基于相關(guān)性的隨機(jī)性公積金評(píng)估方法研究

保證金評(píng)估隨機(jī)性方法目前，國(guó)際數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐中，準(zhǔn)備評(píng)估的隨機(jī)性方法取得了很大進(jìn)展。隨機(jī)性方法為確定組合營(yíng)地的負(fù)荷估算的適應(yīng)性、最佳預(yù)備配置和范圍估算提供了重要的理論基礎(chǔ)。關(guān)于這方面的文獻(xiàn)可以參考Renshaw等,Taylor,Taylor等,England,England等,Schmidt。特別指出的是,Wüthrich等作為國(guó)際上第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法的專著,受到著名精算專家Bühlmann的高度評(píng)價(jià)。在我國(guó)保險(xiǎn)業(yè),一方面為了借鑒國(guó)外最新的精算技術(shù),另一方面為了在保險(xiǎn)業(yè)中實(shí)施新會(huì)計(jì)準(zhǔn)則,保監(jiān)會(huì)財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)部于2010年1月圍繞非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)合同準(zhǔn)備金計(jì)量方法舉辦了系列培訓(xùn),鼓勵(lì)保險(xiǎn)公司采用準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法。之后,我國(guó)部分保險(xiǎn)公司開始了準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性方法的探索研究,關(guān)于這方面的研究可以參考張連增,本書是國(guó)內(nèi)第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性模型與方法的專著,基本涵蓋了當(dāng)前國(guó)際精算研究中未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估隨機(jī)性模型與方法的各個(gè)分支。在國(guó)內(nèi)外的研究中,一般采用預(yù)測(cè)均方誤差(MeanSquaredErrorofPrediction,MSEP)描述準(zhǔn)備金估計(jì)的波動(dòng)性。MSEP包含參數(shù)估計(jì)誤差與過程方差兩部分,其中過程方差的處理相對(duì)簡(jiǎn)單,比較復(fù)雜的是參數(shù)估計(jì)誤差的處理。當(dāng)前,統(tǒng)計(jì)軟件的普及和計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展,為數(shù)值模擬準(zhǔn)備金負(fù)債的參數(shù)估計(jì)誤差提供了技術(shù)支持。一方面,在多數(shù)情況下,參數(shù)估計(jì)誤差的解析計(jì)算比較復(fù)雜,不如隨機(jī)模擬方法直接方便。另一方面,隨機(jī)模擬結(jié)果也可以作為驗(yàn)證解析計(jì)算的一種途徑。這里隨機(jī)模擬的核心技術(shù)是Bootstrap方法,它已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本工具之一。關(guān)于Bootstrap方法的參考書見Davison等。然而,MSEP只考慮了準(zhǔn)備金估計(jì)的一階矩和二階矩,對(duì)準(zhǔn)備金的波動(dòng)性度量還不是很充分,作為深入研究,張連增等針對(duì)通常使用的評(píng)估方法,在估計(jì)準(zhǔn)備金的MSEP的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步得到了準(zhǔn)備金完整的預(yù)測(cè)分布,這些研究為精算人員更合理地決策提供了透明性和可操作性。在各種準(zhǔn)備金評(píng)估方法中,準(zhǔn)備金進(jìn)展法同時(shí)考慮了已決賠款數(shù)據(jù)和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù),不但充分利用了保險(xiǎn)公司歷史數(shù)據(jù)中所包含的兩類賠款數(shù)據(jù)信息,而且有效避免了分別采用兩類賠款數(shù)據(jù)估計(jì)的最終損失(UL)之間的差異。鑒于此,本文提出了考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法,模擬了UL、未決賠款準(zhǔn)備金(CV)、已發(fā)生未報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金(IBNR)的預(yù)測(cè)分布,并通過精算實(shí)務(wù)中的數(shù)值實(shí)例,應(yīng)用R軟件加以實(shí)證分析。本文的研究對(duì)我國(guó)保險(xiǎn)公司在準(zhǔn)備金評(píng)估中引入隨機(jī)性方法,具有重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。