一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結§1.5

條件概率1.引例

現有300個燈泡,甲廠生產的為200個,其中次品40個；乙廠生產的為100個,其中次品10個,隨機抽取一個燈泡進行檢測,求事件A={抽到甲廠生產的燈泡},B={抽到次品},C={抽到甲廠生產的燈泡且為次品}的概率。一、條件概率

如果已經獲得信息抽到的是甲廠生產的燈泡，在這個條件下,考慮抽到次品的概率。

也就是考慮事件A已經發生的條件下事件B發生的概率,記為同理若P(B)>0,則稱為事件B發生的條件下事件A發生的條件概率.2.定義可以驗證此定義符合概率公理化定義的三個條件：非負性；2.規范性；3.可列可加性。例1

一盒子裝有4只產品,其中有3只一等品、1只二等品.從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為“第一次取到的是一等品”、事件B為“第二次取到的是一等品”．試求條件概率P(B|A).解:解法(一)

給產品編號,設1,2,3號為一等品,4號為二等品,用(i,j)表示第一,二次分別取到第i,j號產品,則樣本空間為由條件概率的公式得【注】條件概率P(B|A)是在A發生的條件下，在一個新的樣本空間中討論事件B發生的概率。條件概率計算的兩種思路：1.在縮小的樣本空間考慮;2.在原樣本空間考慮.解法(二)

在第一次取得一等品后,還剩下3只產品,其中一等品2個,故第二次再取得一等品的概率為2/3.3.性質(3)若隨機事件則(2)設是兩兩互斥事件,則有條件概率的加法公式例2

市場上燈泡70％產自于甲廠,30％產自于乙廠。已知甲廠產品合格率為95％,乙廠產品合格率為80％,隨機抽取一個燈泡，記事件

A={抽到甲廠生產的燈泡}，

B={抽到合格的燈泡}，(1)分析下列事件的概率：(2)求P(AB).解:(1)二、乘法定理設則有設A,B,C為事件,且則有推廣設為n個事件,且則有例3

已知袋中有5個紅球，4個白球。(1)不放回取三次，一次一個，試求前兩次取到紅球，后一次取到白球的概率。(2)取三次，一次一個，如果取到紅球就拿出并放回兩個白球，否則不放回，求前兩次取到紅球，后一次取到白球的概率。解：(1)設A={前兩次取到紅球，后一次取到白球},(一)古典概型方法(二)乘法定理設Ai={第i

次取得紅球},i=1,2,3,因為例4

袋中有5個球，3個新的，2個舊的，每次取一個，用后放回。設

A={第一次取到新球}，

B={第二次取到新球}。求P(A),P(AB),P(B).解：三、全概率公式與貝葉斯公式

例5

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一球，求取得紅球的概率.解:記

Ai={取到i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發生總是伴隨著A1,A2,A3之一同時發生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)123即將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法定理得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數據計算得：P(B)=8/151.樣本空間的劃分2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個擊破在較復雜情況下直接計算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出現，適當地去構造這一組Ai往往可以簡化計算.“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:

某一事件B的發生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發生的概率是

每一原因都可能導致B發生，故B發生的概率是各原因引起B發生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.可以從另一個角度去理解例6

有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%，二廠生產的占50%

，三廠生產的占20%，又知這三個廠的產品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率

.1231紅4白?實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式由已知,稱此為貝葉斯公式.3.貝葉斯公式證明

貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果（事件B）發生的最可能原因.

例7

某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的.根據以往的記錄有以下的數據:元件制造廠次品率提供元件的份額

10.020.1520.010.8030.030.05

設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的,且無區別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一只元件,求它是次品的概率;(2)在倉庫中隨機地取一只元件,若已知取到的是次品,為分析此產品出自何廠,需求出此產品由三家工廠生產的概率分別是多少,試求這些概率.解:(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解：設事件A為“生產的是合格品”,例8對以往數據分析結果表明,當機器調整得良好時,產品的合格率為98％,而當機器發生某種故障時,其合格品率為55％.每天早晨機器開動時,機器調整良好的概率為95％.

若已知某日早晨第一件產品是合格品,此時機器調整良好的概率是多少？

由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率0.95是由以往的數據分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗概率.定義先驗概率與后驗概率貝葉斯公式P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發生）的情況下，人們對諸事件發生可能性大小的認識.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化。

當有了新的信息(知道B發生),人們對諸事件發生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.例9

根據以往的臨床記錄,CAT(計算機輔助層次掃描)

作為診斷精神分裂癥的試驗具有如下的效果:若以

A表示事件“掃描顯示被診斷者為腦萎縮”,以C表示

事件“被診斷者患有精神分裂癥”,則有P(A|C)=0.30,

現在已知在美國精神分裂癥的發病率