考點02整式及因式分解一、代數式代數式的書寫要注意規范，如乘號“×”用“·”表示或省略不寫；分數不要用帶分數；除號用分數線表示等.二、整式1．單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式，所有字母指數的和叫做單項式的次數，數字因數叫做單項式的系數.學科+_網2．多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式，多項式里次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數，其中不含字母的項叫做常數項.3．整式：單項式和多項式統稱為整式.4．同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項.5．整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.6．冪的運算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.7．整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.（2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8．乘法公式：（1）平方差公式：.（2）完全平方公式：.9．整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.（2）公式法：運用平方差公式：.運用完全平方公式：.3．分解因式的一般步驟：（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式;（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解;（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.考向一代數式及相關問題1.用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式.2.用數值代替代數式里的字母，按照代數式里的運算關系，計算后所得的結果叫做代數式的值.典例1若x是2的相反數，|y|=3，則的值是A．﹣2 B．4C．2或﹣4 D．﹣2或4【答案】D1．若，y=4，則代數式3x+y﹣3的值為A．﹣6 B．0 C．2 D．62．a的平方的5倍減去3的差，應寫成A．5a2﹣3 B．5（a2﹣3）C．（5a）2﹣3 D．a2（5﹣3）考向二整式及其相關概念單項式與多項式統稱整式.觀察判斷法:要準確理解和辨認單項式的次數、系數；判斷是否為同類項時，關鍵要看所含的字母是否相同，相同字母的指數是否相同．多項式的次數是指次數最高的項的次數．同類項一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指數是否相同．考慮特殊性:單獨一個數或字母也是單項式;單項式的次數是指單項式中所有字母指數的和，單獨的一個常數的次數是0.典例2下列說法中正確的是A．的系數是－5 B．單項式x的系數為1，次數為0C．的次數是6 D．xy＋x－1是二次三項式【答案】D3．按某種標準把多項式分類，與屬于同一類，則下列多項式中也屬于這一類的是A． B．C． D．4．下列說法正確的是A．2a2b與﹣2b2a的和為0B．b的系數是π，次數是4次C．2x2y﹣3y2﹣1是三次三項式D．x2y3與﹣是同類項考向三規律探索題解決規律探索型問題的策略是：通過對所給的一組（或一串）式子及結論，進行全面細致地觀察、分析、比較，從中發現其變化規律，并由此猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以應用.典例3一列數…，其中，，，……，（n為不小于2的整數），則=A．B．2C．2018D．-1【答案】B【解析】由題意可得，，，，，可以發現這組數中，每三個為一組依次循環.2018÷3=672…2，則是這個循環組中的第2個數，故.故選B.5．“學宮”樓階梯教室，第一排有m個座位，后面每一排都比前面一排多4個座位，則第n排座位數是A．m+4 B．m+4nC．n+4（m﹣1） D．m+4（n﹣1）6．一列單項式按以下規律排列:，,,,,,,…,則第2017個單項式是A． B．C． D．典例4如圖，用棋子擺成的“上”字：第一個“上”字第二個“上”字第三個“上”字如果按照以上規律繼續擺下去，那么通過觀察，可以發現：（1）第四、第五個“上”字分別需用和枚棋子．（2）第n個“上”字需用枚棋子．（3）如果某一圖形共有102枚棋子，你知道它是第幾個“上”字嗎？【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.