專題3.28《圓》全章復習與鞏固（提高篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，是的直徑，點、在上，，，則（）A．70° B．60° C．50° D．40°2．如圖，直線AB是⊙O的切線，點C為切點，OD∥AB交⊙O于點D，點E在⊙O上，連接OC，EC，ED，則∠CED的度數為()A．30° B．35° C．40° D．45°3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，過B,C兩點的⊙O交AC于點D，交AB于點E，連接EO并延長交⊙O于點F.連接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,則AE2+BE2的值為（）A．8 B．12 C．16 D．204．如圖，⊙O的直徑AB=2，C是弧AB的中點，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，以E為圓心，AE為半徑作扇形EAB，π取3，則陰影部分的面積為（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．5．如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，點D對應54°，則∠BCD的度數為（）A．54° B．27° C．63° D．36°6．如圖，在中，，在邊上取點為圓心畫圓，使經過兩點，下列結論：①；②；③以圓心，為半徑的圓與相切；④延長交于點，則是的三等分點．其中正確結論的序號是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④7．如圖，在菱形ABCD中，以AB為直徑畫弧分別交BC于點F，交對角線AC于點E，若AB=4，F為BC的中點，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．8．一副學生三角板放在一個圈里恰好如圖所示，頂點在圓圈外，其他幾個頂點都在圓圈上，圓圈和交于點，已知，則這個圓圈上的弦長是（）A． B． C． D．9．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為()A．3 B．1+ C．1+3 D．1+10．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，過E作弦GF⊥BC交圓與G、F兩點，連接CF、BG．則下列結論：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．則其中正確的是（）A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④11．如圖，CD是⊙O的直徑，AB，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=16，CD=20，EF=12，則圖中陰影部分的面積是（）A．96+25π B．88+50π C．50π D．25π12．如圖，已知：點A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列結論：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正確的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題13．的圓心是原點，半徑為5，點在上，如果點在第一象限內，那么______.14．是的直徑，，在上且分布在兩側，是直徑所對弧的一個三等分點，則__________．15．如圖，在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ，當點P在BC上移動時，則PQ長的最大值為__________．16．如圖，在中，，，，將繞O順時針旋轉后得，將線段繞點逆時針旋轉后得線段，分別以，為圓心，、長為半徑畫弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是________．17．如圖，四邊形是菱形，經過點、、與相交于點，連接、，若，則的度數為__________．18．同一個圓中內接正三角形、內接正四邊形、內接正六邊形的邊長之比為___________.19．如圖，在平面直角坐標系中，直線l的函數表達式為y＝x，點O1的坐標為（1，0），以O1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點P1，交x軸正半軸于點O2，以O2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點P2，交x軸正半軸于點O3，以O3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點P3，交x軸正半軸于點O4；…按此做法進行下去，其中的長為_____．20．如圖，的半徑為5，、是圓上任意兩點，且，以為邊作正方形（點，在直線兩側）．若正方形繞點旋轉一周，則邊掃過的面積為__________21．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，P是AB上一點，連接PC，以PC為直徑作⊙M交BC于D，連接PD，作DE⊥AC于點E，交PC于點G，已知PD＝PG，則BD＝_____.22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半徑為1，點P是斜邊AB上的點，過點P作⊙C的一條切線PQ（點Q是切點），則線段PQ的最小值為_____．23．已知的半徑是，直線與相交于、兩點．是上的一個動點，若，則面積的最大值是________．24．如圖等邊，以為直徑的交于點，交于，于，下列結論正確的是：________．①是中點；②；③是的切線；④．三、解答題25．如圖，D是△ABC外接圓上的點，且B，D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，FB的延長線交于點P，且PC=PB．（1）求證：∠BAD=∠PCB；（2）求證：BG∥CD；（3）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠COD=23°，求∠P的度數．已知：如圖（1），在⊙O中，直徑，直線相交于點．（1）的度數為___________；（2）如圖（2），與交于點，請補全圖形并求的度數；（3）如圖（3），弦與弦不相交，求的度數．如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，點O是∠BAC的平分線上一點⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N（1）求證：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=，求DM的長如圖，已知拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經過點，直線與拋物線交于兩點，以為直徑作圓，圓心為點，圓與直線交于對稱軸右側的點，直線上每一點的縱坐標都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓與軸相切；（3）過點作，垂足為，再過點作，垂足為求的值．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：（1）矩形奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求奇妙四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．30．已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．（1）點O到弦AB的距離為；．（2）若點P為優弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關系；②若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；③若線段BA′與優弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍．參考答案1．D【分析】根據鄰補角的定義可求得∠AOC的度數，再根據平行線的性質及三角形內角和定理即可求得∠AOD的度數．【詳解】∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，

