專題12：圓錐曲線的統(tǒng)一定義<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線,其方程形式為二元二次方程,從幾何角度上看都是平面截圓錐面所得的截線,這就是這幾種曲線的統(tǒng)一性,而它們的統(tǒng)一性還體現(xiàn)在定義中.圓錐曲線的定義(包括橢圓、雙曲線的第一定義，橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一定義，是研究圓錐曲線有關(guān)問題的出發(fā)點和歸宿，它反映了圓錐曲線的本質(zhì)和屬性，因此若能靈活運用其定義，則能使許多問題得以順利解決。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：圓錐曲線的第一定義圓錐曲線的定義是：用一平面去截割一個圓錐面，得到的截交線就稱為圓錐曲線，阿波羅尼奧斯就是采用平面截割圓錐的方法進行研究的。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；繼續(xù)用余下的傾斜角度的平面截割，可得到雙曲線，利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面π的上方，一個位于平面的下方，并且與平面π及圓錐均相切）。結(jié)論1：利用橢圓第一定義可證明：FA+AE=BA+AC=定值。結(jié)論2：上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π',如果平面π與平面π'的交線為m，在圖中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是（小于（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數(shù)為離心率e）例1(2023·廣東省期末·多選)圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名?因為它可以從圓錐中截取獲得.我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角θ不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與θ和圓錐軸截面半頂角α有如下關(guān)系(θ,α∈(0,π2)):當(dāng)θ>α?xí)r，截口曲線為橢圓;當(dāng)θ=α?xí)r，截口曲線為拋物線;當(dāng)θ<α?xí)r，截口曲線為雙曲線.(如圖1)現(xiàn)有一定線段AB與平面β夾角為φ(如圖2)，B為斜足，β上一動點P滿足∠BAP=γ，設(shè)P點在β上的運動軌跡是Γ，則(

)

A.當(dāng)φ=π4，γ=π6時，Γ是橢圓 B.當(dāng)φ=π3，γ=π6時，Γ是雙曲線

C.當(dāng)φ=π4，γ=π【思路點撥】由∠BAP=γ知P在以A為頂點，母線與軸AB夾角為γ的圓錐側(cè)面上，又P點在平面β上，所以P點的軌跡是平面β與圓錐側(cè)面的交線，結(jié)合題意，對各選項分析即可．例2(2022·遼寧省期中)如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinal?dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E,F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E,F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知A1A2是橢圓的長軸，PA1垂直于桌面且與球相切，PA1=5【思路點撥】根據(jù)題意易知A1A2為橢圓的長軸，長為2a，F(xiàn)為橢圓的左焦點，A1F=a-c練1(2022·安徽省聯(lián)考)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯著作《圓錐曲線論》中采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支(把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時，則可得到雙曲線)。現(xiàn)有一個正方體ABCD-A1B1C1D1，點O為線段B1D1的中點，P是平面A1BD內(nèi)一動點，如圖所示，若直線OCA.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分【思路點撥】關(guān)鍵是能將立方體ABCD-A1B1C練2(2022·廣東省中山市模擬)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，F(xiàn)是線段EO的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為