（2）由（1）中規律可知，第n個“上”字需用棋子4n+2枚，故答案為：4n+2；（3）根據題意，得：4n+2=102，解得n=25，答：第25個“上”字共有102枚棋子．7．如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數逐漸增加1的規律拼成下列圖案，若第n個圖案中有2017個白色紙片，則n的值為A．672 B．673C．674 D．6758．如圖，圖案均是用長度相等的小木棒，按一定規律拼搭而成，第一個圖案需4根小木棒，則第6個圖案需小木棒的根數是A．54 B．63C．74 D．84考向四冪的運算冪的運算法則是進行整式乘除法的基礎，要熟練掌握，解題時要明確運算的類型，正確運用法則；在運算的過程中，一定要注意指數、系數和符號的處理．典例5下列計算正確的是A．2m+3n=5mn B．m2?m3=m6C．m8÷m6=m2 D．（﹣m）3=m3【答案】C【解析】A、2m與3n不是同類項，不能合并，故錯誤；B、m2?m3=m5，故錯誤；C、正確；D、（?m）3=?m3，故錯誤；故選：C．9．下面運算結果為a6的是A．a3+a3 B．a8÷a2C．a2?a3 D．（﹣a2）310．下列計算正確的是A． B．C． D．考向五整式的運算整式的加減，實質上就是合并同類項，有括號的，先去括號，只要算式中沒有同類項，就是最后的結果；多項式乘多項式的運算中要做到不重不漏，應用乘法公式進行簡便計算，另外去括號時，要注意符號的變化，最后把所得式子化簡，即合并同類項．典例6已知a﹣b=5，c+d=﹣3，則（b+c）﹣（a﹣d）的值為A．2 B．﹣2C．8 D．﹣8【答案】D【解析】根據題意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故選D．11．一個長方形的周長為，相鄰的兩邊中一邊長為，則另一邊長為A． B．C． D．12．已知與的和是，則等于A．－1 B．1C．－2 D．2典例7下列計算正確的是A． B．C． D．【答案】D13．先化簡，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．考向六因式分解因式分解的概念與方法步驟①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運算．符合因式分解的等式左邊是多項式，右邊是整式乘積的形式．②方法：（1）提取公因式法；（2）運用公式法.③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數乘積的2倍，如果沒有兩數乘積的2倍還不能分解．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟記公式的特點，兩項式時考慮平方差公式，三項式時考慮完全平方公式.典例8下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是A．B．C．D．【答案】B14．下列分解因式正確的是A．B．C．D．典例9把多項式x2﹣6x+9分解因式，結果正確的是A．（x﹣3）2 B．(x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）【答案】A【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故選A．15．分解因式：=_________________．16．已知a﹣b=1，則a3﹣a2b+b2﹣2ab的值為A．﹣2 B．﹣1C．1 D．21．已知長方形周長為cm，設長為cm，則寬為A． B．C． D．2．已知3a﹣2b=1，則代數式5﹣6a+4b的值是A．4 B．3C．﹣1 D．﹣33．在0，﹣1，﹣x，，3﹣x，，中，是單項式的有A．1個 B．2個C．3個 D．4個4．若多項式是三次三項式，則m等于A．-1 B．0C．1 D．25．如果2x3my4與–3x9y2n是同類項，那么m、n的值分別為A．m=–3，n=2 B．m=3，n=2C．m=–2，n=3 D．m=2，n=36．下列算式的運算結果正確的是A．m3?m2=m6 B．m5÷m3=m2（m≠0）C．（m?2）3=m?5 D．m4﹣m2=m27．計算（﹣ab2）3的結果是A．﹣3ab2 B．a3b6C．﹣a3b5 D．﹣a3b68．已知x+y=6，x-y=1，則x2-y2等于A．2 B．3C．4 D．69．三種不同類型的紙板的長寬如圖所示，其中A類和C類是正方形，B類是長方形，現A類有1塊，B類有4塊，C類有5塊.如果用這些紙板拼成一個正方形，發現多出其中1塊紙板，那么拼成的正方形的邊長是A．m+n B．2m+2nC．2m+n D．m+2n10．把多項式ax3-2ax2+ax分解因式，結果正確的是A．ax（x2-2x） B．ax2（x-2）C．