∴∠AOC=70°，

∵AD∥OC，OD=OA，

∴∠D=∠A=70°，

∴∠AOD=180°-2∠A=40°，

故選：D．【點撥】本題考查了圓的有關性質，平行線性質及三角形內角和定理的運用．正確的識別圖形是解題的關鍵．2．D【詳解】分析：由切線的性質知∠OCB=90°，再根據平行線的性質得∠COD=90°，最后由圓周角定理可得答案．詳解：∵直線AB是⊙O的切線，C為切點，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故選D．點撥：本題主要考查切線的性質，解題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑及圓周角定理．3．C【分析】根據圓內接四邊形的性質及鄰補角的定義可得∠ADE=∠ABC=45°，再證得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根據直徑所對的圓周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；連接BD，可證得BD為為⊙O的直徑，在Rt△BDE中根據勾股定理可得,由此即可得結論.【詳解】∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC=180°-135°=45°；∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD，∠AED=90°；∵EF為⊙O的直徑，∴∠FCE=90°，∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，∴EF=4；連接BD，∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴BD為⊙O的直徑，∴BD=4；在Rt△BDE中，,∴AE2+BE2=16.故選C.【點撥】本題考查了圓周角定理及其推論、圓內接四邊形的性質及勾股定理等知識點，會綜合運用所學的知識點解決問題是解題的關鍵.4．A【詳解】∵O的直徑AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中點，∴，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°?(∠BAC+∠CBA)=135°，連接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO為Rt△ABC內切圓半徑，∴S△ABC=(AB+AC+BC)?EO=AC?BC，∴EO=?1，∴AE2=AO2+EO2=12+(?1)2=4?2，∴扇形EAB的面積==，△ABE的面積=AB?EO=?1，∴弓形AB的面積=扇形EAB的面積?△ABE的面積=，∴陰影部分的面積=O的面積?弓形AB的面積=?()=?4，故選：A.5．C【詳解】∵一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，∴點A.B.C.