準(zhǔn)備法的不足和改進(jìn)1、試驗(yàn)結(jié)果的轉(zhuǎn)換假設(shè)事故年和進(jìn)展年的年數(shù)都為n,以Pi,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)已決賠款,Xip,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的增量已決賠款,Ii,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)已報(bào)案賠款,XiI,j表示事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的增量已報(bào)案賠款,相應(yīng)地可定義不同的流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。另外,事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金記為RVi,j=Ii,j-Pi,j,也可類似定義流量三角形。準(zhǔn)備金進(jìn)展法的基本思想是考察已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的進(jìn)展情況。事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j在下一進(jìn)展年j+1一部分轉(zhuǎn)化為下一進(jìn)展年的增量已決賠款Xip,j+1,另一部分仍為下一進(jìn)展年已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j+1的一部分(1)。對(duì)于轉(zhuǎn)化為已決賠款的部分,用準(zhǔn)備金支付率(POi,j→j+1比率)表示,對(duì)于仍在已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的部分,用準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率(COi,j→j+1比率)表示。引入準(zhǔn)備金進(jìn)展率(CEDi,j→j+1比率),則有CEDi,j→j+1=COi,j→j+1+POi,j→j+1。然而,在準(zhǔn)備金進(jìn)展法中,對(duì)于所有事故年i,進(jìn)展年j都選定相同的支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率,不能體現(xiàn)不同事故年已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的進(jìn)展情況之間的差異。針對(duì)這一不足,可以利用累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性來調(diào)整各個(gè)進(jìn)展年的支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率。其基本思路是,對(duì)于給定的累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù),如果發(fā)現(xiàn)上三角的單個(gè)支付率POi,j→j+1、單個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)率COi,j→j+1與(P/I)i,j比率(2)(i≥1,j≥1,i+j≤n)之間存在某種關(guān)系(如線性關(guān)系),那么就要利用這種關(guān)系,對(duì)下三角的單個(gè)支付率、單個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)率進(jìn)行調(diào)整。具體來說,以吳小平中的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形數(shù)據(jù)為例,分別得到上三角數(shù)據(jù)中,支付率POi,j→j+1與(P/I)i,j比率、結(jié)轉(zhuǎn)率COi,j→j+1與(P/I)i,j比率的散點(diǎn)圖及相應(yīng)的線性趨勢(shì)線,如圖1和圖2所示。從圖1和圖2可以看出,精算師在使用準(zhǔn)備金進(jìn)展法評(píng)估時(shí),如果發(fā)現(xiàn)累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)存在一定的規(guī)律,使得支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率之間存在某種穩(wěn)定的線性關(guān)系,那么在預(yù)測(cè)下三角數(shù)據(jù)時(shí),可以有效利用這種相關(guān)性,進(jìn)而更合理地評(píng)估準(zhǔn)備金。2、模型設(shè)計(jì)及估計(jì)(1)利用給定的按事故年統(tǒng)計(jì)的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形得到已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的流量三角形。即:(2)將給定的按事故年統(tǒng)計(jì)的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形轉(zhuǎn)化為增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款流量三角形。即:(3)把事故年i在第j+1個(gè)進(jìn)展年的增量已決賠款除以事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金,得到準(zhǔn)備金支付率的流量三角形。即:(4)把事故年i在第j+1個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金除以事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金,得到準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率的流量三角形。