類型三動點引起的探究1.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為射線BC上任意一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接CE.(1)問題發現如圖①，當點D在BC邊上(不與點B、C重合)時，請直接寫出∠BCE的度數；(2)類比探究如圖②，當點D在線段BC的延長線上時，請問(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展延伸如圖②，在(2)的條件下，連接ED并延長，交AC的延長線于點F，若AC＝4，AD＝6，請直接寫出線段CF的長.第1題圖2.如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC所在直線上一動點，連接AD，點E為△ABC的外角平分線上一點，且∠ADE＝60°，試探究AD與DE的數量關系.(1)問題發現如圖①，當點D為BC的中點時，過點D作DF∥AC，交AB于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接填空：△DCE≌，AD與DE的數量關系是；(2)類比探究如圖②，當點D是線段BC上(除B，C外)任意一點時，試探究AD與DE之間的數量關系，并寫出推理過程；(3)拓展延伸當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC時，若AB＝2，請直接寫出△ADE的面積.第2題圖3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq\r(7)，AC＝2,過點B作直線m∥AC,將△ABC繞點C順時針旋轉得到△A′B′C(點A、B的對應點分別為A′、B′)，射線CA′、CB′分別交直線m于點P、Q.(1)問題發現：如圖①，若P與A′重合時，則∠ACA′的度數為________；(2)類比探究：如圖②，設A′B′與BC的交點為M，當M為A′B′的中點時，求線段PQ的長；(3)拓展延伸：在旋轉過程中，當點P、Q分別在CA′、CB′的延長線上時，試探究四邊形PA′B′Q的面積是否存在最小值？若存在，直接寫出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請說明理由.第3題圖4.(2019南陽模擬)已知在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，點M、N分別在邊CA，CB上(不與端點重合)，BN＝AM，射線AG∥BC交BM延長線于點D，點E在直線AN上，EA＝ED.(1)【觀察猜想】如圖①，點E在射線NA上，當∠ACB＝45°時，①線段BM與AN的數量關系是________，②∠BDE的度數是________；(2)【探究證明】如圖②，點E在射線AN上，當∠ACB＝30°時，判斷并證明線段BM與AN的數量關系，求∠BDE的度數；(3)【拓展延伸】點E在直線AN上，當∠ACB＝60°時，AB＝3，點N是BC邊上的三等分點，直線ED與直線BC交于點F，請直接寫出線段CF的長．第4題圖類型三動點引起的探究1.解：(1)∠BCE＝90°；【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，由旋轉的性質，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE.∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.(2)(1)中的結論成立．證明：由旋轉的性質，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE.))∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ACE＝∠B，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°；(3)線段CF的長為5.【解法提示】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形．∴∠ACB＝∠ADE＝∠DCF＝45°，∵∠CDE是△CDF的外角，∴∠ADE＋∠ADC＝∠DCF＋∠F，∴∠ADC＝∠F，又∠CAD＝∠DAF，∴△ACD∽△ADF，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AD)，∴AD2＝AF·AC，即62＝4AF，∴AF＝9，∴CF＝AF－AC＝5.2.解：(1)△DFA，AD＝DE；【解法提示】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°，∴△BDF是等邊三角形，∴DF＝BD，∠BFD＝60°，∴∠AFD＝120°.∵BD＝CD，∴DF＝CD.∵EC是外角的平分線，∠DCE＝120°＝∠AFD，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝30°，在△AFD與△ECD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFD＝∠ECD,DF＝DC,∠ADF＝∠EDC))，∴△AFD≌△ECD(ASA)，∴AD＝DE.(2)AD＝DE.證明如下：如解圖①，過點D作DF∥AC，與AB交于點F.