篇機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波2021/5/91第四章機(jī)械振動(dòng)2021/5/92教學(xué)基本要求

一

掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系.

二掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析.

三

掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義.2021/5/93

四理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍的特點(diǎn).

五

了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.2021/5/94本章重點(diǎn)相位概念的理解及掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本規(guī)律。同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。本章難點(diǎn)相位概念的理解。2021/5/95

任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動(dòng).

機(jī)械振動(dòng)物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動(dòng).

其運(yùn)動(dòng)形式有直線、平面和空間振動(dòng).

周期和非周期振動(dòng)

例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)等.引言2021/5/96

簡(jiǎn)諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng).諧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體.簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解2021/5/971彈簧振子§4-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征方程平衡位置2021/5/98令積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定2021/5/992單擺令轉(zhuǎn)動(dòng)正向時(shí)2021/5/910*3復(fù)擺(物理擺)令（點(diǎn)為質(zhì)心）轉(zhuǎn)動(dòng)正向動(dòng)力學(xué)判據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)2021/5/911圖圖圖取二諧振動(dòng)的速度和加速度2021/5/912簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和特征4）加速度與位移成正比而方向相反2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述彈簧振子單擺1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置復(fù)擺2021/5/9131振幅2周期、頻率彈簧振子周期

周期

頻率

圓頻率周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)注意圖三描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量(三要素)2021/5/9141）存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;3相位(位相,周相)曲線

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，和之間不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.2021/5/9151）存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;3相位(位相,周相)物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)月相:新月,娥眉月,上弦月,滿月,下弦月,殘?jiān)碌榷鹈荚律舷以孪孪以聺M月2021/5/9161）存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;2）相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無(wú)相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；3相位(位相,周相)3）初相位描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).相差為整數(shù)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同.（周期性）(取或)物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).2021/5/917四常數(shù)和的確定初始條件

對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.2021/5/918取已知

求討論2021/5/919例4-1

一輕彈簧,下掛質(zhì)量為10g的重物時(shí),伸長(zhǎng)4.9cm.用它和質(zhì)量80g小球構(gòu)成彈簧振子.將小球由平衡位置向下拉1.0cm后,給向上初速度v=5.0cm/s.求振動(dòng)周期及振動(dòng)表達(dá)式.解:取向下為x軸正向.振動(dòng)方程為x=0.0141cos(5t+π/4)(SI)2021/5/920例4-2

如圖所示，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體木塊浮于靜水中，浸入水中部分的高度為b。今用手將木塊壓下去，放手讓其開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。若忽略水對(duì)木塊的黏性阻力，并且水面開(kāi)闊，不因木塊運(yùn)動(dòng)而使水面高度變化，證明木塊作諧振動(dòng)。bXmg證明：以水面為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OXx2021/5/921解決簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程問(wèn)題的一般步驟:1)找到振動(dòng)平衡位置,此時(shí)合力為零,選平衡位置為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系2)設(shè)振子離開(kāi)原點(diǎn)x處,分析受力情況.3)應(yīng)用牛頓定律.4)根據(jù)初始條件確定A和

.5)寫出振動(dòng)表達(dá)式.另外一個(gè)方法:能量法2021/5/922線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

以彈簧振子為例（振幅的動(dòng)力學(xué)意義）§4-2諧振動(dòng)的能量2021/5/923簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量2021/5/924能量守恒簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程推導(dǎo)2021/5/925

例4-3

質(zhì)量為的物體，以振幅作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)的周期；（2）通過(guò)平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解（1）（2）（3）（4）2021/5/926

解：設(shè)棒長(zhǎng)為2R,質(zhì)量為m，在棒扭動(dòng)時(shí),其質(zhì)心沿上下運(yùn)動(dòng)。因扭動(dòng)角度很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭動(dòng)角度為時(shí),細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為q，

例4-4

一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端,用長(zhǎng)度都為l且不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來(lái),當(dāng)棒以微小角度繞中心軸扭動(dòng)時(shí)，求證其運(yùn)動(dòng)周期為：。思考:如何利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解?2021/5/927

例4-5

勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M

的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。

解：平衡時(shí)O

點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，彈簧固定端位移為零，位于M

一端位移為x。當(dāng)物體于x處時(shí),彈簧元ds的質(zhì)量,位移為速度為2021/5/928當(dāng)時(shí)§4-3諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法2021/5/929時(shí)

以

為原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).2021/5/930

以

為原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).2021/5/9312021/5/932

（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖2021/5/933討論

相位差：表示兩個(gè)相位之差.1）對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間.2021/5/934同步2）對(duì)于兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）為其它超前落后反相2021/5/9353)關(guān)于旋轉(zhuǎn)矢量法的理解:旋轉(zhuǎn)矢量本身并不做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),只是用其投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)表示諧振動(dòng),各物理量直觀.在旋轉(zhuǎn)矢量法中,相位表現(xiàn)為角度,處理方便,但不是角度.相位的物理含義在于可據(jù)以描述物體在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).2021/5/936

例4-6

如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；

（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)處時(shí)的速度；0.052021/5/937

（1）時(shí)，物體所處的位置和所受的力；處，向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）.試求

例4-7

一質(zhì)量為的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為，周期為，起始時(shí)刻物體在

（2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間.2021/5/938

例4-8

一質(zhì)點(diǎn)在X軸上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn),經(jīng)2s后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn),再經(jīng)過(guò)4s后第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn),A和B處的速率相同,且AB=12cm,求振動(dòng)方程.

法二:旋轉(zhuǎn)矢量法

法一:解析法2021/5/939一兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§4-4諧振動(dòng)的合成2021/5/9401）相位差

討論2021/5/9412）相位差2021/5/9423）一般情況2）相位差1）相位差相互加強(qiáng)相互削弱2021/5/943三兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

兩個(gè)同方向的諧振動(dòng),角頻率分別為和,且略大于,t時(shí)刻兩分振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量之間的夾角為:與時(shí)間有關(guān)2021/5/944

頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.2021/5/945單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅大小變化的次數(shù),稱為拍頻拍頻等于兩個(gè)分振動(dòng)的頻率之差2021/5/946角頻率振幅一阻尼振動(dòng)阻尼力固有角頻率阻尼系數(shù)阻力系數(shù)§4-5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振2021/5/947三種阻尼的比較阻尼振動(dòng)位移-時(shí)間曲線b）過(guò)阻尼

a）欠阻尼c）臨界阻尼2021/5/948驅(qū)動(dòng)力二受迫振動(dòng)(周期性外力持續(xù)作用)驅(qū)動(dòng)力的角頻率瞬態(tài)解穩(wěn)態(tài)解2021/5/949共振頻率大阻尼小阻尼共振頻率共振振幅阻尼三共振2021/5/950共振演示實(shí)驗(yàn)236145

共振頻率

共振振幅

共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用樂(lè)器、收音機(jī)……

單擺1作垂直于紙面的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺5將作相同周期的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其它單擺基本不動(dòng).2021/5/951

共振現(xiàn)象的危害1940年7月1日美國(guó)