即:(5)定義事故年i在第j個(gè)進(jìn)展年的(P/I)比率為:(6)分別建立POi,j→j+1與(P/I)i,j、COi,j→j+1與(P/I)i,j(i≥1,j≥1,i+j≤n)的一元線性回歸模型。利用通常的最小二乘估計(jì)(OLS)法估計(jì)模型的回歸參數(shù),得到:其中(7)對(duì)于事故年i,利用步驟6得到的模型參數(shù),先估計(jì)再按照準(zhǔn)備金進(jìn)展法的定義,逐步遞歸計(jì)算:這里,i≥2,j≥1,i+j≥n+1。最終可以得到UL、CV和IBNR的估計(jì)值:考慮到相關(guān)因素的隨機(jī)性準(zhǔn)備階段法1、計(jì)算已關(guān)合的增長(zhǎng)參數(shù)的確定的計(jì)算考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法雖然考慮了已決賠款數(shù)據(jù)和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,但它仍然是一種確定性方法,從而只能得到準(zhǔn)備金的均值估計(jì),而不能得到準(zhǔn)備金的波動(dòng)性度量。鑒于此,可結(jié)合兩類賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性給出合理的分布假設(shè),進(jìn)而模擬UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布。其具體步驟為:(1)將累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)Pi,j和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)Ii,j轉(zhuǎn)化為增量已決賠款數(shù)據(jù)XiP,j和增量已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)XiI,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。(2)構(gòu)造殘差。這里對(duì)上三角增量數(shù)據(jù)以列為研究對(duì)象,求每列數(shù)據(jù)的樣本均值XjP和XjI、樣本標(biāo)準(zhǔn)差sjP和sjI,對(duì)每列數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,得到構(gòu)造的殘差的流量三角形分別為:(3)對(duì)兩類殘差進(jìn)行調(diào)整(3),構(gòu)造調(diào)整后殘差的二元正態(tài)分布。其中,相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為:這里,有上撇的殘差表示調(diào)整后的殘差。(4)從構(gòu)造的二元正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù),得到兩類調(diào)整后殘差的流量三角形,其后按照式(13)進(jìn)行變換,得到擬合的兩類增量賠款流量三角形,進(jìn)而得到擬合的兩類累計(jì)賠款流量三角形。(5)按照前面介紹的考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法的主要步驟,得到UL、CV和IBNR的均值估計(jì)。(6)計(jì)算擬合賠款數(shù)據(jù)中,各進(jìn)展年支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差,其計(jì)算公式為:這里,上三角單個(gè)支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率由擬合數(shù)據(jù)流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n)計(jì)算,下三角單個(gè)支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率(i≥2,j≥1,i+j≥n+1)是從步驟5的估計(jì)中得到的。(7)現(xiàn)在,可以從均值為標(biāo)準(zhǔn)差為sPOj→j+1的正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù),得到模擬的單個(gè)支付率的下三角(i≥2,j≥1,i+j≥n+1),從均值為標(biāo)準(zhǔn)差為sCOj→j+1的正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù),得到模擬的單個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)率的下三角,進(jìn)而按照步驟5的做法,便可實(shí)現(xiàn)UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布的一次模擬。(8)重復(fù)步驟(4)-(7),即可以得到UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布,進(jìn)而可以由該分布得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等相關(guān)的分布特征。2、多次模擬的過程方差MSEP包括參數(shù)估計(jì)誤差和過程方差兩部分。