專題二常見代數式運算考查類型一、（實數）有理數運算例題1（2021·河北興隆·二模）小明在解一道有理數混合運算時，一個有理數被污染了．計算：．（1）若，計算：；（2）若，求的值；（3）若要使的結果為最小正整數，求值．【答案】（1）0；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先算乘除，再計算加法，即可求解；（2）解出一元一次方程，即可求解；（3）根據最小的正整數為1，可列出關于的方程，即可求解．【詳解】解：（1）原式；（2）∵，∴解得：；（3），∵最小的正整數為1，即，解得：．【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，解一元一次方程，熟練掌握有理數的混合運算法則，解一元一次方程的基本步驟是解題的關鍵．練習題1．（2021·陜西·西安市鐵一中學模擬預測）計算：．【答案】．【解析】【分析】根據負整指數冪的性質、60°角的余弦值、算術平方根、有理數的乘方性質解題：．【詳解】解：．【點睛】本題考查實數的混合運算，涉及負整數冪、余弦、算術平方根、有理數的乘方等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．2．（2021·廣東·珠海市九洲中學一模）計算：．【答案】-2【解析】【分析】根據實數的性質化簡，故可求解．【詳解】解：原式．【點睛】此題主要考查實數的混合運算，解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值．3．（2021·甘肅酒泉·二模）計算：．【答案】-1【解析】【分析】按實數的混合運算順序和法則計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的化簡、乘方、特殊角的三角函數值、實數的混合運算順序和運算法則等知識點，熟知上述各知識點是解題的關鍵．4．（2021·山東·濟寧學院附屬中學一模）計算：．【答案】【解析】【分析】先根據零指數冪的意義、特殊角的三角函數值、負整指數冪的定義等進行化簡計算即可.【詳解】解：原式===.【點睛】此題考查了實數的運算，正確掌握負整指數冪的定義、特殊角的三角函數值、零指數冪的意義是解題的關鍵．5．（2021·河南省淮濱縣第一中學模擬預測）（1）如果，且，求的值；（2）已知、互為相反數，、互為倒數，的倒數等于它本身，則的值是多少？（3）已知，求的值．【答案】（1）或；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）利用絕對值的性質分別得出，可能的值，進而得出答案；（2）直接利用相反數以及倒數的定義求出即可；（3）利用偶次方的性質以及絕對值的性質得出，的值進而求出答案．【詳解】（1）由，，解得：，，，①時，，此時，②時，，此時，因此的值為或；（2）、互為相反數，，、互為倒數，，的倒數等于它本身，，時，，時，，因此的值為或；（3），且，且，，因此的值為．【點睛】此題主要考查了代數式求值、偶次方和絕對值非負的性質以及倒數、相反數的定義等知識，正確掌握相關性質是解題關鍵．6．（2021·浙江余杭·三模）下面是圓圓同學計算一道題的過程：．圓圓同學這樣算正確嗎？如果正確請解釋理由；如果不正確，請你寫出正確的計算過程．【答案】不正確．正確的計算過程見解析．【解析】【分析】根據有理數的混合運算順序計算即可．【詳解】解：不正確．【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，熟記有理數的乘除法法則是解決本題的關鍵．7．（2020·河北·模擬預測）利用運算律有時能進行簡便計算．

例198×12=（100-2）×12=1200-24=1176；例2-16×233+17×233=（-16+17）×233=233．請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：（1）；（2）【答案】（1）-14985；（2）99900【解析】【分析】（1）先將999寫成（1000-1）的形式，再使用乘法分配律計算即可；（2）提取公因式999，先計算括號內的，再進行簡便運算即可．【詳解】（1）解：原式=（1000-1）×（-15）=-15000+15=-14985．（2）解：原式=999×=999×100=99900．【點睛】本題主要考查了有理數混合運算，準確計算是解題的關鍵．8．（2021·河北路北·二模）老師課下給同學們留了一個式子：，讓同學自己出題，并寫出答案．小光提出問題：若□代表，○代表，則計算：；小麗提出問題：若，當□代表時，求○所代表的有理數；小亮提出問題：若中，若□和○所代表的有理數互為相反數，直接寫出□所代表的有理數的取值范圍．【答案】（1）1；（2）；（3）□．