ax（x+1）（x-1） D．ax（x-1）211．觀察下面“品”字形中各數之間的規律，根據觀察到的規律得出a的值為A．23 B．75C．77 D．13912．如圖，從左到右在每個小格子中填入一個整數，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等．若前m個格子中所填整數之和是1684，則m的值可以是9abc—51…A．1015 B．1010C．1012 D．101813．若是完全平方式，則常數k的值為A．±6 B．12C．±2 D．614．若有理數a，b滿足，，則的值為A．2 B．－2C．8 D．－815．下列說法中，正確的個數為①倒數等于它本身的數有0，±1；②絕對值等于它本身的數是正數；③－a2b3c是五次單項式；④2πr的系數是2，次數是2；⑤a2b2－2a＋3是四次三項式；⑥2ab2與3ba2是同類項．A．4 B．3C．2 D．116．按照如圖所示的計算機程序計算，若開始輸入的值為2，第一次得到的結果為1，第二次得到的結果為4，…第2017次得到的結果為A．1 B．2C．3 D．417．已知單項式與是同類項，那么的值是___________.18．分解因式：___________.19．若，且，則＝____________.20．如果是一個完全平方公式，則___________.21．若x＋y＝2，則代數式x2＋xy＋y2＝___________.22．觀察下列等式：學-科網第1個等式：a1=；第2個等式：a2=；第3個等式：a3=；…請按以上規律解答下列問題：（1）列出第5個等式：a5=_____________；（2）求a1+a2+a3+…+an=，那么n的值為______________．23．已知，求代數式的值.24．先化簡，再求值：QUOTE，其中，．25．先化簡，再求值：，其中a=tan45°.26．先化簡，再求值：其中.27．已知關于x的多項式A，當A﹣（x﹣2）2=x（x+7）時．（1）求多項式A．（2）若，求多項式A的值．28．已知是的三邊的長，且滿足，試判斷此三角形的形狀.1．（2018·隴南市）下列計算結果等于x3的是A．x6÷x2 B．x4﹣xC．x+x2 D．x2?x2．（2018·德陽市）下列計算或運算中，正確的是A． B．C． D．3．（2016·瀘州市）計算結果是A． B．C． D．34．（2018·濟南市）下列運算中，結果是的是A． B．a10÷a2C．（a2）3 D．（?a）55．（2018·荊州市）下列代數式中，整式為A．x+1 B．C． D．6．（2018·大連市）計算（x3）2的結果是A．x5 B．2x3C．x9 D．x67．（2018·樂山市）已知實數a、b滿足a+b=2，ab=，則a﹣b=A．1 B．﹣C．±1 D．±8．（2018·云南省）按一定規律排列的單項式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n個單項式是A．an B．﹣anC．（﹣1）n+1an D．（﹣1）nan9．（2018·賀州市）下列各式分解因式正確的是A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）10．（2018·邵陽市）將多項式x﹣x3因式分解正確的是A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）11．（2018·十堰市）如圖，是按一定規律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規律，第9行從左至右第5個數是A．2 B．C．5 D．12．（2018·重慶b卷）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個圖中有3張黑色正方形紙片，第②個圖中有5張黑色正方形紙片，第③個圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規律排列下去第⑥個圖中黑色正方形紙片的張數為A．11 B．13C．15 D．1713．（2018·畢節市）因式分解：a3﹣a=______．14．（2018·玉林市）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=______．15．（2018·大慶市）若2x=5，2y=3，則22x+y=______．16．（2018·德陽市）分解因式______．17．（2016·瀘州市）分解因式：=______．18．（2018·天水市）觀察下列運算過程：S=1+3+32+33+…+32017+32018①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．運用上面計算方法計算：1+5+52+53+…+52018=______．