專題05利用基本不等式求最值考點預測：1.重要不等式，有，當且僅當時，等號成立.2.基本不等式如果，，則，當且僅當時，等號成立.叫做正數，的算術平均數，叫做正數，的幾何平均數.基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.3.與基本不等式相關的不等式（1）當時，有，當且僅當時，等號成立.（2）當，時，有，當且僅當時，等號成立.（3）當時，有，當且僅當時，等號成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當時，積有最大值.【典型例題】例1．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．例2．（2022·山東·惠民縣第二高一階段練習）已知正數滿足.(1)求的取值范圍；(2)求的最小值.例3．（2022·全國·高一課時練習）為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足(k為常數)．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2019年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分)．(1)將該廠家2019年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；(2)該廠家2019年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？例4．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習）（1）已知，，求的取值范圍；（2）已知x，y，z都是正數，求證：．【過關測試】一、單選題1．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）已知x，y為非零實數，則下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全國·高一課時練習）某大型廣場計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個矩形音樂噴泉綜合體，該項目由矩形核心噴泉區（陰影部分）和四周的綠化帶組成．規劃核心噴泉區的面積為，綠化帶的寬分別為2m和5m（如圖所示）．當整個項目占地面積最小時，核心噴泉區的邊的長度為（

）A．20m B．50m C．m D．100m5．（2022·全國·高一課時練習）三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現代數學表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對任意實數a和b，有，當且僅當時，等號成立6．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2022·湖北·沙市高一階段練習）若兩個正實數滿足，若至少存在一組使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高一課時練習）若不等式對任意正數a，b恒成立，則實數x的最大值為（

）A． B．3 C． D．1二、多選題9．（2022·江蘇省如皋高一開學考試）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零實數，都有 D．函數的最小值為10．（2022·全國·高一專題練習）設，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．11．（2022·湖南·株洲高一開學考試）若正實數滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值12．（2022·湖北黃石·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則的最大值是-1B．若，，都是正數，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實數，滿足，則的最大值是三、填空題13．（2022·河南·高一階段練習）若，則的最小值為___________.14．（2022·全國·高一階段練習）若“，不等式恒成立”為真命題，則實數a的取值范圍是______．15．（2022·全國·高一單元測試）已知為正實數，則的最小值為__________．16．（2022·四川南充·高一期末（文））若實數，滿足，則的取值范圍為______．四、解答題17．（2022·江蘇省如皋高一開學考試）（1）求函數的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.18．（2022·福建省永泰縣第一高一開學考試）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正數，且滿足，求的最小值.19．（2022·全國·高一課時練習）已知a，b，c均為正實數.(1)求證：.(2)若，求證：.20．（2022·全國·高一專題練習）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．2