【解析】【分析】（1）直接根據有理數計算法則求值即可；（2）設○代表的有理數為，代入解方程即可；（3）設□代表的數為a，則○代表的數為-a，代入解不等式即可．【詳解】解：；設○所代表的有理數為，則，解得：．∴○所代表的有理數為．設□代表的數為a，則○代表的數為-a，則解得：．∴□所代表的有理數的取值范圍為：．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握以上知識點的計算法則是解決本題的關鍵．9．（2021·河北邢臺·二模）嘉淇準備完成題目：計算：．發(fā)現有一個數“”印刷不清楚，（1）他把“”猜成18，請你計算：；（2）他媽說：“你猜錯了，我看到該題標準答案的結果是．”通過計算說明原題中“”是幾？【答案】（1）-42；（2）-12【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減，然后得到結果；（2）設“”是，將看做常數，去括號、合并同類項后根據結果為常數知二次項系數為0，據此得出的值．【詳解】解：（1）．（2）設為，依題意得，．解之得，．【點睛】本題主要考查有理數的加減和解一元一次方程，熟悉相關解法是解題的關鍵．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中學一模）觀察下列等式：①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…（1）請按以上規(guī)律寫出第⑥個等式：；（2）猜想并寫出第n個等式：；并證明猜想的正確性．（3）利用上述規(guī)律，直接寫出下列算式的結果：＝．【答案】（1）；（2），見解析；（3）4752【解析】【分析】（1）根據分母不變，分子是兩個數的平方差可得答案；（2）根據發(fā)現的規(guī)律寫出第n個等式并計算可進行驗證；（3）根據=2，＝3，＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，進而可得答案．【詳解】解：（1）第⑥個式子為：；故答案為：；（2）猜想第n個等式為：，證明：∵左邊=＝右邊，故答案為：；（3）原式＝1+2+3+…+97-1＝-1＝4752．故答案為：4752．【點睛】此題考查有理數計算規(guī)律探究，有理數的四則混合運算，因式分解的應用，根據例子得到式子的構成規(guī)律并應用解決實際問題是解題的關鍵．二、整式運算與求值例題2（2021·上海·九年級專題練習）小剛在計算一個多項式減去多項式的差時，因一時疏忽忘了把兩個多項式用括號括起來，因此減式后面兩項沒有變號，結果得到的差是．（1）求這個多項式；（2）求出這兩個多項式運算的正確結果；（3）當時，求（2）中結果的值．【答案】（1）；（2）；（3）當時，原式=2.【解析】【分析】（1）根據題意列得，即可求出A；（2）將A代入列式，根據整式的減法法則計算即可得到答案；（3）將b=-2代入計算即可.【詳解】解：（1），.（2）.（3）當時，原式.【點睛】此題考查整式的加減法計算法則，已知字母的值求代數式的值，正確理解題意求出A的值是解題的關鍵.練習題1．（2021·河南·二模）先化簡，再求值：，其中，．【答案】2xy，．【解析】【分析】原式中括號里邊利用完全平方公式，平方差公式，單項式乘以多項式法則計算，合并化簡計算后，把與代入計算即可求出值．【詳解】解：，當，時，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．（2021·四川涼山·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】；-136【解析】【分析】先利用乘法公式和整式乘法法則進行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：原式．把，代入原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值和二次根式計算，解題關鍵是熟練運用整式乘法法則和公式進行化簡，代入數值后準確計算．3．（2021·浙江·杭州育才中學二模）已知多項式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．（1）當x＝1，y＝2，求M的值；（2）若多項式M與字母x的取值無關，求y的值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）原式去括號合并得到最簡結果，把x與y的值代入計算即可求出值；（2）M化簡的結果變形后，根據M與字母x的取值無關，確定出y的值即可．【詳解】解：（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x22x﹣2yx2＝xy2x+2y2，當x，y＝2時，原式；（2）∵M＝xy2x+2y2＝（y2）x+2y2，且M與字母x的取值無關，∴y2＝0，解得：y＝2．