2022-2023學年江蘇省徐州市擷秀初級中學高三第二次診斷考試數學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1-z

l+3z3+，3—，—1+3/

--------B.------C.-------D.-----------

2.已知函數/(x)=2cosx-sin[x+(■卜機(〃?eR)的部分圖象如圖所示.則無0=()

3.已知復數z滿足z=i(l-i),(i為虛數單位)，則同=()

A.72B.6C.2D.3

4,若x+與一?互為共軌復數，則%+丁=()

1-Z

A.0B.3C.-1D.4

5.已知函數/(x)是定義在K上的奇函數，且滿足〃1+力=/(1一耳，當xe(O/]時，/(x)=—e'"(其中e是自

然對數的底數)，若/(2020—ln2)=8,則實數。的值為()

-11

A.-3B.3C.——D.-

33

6.已知集合4="|卜一1區3,》62},8=卜62|2"6/1},則集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

7.如圖，在矩形。鉆。中的曲線分別是y=sinx,y=co;式的一部分，A怎,0,C(0,l),在矩形。鉆C內隨機

取一點，若此點取自陰影部分的概率為4,取自非陰影部分的概率為4，則（）

A.Pt＜P2B.Pt＞P2C.P]=P2D.大小關系不能確定

22

8.已知點A（2底3而）在雙曲線器上，則該雙曲線的離心率為（）

A.眄B.叵C.V10D.2M

32

9.已知i是虛數單位，若9=i,則|z|=（）

1—2

A.y[2B.2C.y/3D.3

10.已知函數=＜：；：[],若不等式-4對任意的xeR恒成立，則實數A的取值范圍是（）

A.（-℃,!]B.[l,+oo）C.[0,1）D.（-1,0]

11.已知a,6是兩條不同的直線，a,/?是兩個不同的平面，且au〃，a/3=b,貝！|“a〃a”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.已知將函數/（x）=sin（ox+。）（0＜。＜6,一二＜8〈工）的圖象向右平移g個單位長度后得到函數g（x）的

223

圖象，若/（X）和g（X）的圖象都關于尤=T=T對稱，則下述四個結論：

①0=3②0=芳/閨=等④點七0]為函數/（X）的一個對稱中心

其中所有正確結論的編號是（）

A.①②③B.①③④C.①0?D.②③④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”.某校在周末學生業余興趣活動中開

展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數為.

14.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是二，則。=,該幾何體的表面積為.

3

15.如圖，半球內有一內接正四棱錐S-ABCD,該四棱錐的體積為逑，則該半球的體積為.

16.函數y=In（3'—2'）的定義域為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知｛%｝,仍“｝均為正項數列，其前“項和分別為S“，7“，且q=；,2=1,打=2,當2,〃eN*

時，S,i=l—2。“，2=2P_&）_2T…

（D求數列伍,J,｛a｝的通項公式;

（b+2）an

（2）設g=W+b,求數列｛qj的前〃項和門.

18.（12分）2019年入冬時節，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質，積極開展冰上體育鍛煉.現從

速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業的評估機構對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為

評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統計，請將下列2x2列聯表補充完整，并判斷能否在犯

錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系？

擅長不擅長合計

男性30

女性50

合計100

2

P(K>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bc)2

(K=----------------------,其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)3+d)

19.（12分）如圖，在四棱錐尸一4B8中，？。_1平面48。，底面A8CO是矩形，AD=PD,E,尸分別是

CD,P3的中點.

（I）求證：EE_L平面。4B；

（II）設AB=J5BC=3，求三棱錐P—AEE的體積.

x=l+Gcos。

20.（12分）平面直角坐標系X。），中，曲線G的參數方程為《（。為參數），以原點為極點，x軸的

y=V^sine

7T

非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。=］（2>0），直線/的極坐標方程為

加巾+2卜3,點P,,看

（1）求曲線G的極坐標方程與直線/的直角坐標方程;

（2）若直線/與曲線交于點A,曲線G與曲線G交于點臺，求△PAB的面積.