D都在以AB為直徑的圓上，∵點D對應54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=∠AOD=27°，∴∠BCD=90°?∠ACD=63°.故選C.6．D【分析】①連接OB，△OAB是等腰三角形，則兩底角相等為30°，在Rt△ABC中可求得∠ABC的度數，做差得∠OBC，再利用30°的三角函數值得到線段間的關系；②在Rt△OBC中，OB是斜邊＞直角邊BC的長度，而OA＝OB，可判斷；③過點O作OE⊥AB于點E，利用角平分線的性質定理，得到OC＝OE來判斷；④延長BC，交于點D，連接AD，可得到DC＝BC，加上∠C為90°，可推斷△ABD為等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判斷△ABD是等邊△，即可得出.【詳解】①如圖，連接，則．，，．，故①正確；②在中，，，故②錯誤；③如圖，過點作于點，，，∴以圓心，為半徑的圓與相切，故③正確；④如圖，延長，交于點，連接．．，，是等邊三角形．，是的三等分點，故④正確；故正確的有①③④．【點撥】本題綜合性較強，考查了特殊角的三角函數值、角平分線的性質定理、等腰三角形、等邊三角形的判定和性質，需要熟練掌握靈活應用性質及判定.7．D【分析】取AB的中點O，連接AF，OF，先證明△ABC是等邊三角形，再把問題轉化為S陰=S扇形OBF，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點O，連接AF，OF．∵AB是直徑，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵CF=BF，∴AC=AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AE=EC，易證△CEF≌△BOF，∴S陰=S扇形OBF==，故選D．【點撥】考查扇形的面積，菱形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題.8．C【分析】作于點E，連接BE，在中求出EF的長，在中求出CF的長，即可求出CE的長.【詳解】解：如圖，作于點E，連接BE，∵是等腰直角三角形，，∴，，，∴，AB是直徑，∴，∵是含的三角板，∴，∴，，，∴在中，，，∴，在中，，，∴CF=4，∴=.故選C.【點撥】本題考查了圓周角定理及勾股定理，能夠把求CE長度問題轉化直角三角形中的計算問題是解題的關鍵.9．D【分析】如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．首先證明點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.【詳解】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，∴OH=OC=1，CH=，在Rt△CKH中，CK==，∴CQ的最大值為1+，故選D．【點撥】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，學會構造輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．10．A【分析】連接BD、OC、AG、AC，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，從而有弧AC=弧AD，由垂徑定理的推論即可判斷①的正誤；由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，結合∠P=∠DCO、等邊對等角的知識等量代換可得到∠PCO=90°，據此可判斷②的正誤；假設OD∥GF成立，則可得到∠ABC=30°，判斷由已知條件能否得到∠ABC的度數即可判斷③的正誤；求出CF=AG，根據垂徑定理和三角形中位線的知識可得到CQ=OZ，通過證明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，結合垂徑定理即可判斷④.【詳解】連接BD、OC、AG，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直徑，∴CD⊥AB，∴①正確；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切線，∴②正確；假設OD∥GF，則∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知沒有給出∠B=30°，∴③錯誤；∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正確．故選A．【點撥】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理及其推論，切線的判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質.解答本題的關鍵是熟練掌握圓的有關知識點.11．C【分析】延長BO交⊙O于G，則BG是⊙O的直徑，連接AG，根據圓周角定理得到∠GAB=90，根據勾股定理得到AG=12，求得AG=EF，推出S扇形AOG=S扇形EOF，根據已知條件可知S扇形EOF=S陰影DEF，于是得到陰影部分面積是⊙O面積的一半.【詳解】解：延長BO交⊙O于G，則BG是⊙O的直徑，連接AG、OE、OF，∴∠GAB=90o，∵AB=16，BG=CD=20，∴AG=，∴AG=EF，∴，∴S扇形AOG=S扇形EOF，∵CD∥EF，∴S△OEF=S△DEF，∴S扇形EOF=S陰影DEF，∴S扇形AOG=S陰影DEF，∴S陰影=S⊙O==50.故選C.【點撥】本題考查了扇形的面積計算，將不規則圖形面積轉化為扇形的面積是解決本題的關鍵.12．C【分析】根據圓內接四邊形的性質、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關系逐個判斷即可．【詳解】解：∵AB=CD，∴，∴，∴∠AOC=∠BOD，故①正確；∵圓周角∠BAD和圓心角∠BOD都對著，∴∠BOD=2∠BAD，故②正確；∵，∴AC=BD，故③正確；∵圓周角∠CAB和∠BDC都對著，∴∠CAB=∠BDC，故④正確；延長DO交⊙O于M，連接AM，∵D、C、A、M四點共圓，∴∠CDO+∠CAM=180°（圓內接四邊形對角互補），∵∠CAM＞∠CAO，∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤錯誤；即正確的個數是4個，故選C．【點撥】本題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．13．4【分析】如圖,可得OA=5，OB=3，運用勾股定理可以求得AB的長，即為a的值.【詳解】解：如圖由題意得：OA=5，OB=3，由勾股定理可得：AB=即a=4【點撥】本題考查了圓的性質和勾股定理，其中根據題意畫出圖形確定相應線段的長是解答本題的關鍵.14．或【分析】此題分兩種情況進行計算，點C有兩種位置，分別根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半進行計算即可．【詳解】如圖所示：連接CO，∵C是直徑AB所對弧的一個三等分點，∴∠COB=120°，∴∠BDC=60°，連接C1O，∵C1是直徑AB所對弧的一個三等分點，∴∠C1OB=60°，∴∠BDC1=30°，故答案為或.【點撥】此題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，解題關鍵在于畫出圖形.15．【解析】如圖3，連接OQ，∵在⊙O中，直徑AB＝6，OP⊥PQ，∴OQ=OB=3，∠OPQ=90°，∴PQ=，∴當OP最短時，PQ就最長.∵點O是定點，點P是線段BC上的動點，∴如圖4，當OP⊥BC于點P時，OP最短，此時，點Q與點C重合，∵OP⊥BC，∠ABC=30°，∴OP=OB=，∴此時，PQ=.即PQ的最長值為：.點撥：本題的解題要點是：連接OQ并在Rt△POQ中由勾股定理得到：PQ=，由此可知當OP最短時，PQ最長；從而可知，當OP⊥BC，點Q與點C重合時，PQ最長，結合已知條件即可求得PQ的最大值.16．【詳解】如解圖，過點D作于點H，∵，，，∴，由旋轉的性質可知，，，，∴，，∴．【點撥】17．【分析】根據菱形的性質得到∠ACB＝∠DCB＝（180°?∠D）＝51°，根據圓內接四邊形的性質得到∠AEB＝∠D＝78°，由三角形的外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝78°，