，M，N是該曲線上的兩點且MN//CD，若MN經(jīng)過點F，則|MN|=

．【思路點撥】利用平面切割圓錐的方法，結(jié)合截面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到的是拋物線，即可得到答案；建立合適的平面直角坐標，求出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的標準方程，由題意可知，MN為拋物線的通徑，從而求解得到答案．題型二：題型二：圓錐曲線的第二定義平面內(nèi)到一個定點F與到一條定直線L（F不在L上）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡.當(dāng)0<e<1時，它表示橢圓；當(dāng)e>1時，它表示雙曲線；當(dāng)e=1時，它表示拋物線．（其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線是圓錐曲線的準線）.橢圓、雙曲線上的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑.（1）橢圓焦點在x軸上時，設(shè)F1、F則PF1=a+e（2）雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，Px0簡記為：絕對值內(nèi)看焦，左“＋”右“－”；去絕對值看支，左“－”右“＋”.即：若點P在雙曲線的左支上，則PF1=-(e若點P在雙曲線的右支上，則PF1=e例3(2022·江蘇省南京市模擬)已知橢圓C:x225+y216=1內(nèi)有一點A(2,1),F是橢圓C的左焦點，P在橢圓【思路點撥】3|PA|+5|PF|?=3(|PA|+53|PF|)，即求|PA|+53|PF|的最小值.橢圓C的離心率為e=ca=3例4(2022·江蘇省南京市模擬)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，過點F的直線l與拋物線交于P，Q兩點，直線l與拋物線的準線l1交于點M，若PM=2A．3 B．43 C．34 D【思路點撥】設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，練3(2022·江蘇省南京市模擬)若橢圓x24+y23=1內(nèi)有一點P(1,-1)，F(xiàn)是其右焦點，橢圓上一點M，使得|MP|+2|MF|值最小，則點A.(1,±32) B.(263【思路點撥】根據(jù)橢圓的標準方程得到a2、b2的值，再由c=a2-b2練4(2022·江蘇省鹽城市聯(lián)考)過點M(4,0)的直線l與拋物線E:y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點，且與E的準線交于點C，點A.52 B.174 C.10 【思路點撥】由題意，由三角形面積的關(guān)系可得|AC|=3|BC|，即AC=3BC，可得A，B的坐標的關(guān)系，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與A，題型三：題型三：圓錐曲線的的第三定義平面內(nèi)的動點到兩定點A1-a,0A2其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點.其中如果常數(shù)e2如果e2反之，若橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0例5(2022·湖北省黃石市模擬·多選)已知平面內(nèi)兩個定點A(-5,0)，B(5,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為常數(shù)λ(λ≠0)，設(shè)點M的軌跡為C.下列說法中正確的有(

)A.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點到兩點(-6,0)，(6,0)的距離之和為定值

B.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點到兩點(-6,0)，(6,0)的距離之差的絕對值為定值

C.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點到兩點(0,-6)，(0,6)的距離之和為定值

D.存在常數(shù)λ(λ≠0)，使C上所有的點到兩點(0,-6)，(0,6)的距離之差的絕對值為定值【思路點撥】設(shè)M坐標為x,yx≠±5,y≠0，則

yx+5·例6(2023·湖南省長沙市聯(lián)考·多選)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>b>0的左，右頂點分別為A1，A2，點P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點對稱的兩點(異于頂點)，直線PA1，PA.雙曲線C的漸近線方程為y=±34x B.雙曲線C的離心率為72

C.kPA【思路點撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷各選項即可．練5(2022·四川省樂山市模擬)橢圓C:x24+y23=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在C上且直線PA.[12,34] B.[【思路點撥】由橢圓C：x24+y23=1可知其左頂點A1(-2,0)，右頂點A練6(2023·浙江省聯(lián)考·多選)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，E(0,b)，A(m,n)為橢圓E上一點，m≠0，點B、A關(guān)于x軸對稱，直線EA，EB分別與A.|AE|的最大值為a2+b2

B.直線EA，EB的斜率乘積為定值

C.若y軸上存在點P，使得∠MPO=∠PNO，則P的坐標為(0,a)或(0,-a)

【思路點撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及應(yīng)用問題，利用橢圓的幾何性質(zhì)何斜率的定義求解.<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.在實際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2，用一個與圓柱底面所成角為45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到“直角彎管”.在制作“直角彎管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段(如圖3)的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象(如圖4).記該正弦型函數(shù)的最小正周期為T，截口橢圓的離心率為e.若圓柱的底面直徑為2，則(

)

A.T=2π，e=12 B.T=2π，e=22

C.T=4π，e=12.經(jīng)過橢圓x24+y23=1的右焦點F做直線l交橢圓于A，B兩點，若A.4.5 B.5.5 C.6 D.7.53.已知F是橢圓C：x29+y25=1的左焦點，P為C上一點，A.9 B.72 C.4 D.4.已知點P是雙曲線C：x28-y24=1上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線CA.[0,6]

B.(2,6]

C.(5.已知橢圓x22+y2=1，點M1，M2，…，M5為其長軸AB的6等分點，分別過這5點作斜率為k(k≠0)的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線6.已知P1，P2，P3，…，P10是拋物線x2=4y上不同的點，且