【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（2021·浙江省杭州市上泗中學二模）已知多項式．（1）化簡；（2）當，，求的值；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據整式的加減計算法則化簡即可得到答案；（2）根據（1）中的化簡結果代值計算即可．【詳解】解：（1）；（2）當，時，．【點睛】本題主要考查了整式的化簡求值，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．5．（2021·上海·九年級專題練習）代數式里的“”是“＋，－，×，÷”中某一種運算符號．（1）如果“”是“＋”，化簡：；（2）當時，，請推算“”所代表的運算符號．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把“”代入原式，去括號合并即可得到結果；（2）原式去括號后，把代入計算即可求出所求．【詳解】解：（1）原式．（2）由題意得，當時，代入上式得，即，∵，∴“”所表示的運算符號是“”．【點睛】此題考查了整式的加減，以及有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．6．（2021·河北·石家莊市第四十二中學一模）對于四個整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．無論x取何值，B+C+D的值都為0．（1）求m、n的值；（2）計算A﹣B+C﹣D；（3）若的值是正數，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）m＝2，n＝﹣5；（2）2x2﹣4x；（3）x＜且x≠0【解析】【分析】（1）把，，代入中，求出與的值即可；（2）把與的值代入確定出與，再將，，，代入中計算即可得到結果；（3）把，，，代入，使其值大于0求出的范圍即可．【詳解】解：（1）；；，，，，解得：，；（2）；；；，且，，；（3）；；；，且，，，，，且，即，解得：且．【點睛】此題考查了分式的加減法，整式的加減，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．7．（2020·河北衡水·模擬預測）請閱讀以下步驟，完成問題：①任意寫一個三位數，百位數字比個位數字大2；②交換百位數字與個位數字，得到一個三位數；③用上述的較大的三位數減去較小的三位數，所得的差為三位數；④交換這個差的百位數字與個位數字又得到一個三位數；⑤把③④中的兩個三位數相加，得到最后結果．問題：（1）③中的三位數是；④中的三位數是；⑤中的結果是；（2）換一個數試試看，所得結果是否一樣？如果一樣，設這個三位數的百位數字為、十位數字為，用代數式表示這個三位數，并結合你所學的知識解釋其中的原因．【答案】（1）198，891，1089；（2）所得結果一樣；理由見解析【解析】【分析】（1）根據特例即可求解；（2）分析題意，列出相關算式計算加以證明．注意三位數的表示方法：每位上的數字乘位數再相加．【詳解】解：（1）例如：①321；②123；③中的三位數是198；④中的三位數是891；⑤中的結果是1089．故答案為：198，891，1089；（2）所得結果一樣．可以設①中的三位數為100a＋10b＋（a?2），所以②中的三位數為100（a?2）＋10b＋a，100a＋10b＋（a?2）?[100（a?2）＋10b＋a]＝198，這是一個常數，于是在交換百位數字與個位數字后得到891，198＋891＝1089．故所得結果一樣．【點睛】本題考查了列代數式．認真讀題，理解題意是關鍵．8．（2021·河北橋東·二模）甲、乙兩人各持一張分別寫有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的對話：甲：我的卡片上寫著整式，加上整式后得到最簡整式；乙：我用最簡整式加上整式后得到整式．根據以上信息，解決下列問題：（1）求整式和；（2）請判斷整式和整式的大小，并說明理由．【答案】（1）；；（2）；答案見解析．【解析】【分析】（1）依題意可得，代入各式即可求解；（2）化簡，根據配方法的應用即可求解．【詳解】解：（1）．∵，∴．（2）．理由：．∵，∴．【點睛】此題主要考查整式的加減及配方法的應用，解題的關鍵是熟知完全平方公式的應用．9．（2021·河北興隆·二模）解方程組老師設計了一個數學游戲，給甲、乙、丙三名同學各一張寫有最簡代數式的卡片，規(guī)則是兩位同學的代數式相減等于第三位同學的代數式，甲、乙、丙的卡片如圖所示，其中丙同學卡片上的代數式未知．（1）若乙同學卡片上的代數式為一次二項式，求的值；（2）若甲同學卡片上的代數式減去乙同學卡片上的代數式等于丙同學卡片上的代數式．