19．（2018·臨安市）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的規律，則a+b=______．20．（2018·濟寧市）化簡：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）21．（2018·樂山市）先化簡，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根22．（2018·大連市）（觀察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（發現）根據你的閱讀回答問題：（1）上述內容中，兩數相乘，積的最大值為；（2）設參與上述運算的第一個因數為a，第二個因數為b，用等式表示a與b的數量關系是．（類比）觀察下列兩數的積：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值為，并用你學過的知識加以證明．23．（2018·河北省）嘉淇準備完成題目：化簡：，發現系數“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，請你化簡：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他媽媽說：“你猜錯了，我看到該題標準答案的結果是常數，通過計算說明原題中“”是幾？24．（2018·貴陽市）如圖，將邊長為m的正方形紙板沿虛線剪成兩個小正方形和兩個矩形，拿掉邊長為n的小正方形紙板后，將剩下的三塊拼成新的矩形．（1）用含m或n的代數式表示拼成矩形的周長；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面積．25．（2018·臨安市）閱讀下列題目的解題過程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷ABC的形狀．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4A.∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）B.∴c2=a2+b2C.∴△ABC是直角三角形問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號：；（2）錯誤的原因為：；（3）本題正確的結論為：．變式拓展變式拓展1．【答案】B【解析】∵，y=4，∴代數式3x+y﹣3=3×（﹣）+4﹣3=0．故選B．2．【答案】A【解析】根據題意可得：5a2?3，故選A.3．【答案】A【解析】與都是三次多項式，只有A是三次多項式，故選A．5．【答案】D【解析】由于第一排有m個座位，后面每一排都比前面一排多4個座位，則第n排座位數為：．故選D．6．【答案】B【解析】觀察、分析這列單項式的排列規律可知：（1）第個單項式的系數的絕對值是，其中第奇數個單項式的系數為“負”，第偶數個單項式的系數為“正”；（2）字母部分，第奇數個單項式都是“”，第偶數個單項式都是“”.所以第2017個單項式是.故選B.7．【答案】A【解析】當有1個黑色紙片時，有4個白色紙片；當有2個黑色紙片時，有個白色紙片；當有3個黑色紙片時，有個白色紙片；以此類推，當有個黑色紙片時，有個白色紙片.當時，化簡得，解得.故選A.故選C．8．【答案】A【解析】拼搭第1個圖案需4=1×(1+3)根小木棒，拼搭第2個圖案需10=2×(2+3)根小木棒，拼搭第3個圖案需18=3×(3+3)根小木棒，拼搭第4個圖案需28=4×(4+3)根小木棒，…拼搭第n個圖案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.當n=6時，n2+3n=62+3×6=54.故選A.【名師點睛】本題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的關系，得出數字之間的運算規律，利用規律解決問題.10．【答案】B【解析】A、a3和a4不是同類項，不能合并，故A錯誤；B、，故B正確；C、，故C錯誤；D、，故D錯誤.答案為B.11．【答案】B【解析】∵長方形的周長為，∴相鄰的兩邊的和是,∵一邊長為，∴另一邊長為，故選B.【名師點睛】由長方形的周長=（長+寬）×2，可求出相鄰的兩邊的和是3a+4b,再用3a+4b減去2a＋3b，即可求出另一邊的長.12．【答案】A【解析】∵與的和是，∴與是同類項，∴，∴.故選A.13．【答案】36【解析】原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，當a=2時，原式=24+16﹣2﹣2=36.14．