在上述考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬預(yù)測(cè)分布的過程中,同時(shí)也可以得到UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差。其中,CV的參數(shù)估計(jì)誤差就是多次模擬的未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值的樣本方差。同時(shí),通過從下三角支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率的正態(tài)分布的假設(shè)中抽取隨機(jī)數(shù)的過程已經(jīng)體現(xiàn)了過程方差。但既然可以直接模擬出UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布,且預(yù)測(cè)分布作為完整的分布,包含了更充分的信息,使得過程方差的估計(jì)變得并不那么重要。3、基于多元正態(tài)分布的殘差調(diào)整(1)殘差的處理。A.對(duì)角線上端點(diǎn)數(shù)據(jù)的特殊處理由式(13)構(gòu)造殘差的定義,可以看出兩類增量數(shù)據(jù)中,第n個(gè)進(jìn)展年只有一個(gè)數(shù)據(jù),其均值就是它本身,標(biāo)準(zhǔn)差為0,無法計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差,這里假設(shè)殘差為0,進(jìn)而計(jì)算調(diào)整后的殘差。B.殘差的調(diào)整在進(jìn)行模擬時(shí),是對(duì)調(diào)整以后的殘差進(jìn)行再抽樣,而不是對(duì)Res(XiP,j)和Res(XiI,j)進(jìn)行再抽樣。這是因?yàn)?理論上標(biāo)準(zhǔn)化后的這兩個(gè)殘差的均值應(yīng)為0,方差應(yīng)為1。但是,我們已經(jīng)證明,殘差的均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為此值小于1,因此需要對(duì)殘差進(jìn)行調(diào)整。這里通過對(duì)殘差乘以系數(shù)加以調(diào)整,這種調(diào)整使得在均值保持不變的情況下,方差變?yōu)?。所以,最終構(gòu)造的二元正態(tài)分布的邊際分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,協(xié)方差矩陣就是相關(guān)系數(shù)矩陣。(2)隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法涉及的相關(guān)性。本文考慮的相關(guān)性涉及以下兩個(gè)方面:A.支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率的相關(guān)性本文考慮了不同事故年的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金的進(jìn)展情況之間的差異,通過觀察分析單個(gè)支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率的散點(diǎn)圖,然后建立兩個(gè)一元線性回歸模型,來考慮它們之間存在的相關(guān)性。B.兩類增量賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性本文研究了已決賠款和已報(bào)案賠款兩類數(shù)據(jù)的相關(guān)性,在利用隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬預(yù)測(cè)分布的過程中,提出了利用二元正態(tài)分布來處理兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。從隨機(jī)模擬的角度看,這是一種基于特殊多元分布的參數(shù)Bootstrap再抽樣方式。另外,也可以直接通過采用成對(duì)殘差樣本數(shù)據(jù)的非參數(shù)Bootstrap再抽樣方式考慮這種相關(guān)性,即將這兩類調(diào)整后殘差流量三角形的對(duì)應(yīng)單元格數(shù)值綁定,組成有序數(shù)組,然后成對(duì)地抽取。(3)選擇二元正態(tài)分布的原因。在本文的研究中,之所以選擇二元正態(tài)分布,其原因是在多元分布的研究中,正態(tài)分布長(zhǎng)期處于主導(dǎo)地位,而且易于數(shù)學(xué)處理。例如,諸如Anderson、Johnson等關(guān)于多元分析的主要參考文獻(xiàn),都主要關(guān)注于多元正態(tài)分布以及從正態(tài)分布推導(dǎo)出的多元擴(kuò)展分布,即學(xué)生t分布和Fisher的F分布。多元正態(tài)分布之所以如此吸引人,其原因主要包括:一是多元正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布;二是兩變量的正態(tài)分布可以通過邊際分布和附加參數(shù)———相關(guān)系數(shù)來完整描述。在實(shí)證分析和研究結(jié)論1、情感因數(shù)數(shù)據(jù)在發(fā)生業(yè)務(wù)方面的應(yīng)用本文實(shí)證分析中的累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)和累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)來源于《保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金評(píng)估實(shí)務(wù)指南》,如表1和表2所示。