①當丙同學卡片上的代數式為常數時，求的值；②當丙同學卡片上的代數式為非負數時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）根據乙同學卡片上的代數式為一次二項式知，據此求解即可；（2）①根據題意列出算式，然后去括號、合并同類項，繼而根據結果為常數項知二次項系數為0，據此求解即可；②根據題意列出不等式，求解此不等式即可．【詳解】解：（1）∵乙同學卡片上的代數式為一次二項式，則，∴；（2）①，∵結果為常數，∴，解得；②由①知丙卡片上的代數式為，要使其為非負數，則，則，解得．【點睛】本題主要考查整式的加減以及解不等式，整式的加減的實質就是去括號、合并同類項，解不等式注意按照運算步驟進行即可．10．（2021·河北·三模）一般情況下不成立，但有些數可以使得它成立，例如：．我們稱使得成立的一對數為“相伴數對”，記為．（1）填空：_________“相伴數對”（填是或否）；（2）若是“相伴數對”，求的值；（3）若是“相伴數對”，求代數式的值．【答案】（1）是；（2）；（3）-2【解析】【分析】（1）根據“相伴數對”的定義判斷即可；（2）根據“相伴數對”的定義化簡計算即可求出b的值；（3）根據“相伴數對”的定義得到9m+4n=0，將原代數式化簡后代入計算即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴是“相伴數對”，故答案為：是；（2）是“相伴數對”，，解得：；（3）是“相伴數對”，，，，∴當時，原式=．【點睛】本題考查了整式的加減-化簡求值、有理數加法運算、解一元一次方程，熟練掌握整式加減的運算法則，弄清楚新定義和整體代入思想求值是解答的關鍵．三、分式的計算與求值例題3（2021·廣東英德·二模）先化簡，然后從0，1，，2中選取一個你認為合適的數作為的值帶入求值．【答案】，-1【解析】【分析】根據分式的混合運算法則和因式分解化簡分式，再根據分式有意義條件選擇x值代入求解即可【詳解】解：，，x-1≠0，，或2，當時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，分式有意義的條件，熟練掌握分式的混合運算法則，注意分式有意義的條件是解答的關鍵．練習題1．（2021·江蘇·淮陰中學新城校區(qū)一模）先化簡，再求值：，其中【答案】，1【解析】【分析】首先根據分式化簡的步驟進行化簡，再把代入化簡后的式子，即可求得．【詳解】解：．當時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值問題，準確地把分式化為最簡分式是解決本題的關鍵．2．（2021·河南武陟·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】?433##-433【解析】【分析】先計算括號內分式的減法，再將除式的分子、分母因式分解，將除法轉化為乘法，繼而約分即可化簡原式，最后將值代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：，當時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值．此類題目的關鍵是在分式化簡過程中熟練掌握相關的運算法則及運算順序．3．（2021·廣東連州·二模）先化簡再求值，其中x是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根．【答案】，．【解析】【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出的值，繼而根據分式有意義的條件確定的值，代入計算即可．【詳解】，∵，∴，則或，解得或，又∵且，∴，則原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則及因式分解法解一元二次方程、分式有意義的條件．4．（2021·廣東·桂林華僑初級中學二模）已知，，．當=3時，對式子（A－B）÷C先化簡，再求值．【答案】，【解析】【分析】先將A、B、C代入中，利用分式的混合運算法則、平方差公式進行化簡，最后將x=3代入計算求解．【詳解】（A－B）÷C