【答案】C【解析】A、公因式是x，應為，錯誤；B、符號錯誤，應為，錯誤；C、提公因式法，正確；D、右邊不是積的形式，錯誤；故選C．15．【答案】(a+4)(a-2)【解析】=.16．【答案】C【解析】a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．故選C．考點沖關考點沖關1．【答案】D【解析】∵矩形的寬=?長，∴寬為：（10-x）cm．故選D．2．【答案】B【解析】∵3a﹣2b=1，∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，故選：B．3．【答案】D【解析】根據單項式的定義可知，只有代數式0，﹣1，﹣x,a,是單項式，一共有4個.故選D.4．【答案】C【解析】由題意可得，，解得且．則m等于1，故選C．5．【答案】B【解析】∵2x3my4與–3x9y2n是同類項，∴3m=9,4=2n，∴m=3，n=2.故選：B.7．【答案】D【解析】（﹣ab2）3=﹣a3b6，故選：D．8．【答案】D【解析】x2-y2=（x+y）（x-y）=6×1=6.故選D.9．【答案】D【解析】∵所求的正方形的面積等于一張正方形A類卡片、4張正方形B類卡片和4張長方形C類卡片的和，∴所求正方形的面積=m2+4mn+4n2=（m+2n）2，∴所求正方形的邊長為m+2n．故選：D.10．【答案】D【解析】原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2，故選：D．11．【答案】B【解析】∵上邊的數為連續的奇數1，3，5，7，9，11，左邊的數為21，22，23，…，∴b=26=64．∵上邊的數與左邊的數的和正好等于右邊的數，∴a=11+64=75．故選B．12．【答案】B【解析】由題意可知：9+a+b=a+b+c，∴c=9．∵9-5+1=5，1684÷5=336…4，且9-5=4，∴m=336×3+2=1010．故選：B．學科*&網13．【答案】A【解析】由完全平方公式可得：.故選A.【名師點睛】做此類問題的重點在于判斷完全平方式的結構特點.14．【答案】D【解析】由，得，又，則，所以.故選D.15．【答案】D【解析】①倒數等于它本身的數有±1，故①錯誤，②絕對值等于它本身的數是非負數，故②錯誤，③是六次單項式，故③錯誤，④的系數是次數是，故④錯誤，⑤是四次三項式，故⑤正確，⑥與不是同類項，故⑥錯誤.故選D.【名師點睛】單項式中的數字因數就是單項式的系數，所有字母的指數的和就是多項式的次數.16．【答案】A【解析】當x=2時，第一次輸出結果==1；第二次輸出結果=1+3=4；第三次輸出結果=4×=2，；第四次輸出結果=×2=1，…2017÷3=672…1．所以第2017次得到的結果為1．故選A．17．【答案】3【解析】∵與是同類項，∴，解得，∴＝3.故答案為3.18．【答案】【解析】．故答案為．19．【答案】?1【解析】∵，∴(，∵，∴m+n=0.∵，∴=?1,∴=(?1)2019=.故答案為.【名師點睛】合并同類項后可得m+n=0.再由得到=?1,然后代入到求值即可.20．【答案】?3或1【解析】由是一個完全平方公式，可得，解得m=?3或1．22．【答案】,49【解析】(1)觀察等式,可得以下規律：，∴（2）解得：n=49.故答案為（1）；（2）49.23．【解析】=+2=（a?1）2+2當a=時，原式=（）2+2=（）2+2=2+2=4.24．【解析】原式=m2－2mn+n2+2mn+2n2=m2+3n2．當m=2，n=時，原式=22+3×（）2=13．故答案為13．【名師點睛】化簡常用公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；（a+b）（a－b）=a2－b2．25．【解析】原式=，∵，.26．【解析】原式，，∴原式.27．【解析】（1）A﹣（x﹣2）2=x（x+7），整理，得；（2）∵，∴，∴，則多項式A的值為3．28．【解析】∵，∴，即，∴，∴，即,∴△ABC為等邊三角形．直通中考直通中考1．【答案】D【解析】A、x6÷x2=x4，不符合題意；B、x4﹣x不能再計算，不符合題意；C、x+x2不能再計算，不符合題意； D、x2?x=x3，符合題意；故選：D．2．【答案】C【解析】A、a6÷a2＝a4，此選項錯誤；B、（?2a2）3＝?8a6，此選項錯誤；C、（a?3）（3＋a）＝a2?9，此選項正確；D、（a?b）2＝a2?2ab＋b2，此選項錯誤；故選：C．3．【答案】C【解析】，故選C.4．【答案】A【解析】A.=a5，故符合題意；B.a10÷a2=a10-2=a8，故不符合題意；C.（a2）3=a6，故不符合題意；D.（?a）5=?a5，故不符合題意，故選A.6．【答案】D【解析】（x3）2＝x6，故選：D．7．【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，