第2題解圖∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BCA＝60°，∴△BDF是等邊三角形，BF＝BD，∠BFD＝60°，∴AF＝CD，∠AFD＝120°，∵EC是外角的平分線，∴∠DCE＝120°＝∠AFD，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠FAD＝60°＋∠FAD，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝60°＋∠EDC，∴∠FAD＝∠EDC，在△AFD與△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAD＝∠CDE,AF＝DC,∠AFD＝∠DCE))，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD＝DE；(3)3eq\r(3).第2題解圖②【解法提示】當點D在線段BC的延長線上，如解圖②，設CE與AD交于點O.∵BC＝CD，∴AC＝CD，∵CE平分∠ACD，∴CE垂直平分AD，∴AE＝DE，∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形．∵AB＝2，∴CD＝AC＝2，∴OC＝1，OD＝AO＝eq\r(3)，∴DE＝AD＝2eq\r(3)，∴OE＝3，∴S△ADE＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3).3.解：(1)60°【解法提示】由旋轉可知：AC＝A′C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝eq\r(7)，AC＝2，∴BC＝eq\r(3)，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A′BC＝90°，∴cos∠A′CB＝eq\f(BC,A′C)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A′CB＝30°，∴∠ACA′＝60°；(2)∵M為A′B′的中點，∴∠A′CM＝∠MA′C，由旋轉可得：∠B′A′C＝∠A，∴∠A＝∠A′CM，∴tan∠PCB＝tanA＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(3),2)BC＝eq\f(3,2)，∵∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tanA＝eq\f(\r(3),2)，∴BQ＝BC×eq\f(2,\r(3))＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝eq\f(7,2)；(3)存在．3－eq\r(3)【解法提示】∵S四邊形PA′B′Q＝S△PCQ－S△A′CB′＝S△PCQ－eq\r(3)，∴S四邊形PA′B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝eq\f(1,2)PQ×BC＝eq\f(\r(3),2)PQ，法一：(幾何法)取PQ的中點G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝eq\f(1,2)PQ，即PQ＝2CG，當CG最小時，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時，CG最小，∴CGmin＝eq\r(3)，PQmin＝2eq\r(3)，∴S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA′B′Q＝3－eq\r(3)；法二(代數法)設PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴當PQ最小時，x＋y最小，∴(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝x2＋6＋y2≥2xy＋6＝12，當x＝y＝eq\r(3)時，“＝”成立，∴PQ＝eq\r(3)＋eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S△PCQ的最小值＝3，S四邊形PA′B′Q＝3－eq\r(3).4.解：(1)①BM＝AN，②135°；【解法提示】如解圖①，延長ED交BC于點F，交AC于點O.∵CB＝CA，∴∠ABN＝∠BAM，∵BN＝AM，AB＝BA，∴△ABN≌△BAM(SAS)，∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，∴∠ANC＝∠BMC，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，∴∠BMC＝∠BFE，∴∠MOD＋∠BDF＝∠C＋∠FOC，∵∠C＝45°，∠FOC＝∠MOD，∴∠MDO＝45°，∴∠BDE＝135°.第4題解圖①(2)如解圖②，設AC交DF于點O.∵CB＝CA，∴∠ABN＝∠BAM，∵BN＝AM，AB＝BA，∴△ABN≌△BAM(SAS)，∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，∴∠ANC＝∠BMC，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，∴∠BMC＝∠BFD，∴∠MOD＋∠BDF＝∠C＋∠FOC，∵∠C＝30°，∠FOC＝∠MOD，∴∠MDO＝30°，∴∠BDE＝30°；第4題解圖②(3)eq\f(1,2)或4.【解法提示】①如解圖③，當BN＝eq\f(1,3)BC時，作MH⊥AB于H.由題意AM＝BN＝1，在Rt△AHM中，∵∠MAH＝60°，AM＝1，∴AH＝eq\f(1,2)，BH＝eq\f(5,2)，HM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△BMH中，BM＝AN＝DF＝eq\r(（\f(5,2)）2＋（\f(\r(3),2)）2)＝eq\r(7)，由(2)可知：∠BDF＝∠ACB＝6