專題14：第三章全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之等腰直角三角形構建三垂直全等一、單選題1．如圖，一次函數的圖像與軸、軸分別交于、兩點，以為腰作等腰直角三角形，則直線的解析式是（）A． B． C． D．或2．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，反比例函數的圖象經過正方形對角線的交點E，若點A(2，0)、D(0，4)，則k=（）A．6 B．8 C．9 D．123．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位線，點D在AB上，把點B繞點D按順時針方向旋轉α（0°<α<180°）角得到點F，連接AF，BF．下列結論：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，連接EF，則S△DEF=4.5；其中正確的結論是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③4．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，給出下列結論：①∠ABC=45°；②AD∥BE；③∠CAD=∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤．那么其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題5．如圖，點在線段上，于，于，，且，，點以的速度沿向終點運動，同時點以的速度從開始，在線段上往返運動（即沿…運動），當點到達終點時，，同時停止運動.過，分別作的垂線，垂足為，.設運動時間為，當以，，為頂點的三角形與全等時，的值為__________．6．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，則的面積為_____cm2．7．如圖，已知點M（-1，0），點N（5m，3m+2）是直線AB：右側一點，且滿足∠OBM=∠ABN，則點N的坐標是_____．8．如圖，AO⊥OM，OA=7，點B為射線OM上的一個動點，分別以OB，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點，當點B在射線OM上移動時，則PB的長度____________．9．如圖，已知三條平行直線，，，，兩條平行線間的距離為2，，兩條平行線間的距離為4，將一等腰直角三角形如圖放置，過A，B分別向直線作垂線，垂足分別為D，E，則________．三、解答題10．如圖所示，，且，延長交于點，且．求證：．11．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如圖1所示位置時判斷ADC與CEB是否全等，并說明理由；（2）如圖2所示位置時判斷ADC與CEB是否全等，并說明理由．12．如圖，在中∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求證：；（2）若AD=2，BE=3，求的面積．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：△ADC≌△CEB；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，試問DE、AD、BE的等量關系?并說明理由．14．如圖，點A（﹣2，0），點C（﹣1，0），點A、C關于原點O的對稱點分別為點B、D．線段AB沿y軸向下平移2m（m＞0）個單位長度，得到線段A1B1，拋物線y＝ax2+bx+2過點A1，B1．（1）當m＝1時，a＝；（2）求a與m之間的關系式；（3）線段CD沿y軸向下平移2n（n＞0）個單位長度，得到線段C1D1，拋物線y＝ax2+bx+2過點C1，D1．①a＝；（用含n的式子來表示）m與n之間的關系式為．②點P（x，0）在x軸上，當△PC1B1為等腰直角三角形時，直接寫出點P的坐標．15．（1）認識模型：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：BEC≌CDA；（2）應用模型：①已知直線y＝－2x＋4與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B順時針旋轉90度，得到線段CB，求點C的坐標；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(5，4)，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x－3上的一點，點Q是平面內任意一點．若四邊形ADPQ是正方形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．參考答案1．D【解析】【分析】先根據一次函數的解析式求出A、B兩點的坐標，再作CE⊥x軸于點E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C點坐標，用待定系數法即可求出直線BC的解析式．【詳解】解：∵一次函數y=x+2中，

令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，

∴B的坐標是（0，2），A的坐標是（5，0）．

若∠BAC=90°，如圖1，作CE⊥x軸于點E，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

又∵∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠BAO．

在△ABO與△CAE中，

，

∴△ABO≌△CAE（AAS），

∴OB=AE=2，OA=CE=5，

∴OE=OA+AE=2+5=7．

則C的坐標是（7，5）．

設直線BC的解析式是y=kx+b，

根據題意得：解得，

∴直線BC的解析式是y=x+2．

若∠CBA=90°，如圖2，即BC⊥AB，

同理可得，直線BC解析式為：y=x+2；

故選：D．【點評】本題考查的是一次函數問題，涉及到用待定系數法求一次函數的解析式、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．2．C【解析】【分析】由A、D兩點坐標，可得到OA=2，OD=4，通過作垂線，構造全等三角形后，可以得出點B的坐標，再根據中點坐標公式可求出點E的坐標，進而確定反比例函數的關系式，得出k的值．【詳解】過點B作BF⊥OA，垂足為F，

