復雜網絡基礎理論網絡科學理論發展的三個時期規則網絡理論階段隨機網絡理論階段復雜網絡理論階段復雜網絡的觀點復雜網絡的特性復雜網絡的觀點和特性1.系統和網絡2.復雜性3.復雜系統4.復雜網絡復雜網絡的觀點復雜性小世界特性無標度特性超家族特性復雜網絡的特性IP地址網朋友關系網概率論基礎數理統計基礎統計假定及查驗一元線性回歸解析數理統計基礎圖的基本觀點圖的路和連通性圖的基本運算樹與生成樹圖的矩陣表示圖論的基本觀點復雜網絡的研究內容和意義研究的主要內容包括：網絡的幾何性質，網絡的形成體制，網絡演化的統計規律，網絡上的模型性質，網絡的結構穩定性，網絡的演化動力學體制等。主要研究工作包括以下幾個方面：1.網絡的結構和性質2.網絡宏觀性質的微觀生成體制（網絡建模）3.網絡上的動力學行為和網絡本身的動力學行為4.復雜網絡的應用5.復雜網絡領域的挑戰性問題復雜網絡的研究意義以復雜網絡的形式來研究復雜系統，能夠加深人們對復雜系統結構上的深入認識。利用復雜網絡的研究成就，也能夠更為深刻的認識自然界和社會上的復雜性，對于我們認識自然界和社會上的各種現象和事件有著重要意義。復雜網絡的研究為我們提供了一種復雜性研究的新視角、新方法，并且提供了一種比較的視野，使得我們能夠對各種真切網絡進行比較、研究和綜合歸納。因此，復雜網絡研究不論在理論上仍是實際應用中都有著重要意義。第二章網絡拓撲結構與靜態特點靜態特點指給定網絡的微觀量的統計散布或宏觀統計平均值。在本章中我們將對網絡的各種靜態特點做一小結。由于有向網絡與加權網絡有其特有的特點量，我們將分開議論無向、有向與加權網絡。網絡的基本靜態幾何特點平均距離集聚系數度散布實際網絡的統計特點平均距離（特點路徑長度）L定義為所有節點對之間距離的平均值，它描述了網絡中節點間的平均分別程度，即網絡有多小，計算公式為對于無向簡單圖來說，dij＝dji且dii＝0，則上式可簡化為集聚系數對于無向網絡中節點Vi集聚系數定義為C=2Mi／［ki（ki－1）］對于有向網絡來說集聚系數為C=Mi／［ki（ki－1）］根據毗鄰矩陣求集聚系數公式為：度散布大多半實際網絡中的節點的度是知足一定的概率散布的。定義P（k）為網絡中度為k的節點在整個網絡中所占的比率。規則網絡：由于每個節點擁有相同的度，所以其度散布集中在一個單一尖峰上，是一種Delta散布。完全隨機網絡：度散布擁有Poisson散布的形式，每一條邊的出現概率是相等的，大多半節點的度是基真相同的。無標度網絡：擁有冪指數形式的度散布：P（k）∝k?γ。指數度散布網絡：P（k）∝e?k/к，式中к＞0為一常數。累積度散布若度散布為冪律散布，即P（k）∝k?γ，則相應的累積度散布函數吻合冪指數為γ－1的冪律散布若度散布為指數散布，即P（k）∝e?k/к，則相應的累積度散布函數吻合同指數的指數散布實際網絡的統計特點無向網絡的靜態特點聯合度散布聯合度散布定義為從無向網絡中隨機選擇一條邊，該邊的兩個節點的度值分別為k1和k2的概率，即度度有關性度－度有關性描述了網絡中度大的節點和度小的節點之間的關系。若度大的節點傾向于和度大的節點連結，則網絡是度－度正有關的；反之，若度大的節點傾向于和度小的節點連結，則網絡是度－度負有關的。集聚系數散布和聚－度有關性集聚系數散布集聚系數散布函數P（C）表示從網絡中任選一節點，其集聚系數值為C的概率式中，δ（x）為單位沖激函數。聚－度有關性局部集聚系數C（k）定義為度為k的節點的街坊之間存在的平均邊數＜Mnn（k）＞與這些街坊之間存在的最大可能的邊數的比值，即局部集聚系數C（k）與k的關系刻畫了網絡的聚－度有關性介數和核度介數分為節點介數和邊介數兩種，反應了節點或邊在整個網絡中的作用和影響力。節點的介數Bi定義為邊的介數Bij定義為介－度有關性能夠用B（k）～k表示，它定義為所有度為k的節點的介數平均值隨著k的變化關系。節點介數散布Pv（B）定義為網絡中節點介數為B的節點數占網絡節點總數的比率。邊介數散布Pe（B）定義為網絡中邊介數為B的邊數占網絡總邊數的比率。核度一個圖的k－核是指頻頻去掉度值小于k的節點及其連線后，所節余的子圖，該子圖的節點數就是該核的大小。節點核度的最大值叫做網絡的核度。節點的核度能夠說明節點在核中的深度，核度的最大值自然就對應著網絡結構中最中心的地點。度中心性度中心性分為節點度中心性和網絡度中心性。節點vi的度中心性CD（vi）定義為網絡G的度中心性CD定義為介數中心性介數中心性分為節點介數中心性和網絡介數中心性。節點vi的介數中心性CB（vi）定義為網絡G的介數中心性CB可簡化為網絡密度網絡密度指的是一個網絡中各節點之間聯絡的緊密程度。網絡G的網絡密度d（G）定義為連通公司（子圖）及其規模散布連通公司（子圖）就是指網絡G中的一個子圖，在這個子圖內，任意兩個節點之間都最少存在一條簡單路徑。把網絡的各連通分支中階數最大的一個稱為最大連通分支連通圖G的連通程度平時叫做連通度。點連通度定義為邊連通度定義為連通公司的規模散布反應了網絡G中的各種規模的連通分支的數目散布情況。實證研究表示，對于大量的無標度網絡，連通公司的規模也存在冪律散布。比如，科學家合作網的連通子圖規模散布。有向網絡的靜態特點入度散布和出度散布平均入度＜kin＞和平均出度＜kout＞為入度散布和出度散布分別記為Pin（k）和Pout（k），分別表示網絡中任意取出一個節點，其入度值和出度值恰好為k的概率。入（出）度散布與平均入（出）度之間擁有如下關系式累積入度散布和累積出度散布聯合度散布鑒于弧的方式：鑒于節點的方式平均距離和效率平均距離和效率由于有向網絡里的弧是帶有方向的，所以從節點vi到vj之間的距離dij和從節點vj到vi之間的距離dji是不同的。距離dij定義為從節點vi出發沿著同一方向到達節點vj所要經歷的弧的最少數目，而它的倒數1／dij稱為從節點vi到節點vj的效率，記為εij。有向連通簡單網絡的平均距離L因為效率能夠用來描述非連通網絡，所以能夠定義有向網絡的效率LC為介數節點的介數Bi定義為式中，Njl表示從節點vj到vl的最短路徑條數，Njl（i）表示從節點vj到vl的最短路徑經過節點vi的條數。邊的介數Bij定義為式中，Nlm表示從節點vl到vm的最短路徑條數，Nlm（eij）表示從節點vl到vm的最短路徑經過邊eij（方向相同）的條數。介數加權網絡的靜態特點點權節點vi的點權Si定義為對于無向加權網絡，點權Si還能夠用毗鄰矩陣元素表示為對于有向加權網絡能夠定義入權和出權單位權介數散布和漏斗效應介數是用來權衡經過網絡中某節點或某條邊的最短路徑的數目。在科學