，，，所以故選：B12.某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數為，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【正確答案】D【詳解】記在他10次投籃中，投中的次數為，則，且，由，得，所以，所以，所以，所以，解得，因為，所以，所以在他10次投籃中，最有可能投中的次數為8次.故選D.13.參數方程為，為參數；化成直角坐標方程為14.設點P為圓上的一動點，點Q為橢圓上的一動點，則的最大值為（

）A．6 B． C． D．【正確答案】B【分析】利用三角換元結合距離公式可求，結合函數的性質可求最大值.【詳解】設，圓的圓心，則，于是的最大值為，進而的最大值為．故選：B.15．已知關于x的不等式對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A．-1≤a≤1 B．a≤-1或a≥1 C．-3≤a≤3 D．a≤-3或a≥3【正確答案】D不等式對一切實數x恒成立，即，利用可求最值，從而得出答案.【詳解】（當時，等號成立）不等式對一切實數x恒成立則所以，則或故選：D16.已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】A【分析】法一：設出的方程為，聯立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦半徑得到，從而列出方程，求出答案；法二：寫成直線的參數方程，代入拋物線方程，利用參數的幾何意義得到方程，求出答案.【詳解】法一：由題意知，故的方程為，與的方程聯立，得，顯然，設，則，所以，又，所以，所以.法二：直線的斜率為2，設其傾斜角為，則，故，故直線的參數方程為（為參數），代入，整理得，，顯然，設該方程的兩根為，則，，所以.故選.17..北京2022年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰自我?積極向上的體育精神，引導了健康?文明?快樂的生活方式.為了激發學生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向未來”為主題的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的情況，隨機抽取100名學生作為樣本，統計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育實踐活動時間在的概率；(2)從參加體育實踐活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數記為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；【正確答案】(1)(2)分布列答案見解析，數學期望：【分析】（1）方法一：根據條件概率公式求解即可；方法二：根據古典概型的方法分析即可；（2）方法一：根據相互獨立事件同時發生的概率公式求解即可；方法二：根據二項分布的公式求解；（1）方法一：女生共有人，記事件A為“從所有調查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調查學生中隨機抽取1人，參加體育活動時間在”由題意可知，因此所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為方法二：女生共有人，記事件M為“從所有調查學生中隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，該學生參加體育活動時間在”由題意知，從所有調查學生中隨機抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45個，抽到女生且參加體育活動時間在所包含的基本事件共9個所以所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參加體育活動時間在的概率為（2）方法一：X的所有可能值為0，1，2，時間在的學生有人，活動時間在的初中學生有人.記事件C為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，事件D為“從參加體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”.由題意知，事件C?D相互獨立，且所以所以X的分布列為：X012P故X的數學期望方法二：X的所有可能值為0，1，2，因為從參加體育活動時間在和的學生中各隨機抽取1人是相互獨立，且抽到初中學生的概率均為，故所以所以X的分布列為：X012P故X的數學期望18．為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數目為，求的分布列和數學期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3實驗組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數m，并完成下面2×2列聯表：對照組實驗組（ii）根據2×2列聯表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數據：0.100.050.0102.7063.8416.635【正確答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數學期望；（2）（i）根據中位數的定義即可求得，從而求得列聯表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數是將兩組數據合在一起，從小到大排后第20位與第21位數據的平均數，由于原數據已經排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數據與實驗組第二排數據即可，可得第11位數據為，后續依次為，合計對照組61420實驗組14620合計202040故第20位為，第21位數據為，所以，故列聯表為：右表：（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.19.在直角坐標系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線M，N的極坐標方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解曲線和的極坐標方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則，因為，所以，又因為，所以．20.函數.(1)當時，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求a的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論取絕對值可求出不等式的解集；（2）【詳解】（1）當時，原不等式可化為.當時，原不等式可化為，整理得，所以.當時，原不等式可化為，整理得，所以此時不等式的解集是空集.當時，原不等式可化為，整理得，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）若存在，使得，即存在，使得①.①式可轉化為，即②.因為，所以②式可化為③，若存在使得③式成立，則，即，所以，即a的取值范圍為.21．多年來，清華大學電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發投入計劃，該研發團隊為需要了解年研發資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發資金投入量x，和年銷售額，的數據（，2，，12），該團隊建立了兩個函數模型：①②，其中均為常數，e為自然對數的底數，經對歷史數據的初步處理，得到散點圖如圖，令，計算得如下數據：20667702001446021500(1)設和的相關系數為和的相關系數為，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？附：①相關系數，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②參考數據.【正確答案】(1)模型的擬合程度更好(2)（i）（ii）預測下一年的研發資金投入量是億元【分析】（1）由題意計算相關系數,比較它們的大小即可判斷；（2）（i）先建立關于的的線性回歸方程,再轉化為y關于的回歸方程；(2)利用回歸方程計算時x的值即可.【詳解】（1）由題意進行數據分析：則，因此從相關系數的角度，模型的擬合程度更好（2）（i）先建立關于的線性回歸方程.由，得，即.由于