這些數(shù)據(jù)在準(zhǔn)備金評(píng)估的相關(guān)文獻(xiàn)中被經(jīng)常引用。此處引用這里的數(shù)據(jù)也是為了更好地與以往研究的結(jié)果進(jìn)行比較。2、考慮相關(guān)性的金融結(jié)構(gòu)估計(jì)結(jié)果的模擬結(jié)果下面以數(shù)值實(shí)例加以實(shí)證分析,按照本文第二、三部分的思路,詳細(xì)給出了由準(zhǔn)備金進(jìn)展法、考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法的估計(jì)結(jié)果;以及兩種不同抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法得到的參數(shù)估計(jì)誤差、模擬的預(yù)測(cè)分布及相關(guān)的分布特征,這里采用R軟件對(duì)其進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)。(1)準(zhǔn)備金進(jìn)展法的估計(jì)結(jié)果為了便于比較,表3給出了準(zhǔn)備金進(jìn)展法中各進(jìn)展年的準(zhǔn)備金支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率和進(jìn)展率的最終選定值(4)?；谶@些選定值,表4給出了準(zhǔn)備金進(jìn)展法得到的UL、CV和IBNR的估計(jì)值,其中CV等于UL減去評(píng)估日的累計(jì)已決賠款P,IBNR等于CV減去RV。(2)考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法的估計(jì)結(jié)果按照第二部分給出的考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法,得到的一元線性回歸模型的回歸參數(shù)的估計(jì)值(5)分別為:進(jìn)而按照步驟7進(jìn)行遞歸計(jì)算,得到下三角中各進(jìn)展年的單個(gè)支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率,如表5和表6所示。這里,為了更能體現(xiàn)出不同事故年進(jìn)展情況的差異,表5和表6也給出了上三角中各進(jìn)展年的單個(gè)支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率的計(jì)算結(jié)果。其中,表5的上三角的單個(gè)支付率是按照式(4)計(jì)算的,表6的上三角的單個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)率是按照式(5)計(jì)算的。在此基礎(chǔ)上,表7給出了考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進(jìn)展法估計(jì)的UL、CV和IBNR,其中CV等于UL減去評(píng)估日的累計(jì)已決賠款P,IBNR等于CV減去RV。(3)考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法的估計(jì)結(jié)果按照第三部分給出的考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法,下面給出兩種不同抽樣方式下估計(jì)的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差,以及模擬UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布的主要過程。A.表8和表9分別給出了調(diào)整后的兩類殘差的流量三角形,其中調(diào)整系數(shù)為B.表10和表11分別給出了基于二元正態(tài)分布隨機(jī)抽取的調(diào)整后的殘差樣本。其中,Res′(XiP,j)~N(0,1),Res′(XiI,j)~N(0,1),ρ=0.6687。表12和表13分別給出了基于成對(duì)抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法隨機(jī)抽取的調(diào)整后的殘差樣本。從表12和表13不難看出,這兩類調(diào)整后殘差樣本是成對(duì)抽取的。C.表14和表15分別給出了基于二元正態(tài)分布、成對(duì)抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法兩種抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法估計(jì)的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差的平方根。為了便于與以往研究的結(jié)果進(jìn)行比較,表15中也給出了基于過度分散泊松分布的模型假設(shè)下,隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法估計(jì)的CV的參數(shù)估計(jì)誤差的平方根。3、考慮相關(guān)性的隨機(jī)性金融資本估計(jì)的誤差從上面的數(shù)值實(shí)例可以得出以下結(jié)論:(1)估計(jì)結(jié)果的一致性。從表14和表15可以看出,在兩種不同的抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法估計(jì)的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差都很接近,從一定程度上體現(xiàn)了參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法具有一致性。