A-RA-i-R

21.(12分)AA6C的內角A,B,C的對邊分別為a,4c,若2sin?-----+2cos2-----+2cosAcosB=l

22

(1)求角C的大小

⑵若c=4,|C4+Cq=屈，求的周長

22.(10分)已知也｝是等差數列，滿足6=3,%=12,數列也｝滿足4=4,d=20,且也一見｝是等比數

列.

(1)求數列｛4｝和色｝的通項公式;

(2)求數列出,｝的前〃項和.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

【詳解】

2+i(2+/)(l+z)2+3i+『l+3z13.

---------------=--=-1-I

1-z(l-z)(l+z)2222

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題.

2、C

【解析】

由圖象可知=河解得=一；，利用三角恒等變換化簡解析式可得"X)=sinQx+V),令/(x)=0,即可

求得X。.

【詳解】

2萬,_21.5兀

依題意，f--1,Bp2cos-----sin-+m=-i,

36

、

解得〃2二一!；因為/'(x)=2cosx?sin[x+工]-」=2cosx?—sinx+—COSX--

2V6/2(22)2

=V3sinxcosx+cos2x--=sin2x+—cos2x=sin(2x+—

222I6j

TTTT77r

所以2x°+2=2br+J,當攵=1時，

626

故選:C.

【點睛】

本題主要考查了由三角函數的圖象求解析式和已知函數值求自變量，考查三角恒等變換在三角函數化簡中的應用，難度

一般.

3^A

【解析】

z=*l-i)=l+i,故國=后，故選A.

4、C

【解析】

計算2'=1+2"由共轉復數的概念解得憶》即可.

1-z

【詳解】

--=l+2z,又由共朝復數概念得：x=l,y=-2,

1-z

，x+y=-1.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了復數的運算，共枕復數的概念.

5、B

【解析】

根據題意，求得函數周期，利用周期性和函數值，即可求得以

【詳解】

由已知可知，"2+x)=/(-x)=-4x),所以函數是一個以4為周期的周期函數,

所以/(2020—In2)=/(-In2)=-/(in2)=6旬皿=2。=8,

解得a=3,

故選：B.

【點睛】

本題考查函數周期的求解，涉及對數運算，屬綜合基礎題.

6、D

【解析】

弄清集合8的含義，它的元素x來自于集合A,且2,也是集合A的元素.

【詳解】

因區3,所以—24xW4,故4={-2,—1,0,1,2,3,4},又xeZ,2'GA，則x=0』,2,

故集合B={0』,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.

7、B

【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據幾何概型概率公式可求得.

【詳解】

根據題意，陰影部分的面積的一半為：JJ(cosx-sinx)^=＞/2-l?

V2—1

4（及一1）4（1.4-1）1.

于是此點取自陰影部分的概率為c乃

Pn=2x---

12

又8=1一片＜;,故《＞鳥.

故選B.

【點睛】

本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題.

8、C

【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.

【詳解】

將x=2不，y=3質代入方程看-，=1。＞0)得/?=3可，而雙曲線的半實軸。=河，所以c="TF=10,

得離心率e=￡=可，故選C.

a

【點睛】

此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.

9、A

【解析】

直接將白=，兩邊同時乘以,求出復數二，再求其模即可.

1—1

【詳解】

解：將三=，兩邊同時乘以1-i,得

\-1

z=i(l—i)=l+i

|z|=A/2

故選：A

【點睛】

考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.

10、A

【解析】

先求出函數/(%)在(i,o)處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數/(力=<：：：［］和g(x)=k-《的圖象,

利用數形結合進行求解即可.

【詳解】

當時，/(x)=lnx,n/(x)=,n/T)=l,所以函數/(x)在(1,0)處的切線方程為：y=x-\,令

X

g(x)=|x-A|,它與橫軸的交點坐標為(A,0).

