數(shù)學(xué)模型四角平分線構(gòu)圖模型模型1：構(gòu)造有公共斜邊的直角三角形【數(shù)學(xué)建模】角平分線＋一邊的垂線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))有公共斜邊的直角三角形．【模型應(yīng)用】1．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP的度數(shù)為__50°__．2．如圖，AD∥BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE＝2，則兩平行線AD與BC間的距離為__4__．3．如圖，在△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，則線段PD的長為__1__cm.模型2：構(gòu)造有頂角平分線的等腰三角形【數(shù)學(xué)建模】角平分線＋角平分線的垂線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))等腰三角形．【模型應(yīng)用】1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，若BD＝2，則AE＝__4__．2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，S△ABC＝10，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD交AD延長線于點(diǎn)E，連結(jié)CE，求△ACE的面積．【解析】延長BE和AC交于點(diǎn)F，易得△ABF是等腰直角三角形．∵AE⊥BF，∴BE＝EF.∴S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝eq\f(1,2)S△ABF－eq\f(1,2)S△BCF＝eq\f(1,2)(S△ABF－S△BCF)＝eq\f(1,2)S△ABC＝5.模型3：構(gòu)造以角平分線為對稱軸的圖形【數(shù)學(xué)建模】角平分線作對稱eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))以角平分線為對稱軸的軸對稱圖形．【模型應(yīng)用】1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E為BC邊中點(diǎn)，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，求AD的長．【解析】如圖，在線段AD上截取AF＝AB，DG＝DC，連結(jié)EF，EG.∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵AB＝AF，EA＝EA，∴△ABE≌△AFE(SAS)，同法可證，△DEG≌△DEC(SAS)，∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，∵BE＝CE，∴EF＝EG，∵∠AED＝120°，∠AEB＋∠CED＝180°－120°＝60°，∴∠AEF＋∠GED＝60°，∴∠FEG＝60°，∴△FEG是等邊三角形．∴FG＝GE＝EF＝eq\f(1,2)BC，∵AD＝AF＋FG＋GD，∴AD＝AB＋CD＋eq\f(1,2)BC＝2＋18＋6＝26.2．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD.(1)如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想：(2)如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【解析】(1)猜想：AB＝AC＋CD.如圖，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴∠AED＝∠ACB，ED＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CD，∵AB＝AE＋EB，∴AB＝AC＋CD.(2)猜想：AB＋AC＝CD.在BA的延長線上截取AE＝AC，連結(jié)ED.∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△EAD與△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠EAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△EAD≌△CAD.∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.∴∠FED＝∠ACB.又∠ACB＝2∠B，∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.模型4：構(gòu)造角平分線為底邊的等腰三角形【數(shù)學(xué)建模】角平分線＋平行線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))等腰三角形．【模型應(yīng)用】1.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E.若∠A＝54°，∠B＝48°，則∠CDE的大小為(C)A．44°B．40°C．39°D．38°2．在?ABCD中，AE平分∠BAD交邊BC于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交邊BC于點(diǎn)F，若AD＝11，EF＝5，求AB的長．【解析】①如圖①，在?ABCD中，∵BC∥AD，∴∠ADF＝∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于點(diǎn)F，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠CFD＝∠CDF，∴CF＝CD.同理可證AB＝BE.∴AB＝BE＝CF＝CD.∵EF＝5，BC＝AD＝11，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF，∴2AB－5＝11，∴AB＝8.②如圖②，在?ABCD中，同①可得AB＝BE＝CF＝CD，∵EF＝5，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF，∴2AB＋5＝11，∴AB＝3.3．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨堑钠椒志€CF相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DF∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.問：(1)圖中有幾個(gè)等腰三角形？請寫出來．(2)BD，CE，DE之間存在著什么關(guān)系？請給出證明．【解析】(1)題圖中有2個(gè)等腰三角形，即△BDF和△CEF.(2)BD＝DE＋CE，證明：∵DF＝BD，CE＝EF，∴DE＋CE＝DE＋EF＝DF＝BD.模型5：構(gòu)造三角形內(nèi)心【數(shù)學(xué)建模】角平分線＋角平分線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))三角形內(nèi)心．【模型應(yīng)用】1．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，M，N是AC上的點(diǎn)，且CM＝CB，AN＝AB，若∠ABC＝100°，則∠MON的度數(shù)為(C)A．60°