1.1菱形的性質與判定（練習題）-北師大版九年級上冊

選擇題

1.如圖團A8CO的對角線AC和8。相交于點0,下列說法正確的是（）

B.若4C=8。，則回ABC￡）是菱形

C.若0A=0￡>,則囿488是菱形

D.若AC_LBD,貝帕ABC。是菱形

2.如圖菱形ABC。中，ZBAD=120°,AC=4,則該菱形的周長為（）

C.8?D.8

3.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,已知A0=2,08=4,則菱形

C.16D.20

4.如圖所示，已知△ABC,AB=AC,將AABC沿邊BC翻轉，得到的△O3C與原△ABC

拼成四邊形ABOC,則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據是（）

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.四邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

5.如圖，菱形ABC。中，對角線AC,BO交于點。，點E在邊BC上，連接AE,OE.若

NCAE=/OBE,OE=2,CE=3,則邊A8的長為（）

6.若菱形的周長為100am有一條對角線為48cm,則菱形的面積為（）

A.336。^B.480cm2C.300cm2D.168c/n2

7.如圖，在菱形ABC。中，對角線AG3。分別為16和12,于點E,貝U

（）

D.￡

A廠EB

譚Bc10

A--y-D.8

8.如圖，SABCD對角線AC,BD交于點0,請添加一個條件：____使得團A8CD是菱形

（）

AK_____________--D

BC

A.AB=ACB.AC.LBDC.AB=CDD.AC=BD

9.如圖，菱形ABC。對角線AC、8。相交于點。，點E在4c上,CE=CD,AC=16,CD

=10,則OE的長為（）

;

A.2^/10B.472C.V38D.4M

10.己知菱形的面積為120cm2,一條對角線長為10cm,則這個菱形的周長為（）cm.

A.13B.24C.52D.60

二.填空題

11.菱形ABC。的周長為20,且有一個內角為120。，則它較短的對角線長為.

12.如圖，已知點A的坐標是(-2,1),點8的坐標是(-1,-1),菱形A8C。的對

角線交于坐標原點O,則點D的坐標是.

13.菱形ABCZ)的兩條對角線4c=8C〃3BD—6cm,那么菱形的邊長是cm.

14.當四邊形中一個內角a是另一個內角p的兩倍時，我們稱此四邊形為“特征四邊

形”.已知一個菱形是“特征四邊形”，這個菱形最短的對角線與最長的對角線長度之

比是.

15.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC。的頂點A在y軸上，頂點B,C的坐標分別為

(-6,0),(4,0),則點。的坐標是.

三.解答題

16.如圖.P是菱形A8C。的對角線AC上一點，PELAB于點E,PFLAO于點F.

(I)若NBA3=60°,PE=\,求AE的長；

(2)若N8AQ=90°,判斷四邊形AEPF的形狀，并說明理由.

17.如圖，在菱形ABCZ)中，對角線AC、相交于點0,過點。作對角線8。的垂線交

BA的延長線于點E.

(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)若AC=24,BO=10,求△AOE的周長.

18.如圖，在菱形ABC。中，點E、尸分別是邊C￡)、BC的中點，連接EF并延長與AB的

延長線相交于點G.

(1)求證：四邊形BCEG是平行四邊形；

(2)若菱形A8CD的邊長為13,對角線AC=24,求EG的長.

19.如圖，在四邊形A8CD中，AC與8。相交于點。.且AO=CO,點E在8。上，滿足

ZEAO=ZDCO.

(1)求證：△AOE絲△COD；

(2)若AB=BC,求證：四邊形AEC3是菱形.

20.在△A8C中，過A作A￡>〃BC,交/ACB的平分線于點Z),點E是8c上，連接。E,

交A8于點尸，NEFB=NCAB.

(1)如圖1,求證：四邊形4CED是菱形；

(2)如圖2,G是AO的中點，”是邊4c的中點，連接CG、EG、EH,若/ACB=90°,

BC=2AC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與△CE”全等的三角形

(不含△CEH本身).

圖1圖2

參考答案與試題解析

選擇題

1.【解答】解：A、?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OB=OD,故選項A不符合題意；

8、二?四邊形48CO是平行四邊形，AC=BD,

：.^\ABCD是矩形，故選項B不符合題意；

C、?；四邊形A8CD是平行四邊形，

.?.OA=OC=LC,OB=OD=LBD,

22

"：OA=OD,

：.AC=BD,

...團ABC。是矩形，故選項C不符合題意；

。、：四邊形ABCQ是平行四邊形，ACLBD,

二團ABC。是菱形，故選項。符合題意；

故選：D.

2.【解答】解：?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC=AD=CD,ZBAC=ZCAD=—ZBAD=60°,

2

」.△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=4=AD=CD,

菱形ABCD的周長=4X4=16,

故選：B.

3.【解答】解：；四邊形A8CD是菱形，

；.AC=2AO=4,80=208=8,

則菱形ABC。的面積=2.XACXB￡>=24X8=16

22

故選：C.

4.【解答】解：由AB=AC,將aABC沿BC邊翻折可得AB=BO=C￡>=AC,所以根據“四

邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形A8OC是菱形.

故選：B.