∴∠ACB＝∠DCB＝（180°?∠D）＝51°，

∵四邊形AECD是圓內接四邊形，

∴∠AEB＝∠D＝78°，

∴∠EAC＝∠AEB?∠ACE＝27°，

故答案為：27°．【點撥】本題考查了菱形的性質，三角形的外角的性質，圓內接四邊形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．18．【分析】首先根據題意畫出圖形，設出圓的半徑，分別求出圓中內接正三角形、內接正四邊形、內接正六邊形的邊長，即可得出答案.【詳解】設圓的半徑為r，如圖①，過點O作于點C則如圖②，如圖③，為等邊三角形∴同一個圓中內接正三角形、內接正四邊形、內接正六邊形的邊長之比為故答案為【點撥】本題主要考查圓的半徑與內接正三角形，正方形和正六邊形的邊長之間的關系，能夠畫出圖形是解題的關鍵.19．22015π【分析】連接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x軸，可知為圓的周長，再找出圓半徑的規律即可解題．【詳解】解：連接P1O1，P2O2，P3O3…，∵P1是⊙O1上的點，∴P1O1＝OO1，∵直線l解析式為y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，同理，PnOn垂直于x軸，∴為圓的周長，∵以O1為圓心，O1O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O2，以O2為圓心，O2O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點O3，以此類推，∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…，∴OOn＝，∴，∴，故答案為：22015π．【點撥】本題考查了圖形類規律探索、一次函數的性質、等腰直角三角形的性質以及弧長的計算，本題中準確找到圓半徑的規律是解題的關鍵．20．【分析】連接，過點作與點，交于點，則邊掃過的面積為以為外圓半徑、為內圓半徑的圓環面積，利用垂徑定理即可得出，進而可得出，再根據圓環的面積公式結合勾股定理即可得出邊掃過的面積．【詳解】解：連接，過點作與點，交于點，則邊掃過的面積為以為外圓半徑、為內圓半徑的圓環面積，如圖所示．，，．又為的弦，，，邊掃過的面積為．故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質以及圓環的面積公式，結合邊的旋轉，找出邊旋轉過程中掃過區域的形狀是關鍵．21．【解析】【分析】作AH⊥BC于H．首先證明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，設BD=a，則有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，推出PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，根據PD2+CD2=PC2，構建方程即可解決問題.【詳解】如圖，作AH⊥BC于H，∵AB=AC=2，AH⊥BC，∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH==4，∵PC是直徑，∴∠PDC=90°，∵DE⊥AC，∴∠CDP=∠CED=90°，∵PD=PG，∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，設BD=a，則有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，∴PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，∴4a2+（4-a）2=（）2，解得a=或4（舍棄），∴BD=．故答案為：．【點撥】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程方程解決問題，屬于中考常考題型．22．．【解析】【分析】當PC⊥AB時，線段PQ最短；連接CP、CQ，根據勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求出CP的長，然后由勾股定理即可求得答案．【詳解】連接CP、CQ；如圖所示：∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根據勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴當PC⊥AB時，線段PQ最短．∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=2，∴CP===，∴PQ==，∴PQ的最小值是．故答案為：．【點撥】本題考查了切線的性質以及勾股定理的運用；注意掌握輔助線的作法，注意當PC⊥AB時，線段PQ最短是關鍵．23．【分析】過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D點，連結OA、OB、DA、DB根據圓周角定理推出△OAB為等腰直角三角形，求得AB=OA=2，當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大，即M點運動到D點，問題得解．【詳解】過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D點，連結OA、OB、DA、DB如圖，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；即M點運動到D點，∴△AMB面積的最大值=×AB?DC=×2×（2+）=2+2，故答案為2+2．【點撥】本題考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理和圓周角定理的運用，正確的作出輔助線是解題的關鍵．24．①②③④【解析】【分析】連接AP．根據圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”的性質推知點P是線段BC的中點，同理證得點E是線段AC的中點；然后由三角形中位線定理，圓心角、弧、弦間的關系來證明；連接OP，由切線的判定證得OP⊥PF即可．【詳解】連接AP．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°（直徑所對的圓周角是直角），即AP⊥BC；