∵A（2，0）、D（0，4），

∴OA=2，OD=4，

∵ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∵∠DAO+∠ADO=∠DAO+∠BAF=90°，

∴∠ADO=∠BAF，

又∵∠AOD=∠BFA=90°，

∴△AOD≌△BFA（AAS），

∴BF=OA=2，AF=OD=4，

∴點B（6，2），

∵E是BD的中點，∴點E的坐標為(，)，即(，)，把E(，)代入反比例函數的關系式得：，故選：C．【點評】本題是反比例函數與幾何的綜合，考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及全等三角形的性質和判定，正方形的性質等知識，確定E點坐標是解決問題的關鍵．3．C【解析】【分析】①根據直角三角形斜邊中線的性質和旋轉的性質得出，然后利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可判斷；②分兩種情況討論：或，分別求α即可；③先根據題意畫出圖形，首先證明，然后得出，最后利用即可求解．【詳解】①∵DE是△ABC的中位線，．由旋轉可知，，．，，即，∴△ABF是直角三角形，故①正確；，．若△ABF和△ABC全等，當時，；當時，，綜上所述，若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC，故②正確；過點F作交ED的延長線于點G，∵DE是的中位線，，．，．，，．，．，D為AB中點，．在和中，，，故③正確；所以正確的有：①②③．故選：C．【點評】本題主要考查三角形中位線的性質，直角三角形斜邊中線的性質，全等三角形的判定及性質，掌握三角形中位線的性質，直角三角形斜邊中線的性質，全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．4．D【解析】【分析】根據△ABC是等腰直角三角形可判斷①正確；根據“內錯角相等，兩直線平行”可判斷②正確；利用等腰三角形的性質及其它條件，證明△CEB≌△ADC，則其他結論易求．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故①正確；∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴AD∥BE，故②正確；∵∠BCE+∠ACD=90°∠ACD+∠CAD=90°

∴∠BCE=∠CAD，故③正確；

又∠E=∠ADC=90°，AC=BC

∴△CEB≌△ADC，故④正確

∴CE=AD，BE=CD

∴，故⑤正確．

因此，正確的結論有5個，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性質來找到結論，利相等線段的等量代換是正確解答本題的關鍵；5．1或或【解析】【分析】根據題意分三種情況進行討論，并由全等三角形的判定和性質進行分析即可求解．【詳解】解：①當點P在AC上，點Q在CE上時，∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②當點P在AC上，點Q第一次從點C返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=，③當點P在CE上，點Q第一次從E點返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=，綜上所述：t的值為1或或．故答案為：1或或．【點評】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．6．8．【解析】【分析】作DH⊥BC，證明，根據全等三角形的性質得到DH＝BC＝4，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠HCD，在△ABC和△CHD中，，∴（AAS），∴DH＝BC＝4，∴的面積＝（cm2），故答案為：8．【點評】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形全等的判定與性質，三角形面積的計算，掌握以上知識是解題的關鍵．7．【解析】【分析】在x軸上取一點P（1，0），連接BP，作PQ⊥PB交直線BN于Q，作QR⊥x軸于R，構造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根據全等三角形的性質、坐標與圖形性質求得Q（5，1），易得直線BQ的解析式，所以將點N代入該解析式來求m的值即可．【詳解】解：在x軸上取一點P（1，0），連接BP，