5.【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,0A=0C,A8=BC,

,//CAE=ZOBE,NACE=40CB,

二△—△8C0,

，NAEC=/BOC=90。，

BCOC

"：AO=OC,

，AC=2OE=4,

3

.47

BC2

.?.BC=西，

3

.?.AB=至，

3

故選：A.

6.【解答］解：如圖，設對角線AC、BD交于點O,

???四邊形A3CD是平行四邊形，周長為100cm,BD=^cm,

.\AB=25cm,OA=OC,OB=OD=2^cm,AC.LBD,

在Rt/VlOB中，由勾股定理得：OA=JAB2_0B2={252_242=7(cm),

.\AC=2OA—14cm,

菱形ABC。的面積=>^AU8￡>=工><14X48=336(cm2),

22

7.【解答］解：如圖，設AC與8。的交點為O,

；四邊形A8C。是菱形，

：.AO=CO=S,DO=BO=6,ACLBD,

A8=4A()2+BC)2=V64+36=10,

S^ABCD^—XACXBD^ABXDE,

2

.".Axi6X12=10XDE,

2

故選：A.

8.【解答】解：當ACL3O時，團ABCO是菱形，

故選：B.

9.【解答】解：???四邊形43co是菱形，

：.AO=CO,DO=BO,ACLBD,

VAC=16,CD=10,

???CO=8,

22

???OD=7DC-0C=V102-82=6，

VCE=CD=10,

???0E=CE-OC=10-8=2,

￡=22

0VOD-K)E=V62+22=2^lQ，

故選：A.

10.【解答】解：,?,菱形的一條對角線長為10c〃?，面積為120o戶,

???另一對角線長為120*2=24Gm),

根據勾股定理，菱形的邊長為｛122+52=131曲，則菱形的周長=13X4=52(5!).

故選：C.

填空題

11.【解答］解：如圖，在菱形ABCO中，ZBAD=120°,

則NB+NB4￡)=180°,

：.ZB=60°,

；菱形ABC。的周長為20,

：.AB=BC^CD=DA=5,

...△ABC為等邊三角形，

：.AC=AB=5,

故答案為：5.

C

12.【解答】解：???四邊形ABCZ)為菱形,

：.OB=OD,

又?.?點O為坐標原點，

二點B和點D關于原點對稱，

:點B的坐標為(-1,-1),

點坐標為(1,1),

故答案為：(1,1).

13.【解答】解：???四邊形A8CO是菱形，

：.AC±BD,BO=OD=—BD=—X6=3(cm),4O=OC=Lc=」X8=4(cm),

2222

???48=YAC)2+B02=5(cm)，

故答案為：5.

14.【解答】解：?.?菱形中一個內角a是另一個內角0的兩倍，

；?a=20,

,??菱形相鄰的內角互補，

???a+B=180°,

???20+0=180°,

???B=60°,

菱形最短的對角線與最長的對角線長度之比是1：V3.

故答案為：1：V3.

15.【解答］解：:?頂點8,C的坐標分別為(-6,0),(4,0),

.?.0B=6,0C=4,

：.BC=OB+OC=\Of

二菱形A3CO,

：.AB=AD=BC=WfAD//BC,

在RtaABO中，A0=VAB2-B02=A/100-36=8J

AA(0,8),

?:AD〃BC,40=10,

：.D(10,8).

故答案為：(10,8).

三.解答題

16.【解答】解：(1)??,四邊形A5CQ是菱形，

：.ZPAD=ZPAB=30°,

PELAE,

：.AP=2PE=29

/.AE=5/AP2-PE2=V4<=V3；

(2)四邊形AEP尸是正方形，

理由如下：

在△4PE和△△/￥1中，

，ZPAB=ZPAD

<ZAEP=ZAFP>

AP=AP

：.AAPE^/\APF(AAS),

；.PE=PF；

；/BAD=90°,PE1AB,PFLAD,

四邊形AEPF是矩形，

二四邊形4EPF是正方形.

17.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

C.AB//CD,ACLBD,

?：DELBD,

J.DE//AC,

四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)解：：四邊形ABCD是菱形，AC=24,80=10,

：.AO=—AC=\2,DO=—BD=5,AC.LBD,

22

AZAOD=90Q,

22=I3,

CD=AD=y/卜心+D02=yj12+5

由(1)得：四邊形ACDE是平行四邊形，

：.AE^CD=\3,DE=AC=24,

/\ADE的周長=AD+AE+DE=13+13+24=50.

18.【解答】(1)證明：如圖，???四邊形ABC。是菱形，

：.CD//AB,

點E、F分別是邊C。、8c的中點

.?.E/是△8CO的中位線,

J.EF//BD,

四邊形BDEG是平行四邊形；

(2)解：設AC與8。的交點為0,

?..四邊形ABC。是菱形，

.?.A0=l_AC,B0=—BD'NAOB=90°,

22

由勾股定理得，80={AB2_A02={132-122=5,

80=280=10,

V四邊形BDEG是平行四邊形，

：.EG=BD=\0.

19.【解答】(1)證明：在△40E和△C0。中，

，ZEAO=ZDCO

■ZDOC=ZEOA>

OA=OC

：./\AOE^/\COD(ASA)；

(2)證明