考點15等腰三角形與直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．3．判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．性質：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個內角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性質1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．2．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則<a．5．等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．典例1（2020·四川省武勝縣萬善初級中學初二月考）等腰三角形的一個內角為40°，則其余兩個內角的度數分別為A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的頂角為40°時，另外兩個內角=（180°–40°）÷2=70°；②若等腰三角形的底角為40°時，它的另外一個底角為40°，頂角為180°–40°–40°=100°．所以另外兩個內角的度數分別為：40°、100°或70°、70°．故選D．【名師點睛】考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和為180o，解題關鍵是分情況進行討論①已知角為頂角時；②已知角為底角時．典例2（2019·延安市實驗中學初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點，下列結論不正確的是A．ADBC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因為△ABC中，AB=AC，D是BC中點，根據等腰三角形的三線合一性質可得，A．AD⊥BC，故A選項正確；B．∠B=∠C，故B選項正確；C．無法得到AB=2BD，故C選項錯誤；D．AD平分∠BAC，故D選項正確．故選C．【名師點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質，本題關鍵熟練運用等腰三角形的三線合一性質.1．（2020·自貢市田家炳中學初二期中）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的底邊為__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據．2．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．典例3如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一點，EF∥AD交CA的延長線于F．求證：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長為奇數．（1）求△ABC的周長；（2）判斷△ABC的形狀．考向三等邊三角形的性質1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質．2．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內心、外心、重心和垂心重合．典例4（2019·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點D為AB邊的中點，DE⊥BC于E，若BE=1，則AC的長為__________．【答案】4【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，∵點D為AB邊的中點，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=4，故答案為：4．【名師點睛】本題主要考查直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質，利用直角三角形的性質求得AB=2BD是解題的關鍵.3．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，點在上，以為一邊作等邊，連接．（1）說明的理由；（2）若，求的度數．考向四等邊三角形的判定在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．典例5下列推理中，錯誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；B，條件重復且條件不足，故不正確；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；D，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確．故選B．4．如圖，已知OA=5，P是射線ON上的一個動點，∠AON=60°．當OP=__________時，△AOP為等邊三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質常常用于計算三角形的邊長，也是證明一邊（30°角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據．當題目中已知的條件或結論傾向于該性質時，我們可運用轉化思想，將線段或角轉化，構造直角三角形，從而將陌生的問題轉化為熟悉的問題．典例6如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長為__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=AD=3，故答案為：3．5．已知直角三角形的兩條邊分別是5和12，則斜邊上的中線的長度為__________．考向六勾股定理1．應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關系式是b2+c2=a2．2．如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．典例7（2020·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長分別為cm和cm，則這個直角三角形的周長為__________.【答案】cm【解析】∵直角邊長為:cm和cm，∴斜邊=（cm），∴周長=（cm）.故答案為:cm【名師點睛】本題考查了二次根式與三角形邊長，面積的綜合運用.熟練掌握勾股定理的計算解出斜邊是關鍵6．如圖所示，在中，，，，為邊上的中點.（1）求、的長度；（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長度.1．（2020·浙江初二月考）直角三角形兩直角邊長分別為6和8，則此直角三角形斜邊上的中線長是A．3 B．4 C．7 D．52．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，，則的度數為A．50° B．55° C．60° D．65°3．（2019·吉林初二期末）如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB=AC，頂角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD為支柱（即底邊BC的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m4．（2019·河南初二期中）如圖，是邊長為1的等邊三角形，為頂角的等腰三角形，點、分別在、上，且，則的周長為A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．（2020·北京北理工附中初二期中）如圖，△ABC中，D、E兩點分別在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，則∠BDE=A．24° B．25° C．