作PQ⊥PB交直線BN于Q，作QR⊥x軸于R，

∴∠BOP=∠BPQ=∠PRQ=90°，

∴∠BPO=∠PQR，

∵OA=OB=4，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∵M（-1，0），

∴OP=OM=1，

∴BP=BM，

∴∠OBP=∠OBM=∠ABN，

∴∠PBQ=∠OBA=45°，

∴PB=PQ，

∴△OBP≌△RPQ（AAS），

∴RQ=OP=1，PR=OB=4，

∴OR=5，

∴Q（5，1），∴直線BN的解析式為y＝?x+4，將N（5m，3m+2）代入y＝?x+4，得3m+2=﹣×5m+4解得m＝，∴N．故答案為：【點評】本題考查了一次函數綜合題，需要熟練掌握待定系數法確定函數關系式，一次函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，兩點間的距離公式等知識點，難度較大．8．【解析】【分析】根據題意過點E作EN⊥BM，垂足為點N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進而證明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作EN⊥BM，垂足為點N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO與△BEN中，，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF與△NPE中，，∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=BN，BN=AO，∴BP=AO=×7=．故答案為：．【點評】本題考查三角形內角和定理以及全等三角形的性質和判定的應用，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形并靈活運用有關定理進行分析．9．10【解析】【分析】首先根據同角的余角相等得出，再根據等腰三角形性質和一線三等角證出，所以，．即，從而求解．【詳解】于點D，于點E，．，．，．在和中，，，，．，．故答案為：10.【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等根據同角的余角相等和一線三等角證明三角形全等是解題關鍵．10．詳見解析【解析】【分析】延長BF至G，使，連結EG，得，，BF=GF，再證，得.【詳解】證明：延長BF至G，使，連結EG，在△BDF和△GEF中，，∴，∴，BF=GF，∴BG=2BF，∵BE⊥BA，∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG，在△ABC和△BEG中，，∴，∴AC=BG=2BF.【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．11．（1）全等，見解析；（2）全等，見解析【解析】【分析】（1）首先根據同角的余角證明∠DAC＝∠BCE，再利用AAS定理證明△DAC≌△ECB；（2）首先根據同角的余角證明∠DAC＝∠BCE，進而利用HL定理證明△ACD≌△CBE．【詳解】（1）如圖1，全等，理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA，∴∠DAC＝∠BCE，在△DAC與△ECB中，∵，∴△DAC≌△ECB（AAS）；（2）如圖2，全等，理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠DAC＝∠BCE，在△ACD與△CBE中，∵，∴△ACD≌△CBE（AAS）．【點評】本題考查全等三角形的判定及其性質定理的同時，還滲透了對旋轉變換的考查；解題的關鍵是靈活運用全等三角形的判定定理解題．12．（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據垂直定義求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根據等式性質求出∠ACD＝∠CBE，根據AAS證出△ADC和△CEB全等即可；（2）由（1）可推出CD＝BE，AD＝CE，進而可得到AC=AB=，再計算△ABC面積即可．【詳解】解：（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠BEC＝∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）∵△ADC≌△CEB∴BE＝CD，AD＝CE，AC=BC，又AD=2，BE=3，∴AC=BC=，∴△ABC的面積為，故△ABC的面積為．【點評】全等三角形的性質和判定，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．13．（1）見解析；（2）DE=AD-BE，理由見解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；

（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【詳解】解：（1）證明：如圖1，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）結論：DE=AD-BE．

理由：如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC-CD=AD-BE．【點評】本題主要考查了余角的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，能根據已知證明△ACD≌△CBE是解此題的關鍵，題型較好，綜合性比較強．14．（1）﹣2；（2）a＝﹣m﹣1；（3）①﹣2n﹣2；m＝2n+1；②點P的坐標為（，0）或（4，0）或（，0）．【解析】【分析】（1）平移后A1、B1的坐標分別為（﹣2，﹣2m）、（2，﹣2m），則，即可求解；（2）由（1）中的方程組即可得出（3）①平移后點C1、D1的坐標分別為（﹣1，﹣2n）、（1，﹣2n），則，即可求解；②分∠B1PC1為直角、∠C1B1P為直角、∠B1C1P為直角三種情況，利用三角形全等求解即可．【詳解】解：（1）點A、C關于原點O的對稱點分別為點B、D，則點B、D的坐標分別為（2，0）、（1，0），則平移后A1、B1的坐標分別為（﹣2，﹣2m）、（2，﹣2m），則，∴4a+4＝﹣4m，∴a＝﹣m﹣1，當m＝1時，a＝﹣2，故答案為﹣2；（2）由（1）得：a＝﹣m﹣1，（3）①平移后點C1、D1的坐標分別為（﹣1，﹣2n）、（1，﹣2n），則，解得：a＝﹣2n﹣2，而a＝﹣m﹣1，故m＝2n+1，故答案為：﹣2n﹣2；m＝2n+1；②平移后點B1坐標為（2，﹣2m），即（2，﹣4n﹣2），而點C1（﹣1，﹣2n），（Ⅰ）當∠B1PC1為直角時，如圖1，連接BB1、CC1，∵∠CPC1+∠BPB1＝90°，∠CPC1+∠CC1P＝90°，∴∠BPB1＝∠CC1P，而PB1＝PC1，∠PCC1＝∠B1BP＝90°，∴△PCC1≌△B1BP（AAS），∴CC1＝PB，BB1＝PC，即2n＝2﹣x且x+1＝4n+2，解得：x＝故點P的坐標為（，0）；（Ⅱ）當∠C1B1P為直角時，過C1作C1M⊥A1B1，過點P作PN⊥A1B1交A1B1的延長線于點N，同理可得：△C1MB1≌△B1NP（AAS），∴MC1＝B1N且MB1＝PN，即2n+2＝x﹣2且4n+2＝3，解得：x＝，∴P的坐標為（）；（Ⅲ）當∠B1C1P為直角時，簡圖如圖3，過點C1作C1M⊥x軸，過點B1作x軸的平行線交MC1的延長線于點N，同理可得：△PMC1≌△C1NB1（AAS），∴PM＝C1N，C1M＝NB1，即x+1＝2n+2，2n＝3，解得：x＝4，故點