又∵AB=AC，

∴點P是線段BC的中點，

故①正確；

同理，點E是線段AC的中點，

∴AE=EC，

故④正確；

∵連接PE．

點P、E分別是線段BC、AC的中點，BC=AC=AB（等邊三角形的三條邊相等），

∴PE=AB（三角形中位線定理），BP=BC=AB，

∴BP=PE（等量代換），

∴，

故②正確；

連接OP．

∵點P是線段BC的中點，點O是線段AB的中點，

∴OP是△ABC的中位線，

∴OP∥AC；

又∵PF⊥AC，

∴PF⊥OP，

∵點P在⊙O上，

∴PF是⊙O的切線；

故③正確．

綜上所述，正確的結論有①②③④．故答案為①②③④．【點撥】此題考查的是切線的判定與性質、等邊三角形的性質及圓周角定理．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．25．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）97°【分析】（1）根據鄰補角定義和圓內接四邊形對角互補、等邊對等角即可證出結論.（2）根據等邊對等角得：∠PCB=∠PBC，由圓內接四邊形的性質得：∠BAD+∠BCD=180°，從而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根據平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC=∠AGB=90°，根據同位角相等可得結論；（3）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC=DH，根據特殊的三角函數值得：∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（）°=97°．【詳解】（1）證明：如圖1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四邊形ABCD內接于圓，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB；（2）證明：由（1）得∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直徑，∵∠ABC=90°，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四邊形BCDH是平行四邊形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，連接OD，∵∠COD=23°，OD=OC，∴∠OCD=（180°﹣23°）=（）°，∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（）°，∵PC=PB，∴∠P=180°﹣2×（）°=97°．【點撥】本題考查圓內接四邊形的性質，平行四邊形的判定，三角函數．綜合運用知識的能力是解答關鍵.26．（1）60°；（2）見解析，60°；（3）60°【分析】（1）連結OD，OC，BD，根據已知得到△DOC為等邊三角形，根據直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數；

（2）同理解答（2）（3）．【詳解】（1）如圖（1），連接．為等邊三角形，．為直徑，，．故答案為60°．（2）如圖（2），直線交于點，連接．為等邊三角形，．為直徑，，，，（3）如圖（3），連接．，為等邊三角形，，為直徑，，．【點撥】本題考查的是圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形，利用直徑所對的圓周角是直角進行解答．27．（1）見解析；（2）DM=1．【分析】(1)只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；(2)由切線長定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，在Rt△BDC中，根據，構建方程即可解決問題．【詳解】（1）證明：連接OM，ON，過O點做OE⊥AC，交AC于E，如圖所示，∵⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB∴OM=OE即：E為⊙O的切點；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設DM=DN=x，∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x∵CD=3+x在Rt?BCD中，由勾股定理得：即：解得：x=1或x=-1（舍去）即DM=1．【點撥】本題考查切線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會利用參數構建方程．28．（1）（2）見詳解（3）【分析】（1）可以利用二次函數頂點式求出解析式；

（2）根據拋物線與直線交于、兩點，直接將兩式聯立可以求出、坐標，從而確定點的縱坐標以及的長度，進一步可得出圓心到軸的距離等于半徑，即可得證最后結論；

（3）在（1）、（2）結論以及已知條件分別求出、的長，即可求得答案．【詳解】解：（1）設拋物線方程為∵拋物線的頂點坐標是∴∵拋物線經過點∴∴∴拋物線的解析式是：（2）∵直線與拋物線交于、兩點∴∴，∴，∵點是的中點∴點的縱坐標是∵∴的半徑∴圓心到軸的距離等于半徑∴與軸相切（3）過點作，垂足為，連接，如圖：∵由（2）可知，，∴∵∴∵∴故答案是：（1）（2）見詳解（3）【點撥】此題主