30° D．35°6．已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為A．22 B．17 C．17或22 D．267．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D在BC上，且AD平分∠BAC，則AD的長為A．6 B．5 C．4 D．38．如圖，A、B兩點在正方形網格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點C共有A．8個 B．9個 C．10個 D．11個9．如圖，Rt△ABC中，∠B=90?，AB=9，BC=6，，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段AN的長等于A．5 B．6 C．4 D．310．將一個有45°角的三角尺的直角頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點A在紙帶的另一邊沿上，測得三角尺的一邊AC與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角尺的最長邊的長為A．6 B．3 C．4 D．611．（2019·四川初二期中）三角形的三邊a，b，c滿足+（b﹣c）2=0；則三角形是_____三角形.12．（2019·山西初三期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面積=________．13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則這個等腰三角形頂角的度數為__________.14．若一個等腰三角形的周長為26，一邊長為6，則它的腰長為__________．15．如圖，在中，，D、E分別是BC、AC上一點，且，，則__________．16．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠EFD=__________°．17．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點E是AD上的一個動點，把△BAE沿BE向矩形內部折疊，當點A的對應點A1恰好落在∠BCD的平分線上時，CA1的長為__________．18．（2019·湖北初二期末）如圖，在Rt△ABC中，點E在AB上，把△ABC沿CE折疊后，點B恰好與斜邊AC的中點D重合.（1）求證：△ACE為等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的長.19．如圖，一架2.5m長的梯子斜立在豎直的墻上，此時梯足B距底端O為0.7m．（1）求OA的長度；（2）如果梯子頂端下滑0.4米，則梯子將滑出多少米？20．（2019·遼寧初二月考）與有公共頂點（頂點均按逆時針排列），，，，，點是的中點，連接并延長交直線于點，連接.（1）如圖，當時，求證：①；②是等腰直角三角形.（2）當時，畫出相應的圖形（畫一個即可），并直接指出是何種特殊三角形.21．已知：如圖，有人在岸上點C的地方，用繩子拉船靠岸，開始時，繩長CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉動繩子將船從點B沿BA方向行駛到點D后，繩長CD=6米．（1）試判定△ACD的形狀，并說明理由；（2）求船體移動距離BD的長度．1．（2019?濱州）如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為A．4 B．3 C．2 D．12．（2019?蘭州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=__________．3．（2019?成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為__________．4．（2019?威海）如圖，在四邊形中，，連接，．若，，，則__________．5．（2019?通遼）腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為__________．6．（2019?懷化）若等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為__________．7．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．8．（2019?蘇州）如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉到的位置，使得，連接，與交于點．（1）求證：；（2）若，，求的度數．9．（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數；（2）若點E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點F．求證：AE=FE．O．求證：（1）；（2）．11．（2019?重慶A卷）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，連結AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度數．（2）若點E在邊AB上，EF∥AC叫AD的延長線于點F．求證：FB=FE．12．（2019?棗莊）在中，，，于點．（1）如圖1，點，分別在，上，且，當，時，求線段AM的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：．變式拓展變式拓展1．【答案】4cm或5cm【解析】當長是4cm的邊是底邊時，腰長是（13–4）=4.5，三邊長為4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；當長是4cm的邊是腰時，底邊長是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．故底邊長是：4cm或5cm．故答案是：4cm或5cm【名師點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．2．【解析】（1）由題意得：5?2<AB<5+2，即：3<AB<7，∵AB為奇數，∴AB=5，∴△ABC的周長為5+5+2=12．（2）∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形．3．【答案】（1）見解析；（2）20°.【解析】（1）由，得，由，得（SAS）；（2）由，得，所以，所以.【名師點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及三角形內角和定理，先證明三角形全等是解決本題的突破口．4．【答案】5【解析】已知∠AON=60°，當OP=OA=5時，根據有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得△AOP為等邊三角形．故答案為：5．5．【答案】6或6.5【解析】分兩種情況：①5和12是兩條直角邊，根據勾股定理求得斜邊為13，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6.5；②5是直角邊，12為斜邊，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6，故答案為：6或6.5．6．【答案】（1）BD=2，；（2），【解析】（1）∵在中，，，，∴在中，，∴，又∵為邊上的中點，∴，∴在中，，∴．（2）折疊后如圖所示，為折痕，連接，設，則，，在中，，即，解得：，∴，∴．【名師點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，也考查了折疊的性質.是常見中考題型.考點沖關考點沖關1．【答案】D【解析】∵兩直角邊分別為6和8，∴斜邊=，∴斜邊上的中線=×10=5，故選D．【名師點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質以及勾股定理的應用，熟記性質是解題的關鍵．