當x＝3時，原式【點睛】本題考查了分式的混合運算，平方差公式，先利用分式的混合運算法則進行化簡是解答關鍵．5．（2021·山東德城·二模）先化簡，再求值：，請在﹣2≤m≤1的范圍內取一個自己喜歡的數代入求值．【答案】；當m=0時，原式為1，當m=-1時，原式為3【解析】【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由分式有意義的條件選取使分式有意義的m的值，代入計算即可．【詳解】解：原式====，∵m≠±2且m≠1，∴取m=0或m=-1，則原式=；當m=-1時，原式=．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則及分式有意義的條件．6．（2021·山東惠民·二模）先化簡，再求值，其中a=－2sin45°－【答案】；【解析】【分析】先利用分式的乘除法運算法則和減法的運算法則進行化簡，再利用二次根式、特殊角的三角函數值、零指數冪的運算法則進行計算求解．【詳解】解：====.a==－2－1=當a=時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值此，利用分式的除法和減法進行化簡，再利用實數的運算法則進行計算求解是解答關鍵．7．（2021·湖北鶴峰·模擬預測）先化簡，再求值：(1-1m+2)÷(m2【答案】；【解析】【分析】先把分式運算中的括號里化簡，再用括號外分式乘以其倒數，最后化簡；解一元二次方程得到兩個值，根據分式有意義的條件進行取舍后代入化簡后的式子可求值．【詳解】解：原式；，，或，或1，由題意可知，，將代入原式得，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，以及解一元二次方程，解決這類問題要注意在計算的過程中要使分式有意義的條件．8．（2021·湖北宜城·模擬預測）先化簡，再求值：(2-2xx+1+x-1)÷x2-xx+1，從0，，【答案】；【解析】【分析】先通分計算括號內的加減，再把除化為乘，計算分式的除法，化簡后將代入即可得答案．【詳解】解：原式=[∵要使原式有意義，、，，把代入得原式．【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關鍵是掌握運算順序及分式計算的相關法則．9．（2021·山東樂陵·二模）已知：A＝．(1)化簡A．(2)若點(x,-3)與點(-4,-3)關于y軸對稱，求A的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)首先進行分式的加減運算，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，最后把除法運算轉化為乘法運算，約分即可化簡；(2)根據關于y軸對稱的點的坐標特點，即可求得x值，代入即可求得．(1)解：A＝；(2)解：∵點(x,-3)與點(-4,-3)關于y軸對稱，∴x=-(-4)=4，把x=4代入，得．【點睛】本題考查了分式的混合運算，分式的化簡求值，關于y軸對稱的點的坐標特點，準確化簡及求得x的值是解決本題的關鍵．10．（2021·廣東·一模）先化簡，再求值：（+）÷，其中m＝3+．【答案】，【解析】【分析】分析：根據分式的混合運算法則把原式化簡，把m的值代入計算即可．【詳解】解：（+）÷＝（）＝＝，當m＝3+時，原式＝＝＝．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值、分母有理化，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．四、與數軸有關的代數計算例題4（2020·河北·中考真題）如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數軸－3和5的位置上，沿數軸做移動游戲．每次移動游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據所猜結果進行移動．①若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位；②若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位；③若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位．（1）經過第一次移動游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率；（2）從圖的位置開始，若完成了10次移動游戲，發(fā)現甲、乙每次所猜結果均為一對一錯．設乙猜對次，且他最終停留的位置對應的數為，試用含的代數式表示，并求該位置距離原點最近時的值；（3）從圖的位置開始，若進行了次移動游戲后，甲與乙的位置相距2個單位，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）；當時，距離原點最近；（3）或5【解析】【分析】（1）對題干中三種情況計算對應概率，分析出正確的概率即可；硬幣朝上為正面、反面的概率均為，甲和乙猜正反的情況也分為三種情況：①甲和乙都猜正面或反面，概率為，②甲猜正，乙猜反，概率為，③甲猜反，乙猜正，概率為，（2）根據題意可知乙答了10次，答對了n次，則打錯了（10-n）次，再根據平移的規(guī)則推算出結果即可；（3）剛開始的距離是8，根據三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以2即可得到結果；【詳解】（1）題干中對應的三種情況的概率為：①；②；③；甲的位置停留在正半軸上的位置對應情況②，故P=．