第四節

無窮小與無窮大

當一、無窮小定義1例如:函數當時為無窮小;函數

時為無窮小;若函數y

f(x)在自變量x的變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中，f(x)為無窮小量，簡稱無窮小。注：（1）無窮小量是以零為極限的變量。（2）0是特殊的無窮小，很小的數不是無窮小。例1：當時，下列變量中不是無窮小的是（）ABCDB定理1(無窮小與函數極限的關系)其中思考：時，嗎？這個能寫出來嗎？函數以為極限的充分必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和，即二、無窮小的性質定理1有限個無窮小量的和仍然是無窮小量。定理2

有界變量乘無窮小量仍然是無窮小量。推論1：常數乘無窮小量仍然是無窮小量。

推論2：無窮小量乘無窮小量仍然是無窮量。

無窮多個無窮小的代數和不一定是無窮小思考：無窮多個無窮小的代數和是否無窮小呢？因為由無窮小的性質，得又因為是無窮小，，即x

時，是有界變量，，所以解：三、無窮大定義2

若在自變量x的某個變化過程中，函數絕對值可以任意的大，則稱在該變化過程中，f(x)為無窮大量，簡稱無窮大，記作

例如當x0時，是無窮大；當x

時，x3，x

都是無窮大。注意:無窮大不是很大的數，它是描述函數的變化趨勢.2.函數為無窮大，必定無界.但反之不真!四、無窮小與無窮大的關系例如，當x0時，x2是無窮小量，而是無窮大量。若為無窮大,為無窮小

;若為無窮小,且則為無窮大.則定理2.

在自變量的同一變化過程中,例如，當x

時，x2

是無窮大量而是無窮小量。作業P42習題1-46第五節極限運算法則

一、無窮小的運算法則定理1有限個無窮小量的和仍然是無窮小量。定理2

有界變量乘無窮小量仍然是無窮小量。推論1：常數乘無窮小量仍然是無窮小量。

推論2：無窮小量乘無窮小量仍然是無窮量。

推論：當C為常數，n為正整數，有定理3設則二、極限的四則運算法則三、復合函數的極限運算法則

定理6.設且

x滿足時,又則有例1求(1)(2)四、求極限的常用方法直接代入法有理整函數或者分式函數一般采用直接代入法。結論:.,0)(0則商的法則不能應用若=xQ)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx???=則有且設,0)(,)()()(.201=xQxQxPxfnnnaxaxa+++=-L10100nnxxnxxxxaxaxaxf+++=-???L110)lim()lim()(lim000則有設,)(.1110nnnaxaxaxf+++=-L例

1

求例

2

求解：解：例3求解解例4(消去零因子法)

通過約分.,,1分母的極限都是零分子時?x.1后再求極限因子先約去不為零的無窮小-x例5

求解：(消去零因子法)

通過有理化例6求解(無窮小因子分出法).,,分母的極限都是無窮大分子時￥?x.,,3再求極限分出無窮小去除分子分母先用x小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.為非負整數時有和當nmba,0,00011???????íì<￥>==++++++--￥?,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當LL利用無窮小的性質復合函數極限運算法則無窮小和無窮大之間的關系小結常見極限類型求解方法：分子、分母同時除以最高次方消去分子或分母趨于零的因式通分進行求解￥-￥型0￥型例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例

求解：例求解：例求解：例求例求解先變形再求極限.是無窮小之