2．【答案】A【解析】是等邊三角形，，又，，，，，故選A．【名師點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質、等邊對等角以及三角形內角和定理，熟練掌握性質和定理是正確解答本題的關鍵.3．【答案】B【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F，∴DE=BD，DF=DC，∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）=BC．∴DE+DF=BC=×10=5m．故選B．【名師點睛】本題考查等腰三角形和直角三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.4．【答案】A【解析】如圖所示，延長AC到E，使CE=BM，連接DE，∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中，，∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.故選A.【名師點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，做輔助線構造全等三角形，利用等邊三角形的性質得到全等條件是解決本題的關鍵.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴設∠ABD為3x，∠DBC為4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案為C．【名師點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質：等邊對等角和三角形內角和定理求解，難度適中．6．【答案】A【解析】分兩種情況：①當腰為4時，4+4<9，所以不能構成三角形；②當腰為9時，9+9>4，9-9<4，所以能構成三角形，周長是：9+9+4=22．故選A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD==4．故選C．8．【答案】B【解析】如圖，①點C以點A為標準，AB為底邊，符合點C的有5個；②點C以點B為標準，AB為等腰三角形的一條邊，符合點C的有4個．所以符合條件的點C共有9個．故選B．9．【答案】A【解析】設AN=x，由翻折的性質可知DN=AN=x，則BN=9-x．∵D是BC的中點，∴BD=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故選A．10．【答案】D【解析】如圖，作AH⊥CH，在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，AB=．故選D．11．【答案】等邊【解析】三角形的三邊a，b，c滿足，由算術平方根的非負性、平方數的非負性可得：，，解得：，即，則該三角形是等邊三角形.故答案為：等邊.【名師點睛】本題是一道比較好的綜合題，考查了算術平方根的非負性、平方數的非負性、等邊三角形的定義.12．【答案】60cm2．【解析】過點A作AD⊥BC交BC于點D，∵AB=AC=13cm，BC=10cm，∴BD=CD=5cm，AD⊥BC，由勾股定理得：AD==12（cm），∴△ABC的面積=×BC×AD=×10×12=60（cm2）．【名師點睛】本題考查的是等腰三角形的性質及勾股定理，能根據等腰三角形的“三線合一”正確的添加輔助線是關鍵.13．【答案】55°或125°【解析】如圖，分兩種情況進行討論：如圖1，當高在三角形內部時，則∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；如圖2，當高在三角形外部時，則∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；∴∠CAB=180°–55°=125°，故答案為55°或125°．【名師點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系是解題的關鍵.14．【答案】10【解析】①當6為腰長時，則腰長為6，底邊=26-6-6=14，因為14>6+6，所以不能構成三角形；②當6為底邊時，則腰長=（26-6）÷2=10，因為6-6<10<6+6，所以能構成三角形，故腰長為10．故答案為：10．15．【答案】【解析】∵是三角形ABD的外角，是三角形DEC的一個外角，，∴，，，，∵，D、E分別在BC、AC上，，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．16．【答案】15【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．17．【答案】或【解析】如圖，過點A1作A1M⊥BC于點M．∵點A的對應點A1恰落在∠BCD的平分線上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴設CM=A1M=x，則BM=7-x．又由折疊的性質知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M，∴CA1=3或4．故答案為：或．18．【答案】（1）見解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC沿CE折疊后，點B恰好與斜邊AC的中點D重合，∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA=EC，∴△ACE為等腰三角形；（2）由折疊的性質知：∠BEC=∠DEC，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，∴∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，∴∠BCE=30°，∴，又∵EA=EC，∴，∴AE=4.【名師點睛】本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的定義和30°角的直角三角形的性質，屬于常考題型，熟練掌握上述圖形的性質是解題關鍵.19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，則AO==2.4m，∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2m，∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′為斜邊，∴OB′=1.5m，∴BB′=OB′-OB=1.5m-0.7m=0.8m．答：梯足向外移動了0.8m．20．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）詳見解析；【解析】（1）證明：①∵，∴.又，∴，∴.又，∴；②當時，，∵，∴.∵，∴，∴；又，∴，∴，∴即，∴是等腰直角三角形.（2）所畫圖形如圖1或圖②，此時是等邊三角形.圖1圖2與（1）同理，可證，∴AF=AD，，∴△AFD是等邊三角形.【名師點睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質，以及全等三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是正確找到證明三角形全等的條件，利用全等三角形的性質得到邊的關系，角的關系.21．【解析】（1）由題意可得：AC=6m，DC=6m，∠CAD=90°，可得AD==6（m），故△ACD是等腰直角三角形．（2）∵AC=6m，BC=10m，∠CAD=90°，∴AB==8（m），則BD=AB-AD=8-6=2（m）．答：船體移動距離BD的長度為2m．直通中考直通中考1．【答案】B【解析】∵，∴，即，在和中，，∴，∴，①正確；∴，由三角形的外角性質得：，∴°，②正確；作于，于，如圖所示：則°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正確，正確的個數有3個，故選B．2．【答案】70°【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=7