（2）根據題意可知乙答了10次，答對了n次，則打錯了（10-n）次，根據題意可得，n次答對，向西移動4n，10-n次答錯，向東移了2（10-n），∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，∴當n=4時，距離原點最近．（3）起初，甲乙的距離是8，易知，當甲乙一對一錯時，二者之間距離縮小2，當甲乙同時答對打錯時，二者之間的距離縮小2，∴當甲乙位置相距2個單位時，共縮小了6個單位或10個單位，∴或，∴或．【點睛】本題主要考查了概率的求解，通過數軸的理解進行準確分析是解題的關鍵．練習題1．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點是數軸上表示實數的點．（1）用直尺和圓規(guī)在數軸上作出表示實數的的點；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數軸比較和的大小，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理構造直角三角形得出斜邊為，再利用圓規(guī)畫圓弧即可得到點．（2）在數軸上比較，越靠右邊的數越大．【詳解】解：（1）如圖所示，點即為所求．（2）如圖所示，點在點的右側，所以【點睛】本題考查無理數與數軸上一一對應的關系、勾股定理、尺規(guī)作圖法、熟練掌握無理數在數軸上的表示是關鍵．2．（2021·河北遷安·二模）如圖，數軸上有A、B、C三個點，它們所表示的數分別為a、b、c三個數，其中，且b的倒數是它本身，且a、c滿足．（1）計算：的值；（2）若將數軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數．【答案】（1）13；（2）-8【解析】【分析】（1）根據偶數次冪和絕對值的非負性，求出a和c的值，再代入求解，即可；（2）根據倒數的定義，求出b的值，再求出A，B中點所對應的數，進而即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，解得：，則；（2）∵，且b的倒數是它本身，∴，∵，∴和重合，和的中點為，∵，∴與點C重合的點表示的數是．【點睛】本題主要考查數軸上點表示的數，熟練掌握倒數，絕對值的意義，是解題的關鍵．3．（2021·河北·九年級專題練習）已知有理數-3，1．（1）在下列數軸上，標出表示這兩個數的點，并分別用A，B表示；（2）若｜m｜=2，在數軸上表示數m的點，介于點A，B之間，在A的右側且到點B距離為5的點表示為n．①計算m+n-mn；②解關于x的不等式mx+4＜n，并把解集表示在下列數軸上．【答案】（1）見解析；（2）①16；②x＞-1；數軸表示見解析【解析】【分析】（1）直接在數軸上標出A、B即可；（2）①根據題意得出m、n的值，再代入計算即可；②將m、n代入不等式中，求出解，再在數軸上表示即可．【詳解】解：（1）如圖：．（2）∵｜m｜=2，∴m=±2，∵在數軸上表示數m的點，介于點A，B之間，∴m=-2，∵在A的右側且到點B距離為5的點表示為n，∴n=6，①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，②由-2x+4＜6，解得x＞-1，表示在數軸上如圖所示：．【點睛】本題考查了數軸，解不等式，按照題目要求進行即可．4．（2020·河北石家莊·一模）如圖1，點A，B，C是數軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數為，b，4，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上的點A，發(fā)現點B對應刻度，點C對齊刻度．（1）在圖1的數軸上，__________個長度單位；數軸上的一個長度單位對應刻度尺上的_______；（2）求數軸上點B所對應的數b為_________________；（3）在圖1的數軸上，點Q是直線上一點，滿足，求點Q所表示的數．【答案】（1）9；0.6；（2）；（3）或1【解析】【分析】（1）根據兩點間的距離解答即可；（2）根據題意和對應關系可得方程求得數軸上點所對應的數；（3）可設點所表示的數是，根據，分兩種情況，當點在點之間時，得到關于的方程；當點在點的右邊時，得到關于的方程；再解方程即可求解．【詳解】解：（1）（個長度單位），數軸上的一個長度單位對應刻度尺上的．故答案為：9；0.6．（2）依題意有，解得，即數軸上點所對應的數為；故答案為：．（3）設點所表示的數是，依題意有當點在點之間時，，解得．