(2)從整體趨勢(shì)上講,表14和表15中兩種抽樣方式估計(jì)的參數(shù)估計(jì)誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講,從第2事故年到第7事故年,賠款樣本數(shù)據(jù)依次減少,相應(yīng)的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差依次增大,該結(jié)論是很直觀的,因?yàn)楫?dāng)已知信息越少時(shí),估計(jì)的誤差就越大,精度也就越低。(3)從表15可以看出,對(duì)于單個(gè)事故年i,在考慮相關(guān)性情況下,兩種抽樣方式得到的CV的參數(shù)估計(jì)誤差都大于未考慮相關(guān)性的基于過度分散的泊松分布的結(jié)果;而考慮所有事故年的結(jié)果則小于后者。這說明,隨著事故年數(shù)的增多,考慮相關(guān)性的加總結(jié)果的波動(dòng)更小一些。(4)從表14和表15可以看出,對(duì)每一種抽樣方式來說,UL、CV和IBNR的參數(shù)估計(jì)誤差并不相同。這是因?yàn)?本文的兩種抽樣方式都是對(duì)兩類增量賠款數(shù)據(jù)的調(diào)整后殘差進(jìn)行再抽樣,每次擬合的上三角已決賠款和已報(bào)案賠款流量三角形都不同,使得每次得到的UL、CV和IBNR的均值估計(jì)并非相差同一常數(shù),故相應(yīng)的單個(gè)事故年i和所有事故年的參數(shù)估計(jì)誤差并不相同。(5)從圖3、圖4和圖5可以看出,對(duì)每一種抽樣方式來說,考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬的預(yù)測(cè)分布的圖形形狀都存在差異,而并非簡(jiǎn)單的將UL的預(yù)測(cè)分布依次向左平移得到CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布。其原因也是因?yàn)槊看螖M合的上三角已決賠款和已報(bào)案賠款流量三角形都不同。與模擬中保持評(píng)估日的累計(jì)已決賠款P和RV不變的假設(shè)相比,本文的處理更能體現(xiàn)出擬合的已決賠款和已報(bào)案賠款流量三角形同時(shí)變化的特征,更具有一般性。(6)從表16和表17可以看出,兩種抽樣方式得到的UL、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)、各個(gè)分位數(shù)等都很接近,也驗(yàn)證了參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法在模擬預(yù)測(cè)分布中的一致性。(7)表16和表17中UL、CV和IBNR的變異系數(shù)依次增大,這是因?yàn)閁L、CV和IBNR的預(yù)測(cè)分布的均值減小的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度。其中,IBNR的變異系數(shù)超過了1,更能說明IBNR的波動(dòng)性很大,這與實(shí)務(wù)中精算人員認(rèn)為IBNR很難準(zhǔn)確評(píng)估的結(jié)論不謀而合。基于copula函數(shù)構(gòu)造的二元分布模型。在理論的理論方面也有借鑒本文的創(chuàng)新之處和方法建議可以概括為:第一,本文創(chuàng)新性地研究了在準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性方法中,考慮已決賠款和已報(bào)案賠款兩類數(shù)據(jù)相關(guān)性的處理方法。具體地講,在利用隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布的過程中,提出了兩種處理相關(guān)性的方法,一是利用二元正態(tài)分布考慮兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性,這也可以看作是基于特殊多元分布的參數(shù)Bootstrap再抽樣方式;二是通過成對(duì)數(shù)據(jù)的非參數(shù)Bootstrap再抽樣方式考慮相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上,通過數(shù)值實(shí)例對(duì)兩種抽樣方式的結(jié)果進(jìn)行了比較分析,并應(yīng)用R軟件對(duì)兩種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法進(jìn)行了完整的編程實(shí)現(xiàn)。最后指出,由于二元正態(tài)分布對(duì)應(yīng)于一種特殊的Copula函數(shù),故在實(shí)務(wù)中,精算人員也可以通過對(duì)兩類賠款數(shù)據(jù)的殘差進(jìn)行分析,選取合適的Copula函數(shù)來構(gòu)造二元分布。第二,基于Copula函數(shù)構(gòu)造的多元分布作為一種度量變量間相依結(jié)構(gòu)的方法,已逐漸被引入到精算學(xué)的理論研究中。在財(cái)險(xiǎn)公司的索賠數(shù)據(jù)中,損失數(shù)據(jù)往往不服從正態(tài)分布,而且損失和費(fèi)用之間也不滿足獨(dú)立性假設(shè),這可以通過基于Copula函數(shù)構(gòu)造的二元分布來描述這種相關(guān)性,如假設(shè)費(fèi)用服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,索賠損失服從帕累托等厚尾分布。需要指出的是,Co