當點在點的右邊時，，，解得：，故點所表示的數是或1．【點睛】本題考查了一元一次方程和數軸、絕對值的運用，解答的關鍵是根據等量關系和線段的和差建立方程．5．（2021·上海·九年級專題練習）在單位長度為1的數軸上，點A表示的數為﹣2.5，點B表示的數為4．（1）求AB的長度；（2）若把數軸的單位長度擴大30倍，點A、點B所表示的數也相應的發(fā)生變化：①此時點A表示的數為，點B表示的數為；②已知點M是線段AB的三等分點，求點M所表示的數．【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55【解析】【分析】（1）用點B表示的數減去點A表示的數即可得到AB的長；（2）①點A、點B表示的數也擴大30倍即可得到結果；②根據點A、B表示的數得到線段AB的長，再由點M是線段AB的三等分點，分兩種情況確定點M表示的數．【詳解】解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；（2）①根據題意可知，數軸的單位長度擴大30倍，則點A表示的數為－2.5×30＝－75，點B表示的數為4×30＝120，故答案為：－75，120；②AB＝120－(－75)＝195，當點M靠近點A時，AM＝AB＝65，∴點M表示的數為65－75＝－10，當點M靠近點B時，BM＝AB＝65，∴點M表示的數為120－65＝55，綜上所述，點M表示的數為－10或55．【點睛】此題考查了數軸上兩點之間的距離，利用距離確定點的坐標，以及三等分點，熟練掌握數軸上兩點之間的距離的求法是解題的關鍵，做題時注意線段的三等分點有兩個，當沒有明確是哪一個點時要分兩種情況解答，避免遺漏．6．（2021·河南省淮濱縣第一中學三模）數軸上A，B，C三個點對應的數分別為a，b，x，且A，B到－2所對應的點的距離都等于6，點B在點A的右側．（1）請在數軸上表示點A，B位置，a=，b=

；（2）請用含x的代數式表示CB=；（3）若點C在點B的左側，且CB=8，點A以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當AC=2AB時，求點A移動的時間．【答案】（1），；（2）；（3）秒或10秒．【解析】【分析】（1）由A，B到-2所對應的點的距離都等于6，點B在點A的右側，可得出關于a，b的一元一次方程，解之即可得出a，b的值；（2）由點B，C對應的數，利用兩點間的距離公式可找出CB的值；（3）由點C在點B的左側及CB的值可得出x的值，設點A移動的時間為t秒，分別表示出AB和AC，根據AC=2AB列出絕對值方程，求解即可．【詳解】解：（1）根據題意得：-2-a=6，b-（-2）=6，∴a=-8，b=4，將其表示在數軸上，如圖所示．故答案為：-8，4．（2）B點表示的數為4，C點表示的數為x，故CB=|x-4|．故答案為：|x-4|．（3）∵點C在點B的左側，且CB=8，∴x-6=-8，∴x=-4．設點A移動的時間為t秒，A點t秒后表示的數為．則，，因為，所以．即或解得，解得，故A移動的時間為秒或10秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，數軸上動點問題以及列代數式，解題的關鍵是：（1）利用兩點間的距離公式，列出關于a，b的一元一次方程；（2）利用兩點間的距離公式求出CB的值；（3）根據列出絕對值方程，并求解．7．（2021·云南五華·一模）如圖所示，甲、乙兩人（看成點）分別在數軸-3和5的位置上，沿數軸做移動游戲．每次移動的游戲規(guī)則是：兩人先猜裁判所拋硬幣向上一面的正反，再根據所猜結果進行移動．①若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位；②若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位；③若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位．（1）用樹狀圖（樹狀圖也稱樹形圖）或列表法中的一種方法，求每次移動游戲中甲猜對的概率的值；（2）直接寫出經過第一次移動游戲后，甲乙兩人相距6個單位的概率．【答案】（1）圖表見解析，；（2）1【解析】【分析】（1）根據列表法，即可求出概率；（2）無論①、②、③哪種情況發(fā)生，甲、乙之間的距離都是6個單位，即可求出概率．【詳解】解：（1）根據題意：由上表可知，總共有4種等可能的結果，每種結果出現的可能性相同．其中甲猜對的結果有2種．∴．（2）根據題意，無論①、②、③哪種情況發(fā)生，甲、乙之間的距離都是6個單位，∴經過第一次移動游戲后，甲乙兩人相距6個單位的概率是1．【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的列出表格進行解題．8．（2020·河北邯鄲·模擬預測）在數軸上有M、N兩點，M點表示的數分別為m，N點表示的數是n（n＞m），則線段MN的長（點M到點N的距離）可表示為MN＝n﹣m，請用上面材料中的知識解答下面的問題：一個點從數軸上的原點O開始，先向左移動3cm到達A點，再向右移動2cm到達B點，然后向右移動4cm到達C點，用1cm表示1個單位長度．（1）請你在數軸上表示出A、B、C三點的位置，并直接寫出線段AC的長度．（2）若數軸上有一點D，且AD＝4cm，則點D表示的數是什么？（3）若將點A向右移動xcm，請用代數式表示移動后的點所表示的數．（4）若點P以從點A向原點O移動，同時點Q以與點P相同的速度從原點O向點C移動，試探索：PQ的長是否會發(fā)生改變？如果不變，請求出PQ的長．如果改變，請說明理由．【答案】（1）6cm；（2）點D表示的數為﹣7或1；（3）﹣3+x；（4）PQ的長為3cm【解析】【分析】（1）根據題意容易畫出圖形，因為C點表示的數大于A點表示的數，所以用C點代表的數減去A點代表的數即可求得AC的長度；（2）設D表示的數為a，根據絕對值的意義即可得出結果；（3）因為是向右移動，所以根據移動后的數等于A點表示的數+x即可得解；（4）因為速度相同，方向相同所以PQ的長度不變，根據兩點間的距離公式求出OA的長度即可得出結論．【詳解】解：（1）如圖所示：AC＝3-(﹣3)＝3+3＝6（cm）．故線段AC的長度為6cm；（2）設D表示的數為a，∵AD＝4，∴|﹣3﹣a|＝4，解得：a＝﹣7或1．∴點D表示的數為﹣7或1；（3）將點A向右移動xcm，則移動后的點表示的數為-3+x；（4）PQ的長不會發(fā)生改變，PQ的長＝0-(-3)＝3（cm）．故PQ的長為3cm．【點睛】本題考查數軸上兩點之間的距離，有理數的減法，絕對值方程.掌握數軸上兩點之間的距離求解方法是解決問題的關鍵．9．（2021·山東嶗山·二模）【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到原點的距離．那么可以看做這個數在數軸上對應的點到1的距離．就可以看作這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結合數軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，在1和2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．所以到1和2的距離之和最小值是1．【問題解決】（1）的幾何意義是______．請你結合數軸探究：的最小值是______．（2）請你結合圖④探究：的最小值是______，此時a為______．（3）的最小值為______．（4）的最小值為______．【拓展應用】如圖⑤，已知到－1，2的距離之和小于4，請寫出的范圍為______．【答案】（1）這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；拓展應用：【解析】【分析】（1）通過絕對值的幾何意義進行解題即可；（2）根據絕對值的幾何意義，當a取中間數2時，有最小值；（3）根據絕對值的幾何意義，當a在3和4之間時（包括在3和4上時），有最小值；（4）根據絕對值的幾何意義，當a取中間數時，原式有最小值，再通過求和公式進行求和即可得解；拓展應用：根據絕對值的幾何意義，由題意分別找出a的臨界值，從而即可求得a的取值范圍．【詳解】（1）∵表示這個數在數軸上對應的點到3的距離，表示這個數在數軸上對應的點到6的距離，∴的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；根據題意，當a在3和6之間時（包括在3和6上時），a到3和6的距離之和最小，最小距離為，則的最小值是3，故答案為：這個數在數軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3；（2）的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到1、2和3三個點的距離之和，∵在數軸上，2在1和3之間，∴當a取中間數時，的值最小，如下圖所示，當時，的最小值為，故答案為：2；2；（3）的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到1、2、3、4、5、6六個點的距離之和，∴當a取中間數時，原式有最小值，∴當a在3和4之間時（包括在3和4上時），a到六個數的距離之和最小，∴的最小值為，故答案為：9；（4）的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到1、2、3、4、5、6…2021這2021個點的距離之和，∴當a取中間數時，原式有最小值，∴的最小值為