/、0,x<l11

在同一直角坐標系內畫出函數/(x)=1和g(x)=|x-4的圖象如下圖的所示：

y

利用數形結合思想可知：不等式對任意的xeR恒成立，則實數4的取值范圍是攵W1.

故選：A

【點睛】

本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的應用，屬于中檔題.

11,C

【解析】

根據線面平行的性質定理和判定定理判斷alia與allb的關系即可得到答案.

【詳解】

若a〃a,根據線面平行的性質定理，可得a〃b；

若a"b,根據線面平行的判定定理，可得。〃a.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.

12、B

【解析】

首先根據三角函數的平移規則表示出g(X),再根據對稱性求出。、(P,即可求出/(X)的解析式，從而驗證可得;

【詳解】

+/=sin"(+0,

解：由題意可得g(x)=sin|

I3,

71.71

—C0+(p=K]7T-\——

7742伏幺eZ),

又???/⑴和g(x)的圖象都關于x=］對稱’

7T7C,71

—CD——(D-\~(p=k1TT+—

???解得彳/=(A[—&2(4,右WZ),即69=3(4—&)(%]，eWZ),X***0<69<6,**?69=3,(P——

.../(x)=sin13x_(),

二①③④正確，②錯誤.

故選：B

【點睛】

本題考查三角函數的性質的應用，三角函數的變換規則，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、24

【解析】

分步排課，首先將“禮''與"樂”排在前兩節，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，

同時它們內部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節，有A?2=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節講座捆綁再和其他兩藝全

排有用A；=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩節講座必須相鄰的不同安排種數

為用A；A?=24.

故答案為：L

【點睛】

本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

14、1；3+#

【解析】

試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐,底面是邊長為a的正方形,平面S.13_平面一48,并且/?謝/=盟『，=2，

所以體積是話=、//：：粢=:，解得a=l，四個側面都是直角三角形，所以計算出邊長，表面積是

S=l:4.Axlx2-ixlx^-lxlx2+^xlx75=3+A/5

考點：1.三視圖；2.幾何體的表面積.

40

15、----7t

3

【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積

的關系，進而求得結果.

【詳解】

設所給半球的半徑為R,則四棱錐的高〃=R,

則AB=BC=CD=DA=&R，由四棱錐的體積上^=RnR=C，

半球的體積為：2萬K=謹了.

33

【方法點睛】

涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題

轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心

的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

16、（0,+8）

【解析】

對數函數的定義域需滿足真數大于（），再由指數型不等式求解出解集即可.

【詳解】

對函數.丫=111(3'-2')有意義，

y(3Y

即3'—2'>0=>3'>2'n'=->1=-=>x>l.

2*⑶⑶

故答案為：(。,+8)

【點睛】

本題考查求對數函數的定義域，還考查了指數型不等式求解，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴4=看”〃⑵匕句一品不

【解析】

(1)S“_|=1-2/(〃..2),所S.=1-2《山，兩式相減，即可得到數列遞推關系求解通項公式，由

整理得(〃..2),得

2優二％)_2TTT(n2))2(仁"J"%)=2?(勺憶)=TT

到b田-b?=bn-b,i(n..2),即可求解通項公式；

1(〃+2)12(〃+1)一〃1114/皿r一八"n

(2)由⑴可知,C"=一西方’即可求得數列￡｝的前〃項和么

【詳解】

(1)因為S,i=1-2。“(幾.2),所S.=l—2%+一兩式相減，整理得a,」=g/(〃..2),當〃=2時,

S,=q=g=]—2a2>解得。2=；=；，

所以數列｛%｝是首項和公比均為g的等比數列，即4,=5，

因為2=2g誓-2人=『％(〃-2),

2（『小）⑵+小）2bmj

整理得=Zi+T”-i（幾.2）,

〃用+〃_|b,+i+b,_i

2b

又因為，>0,所以1>0,所以廠?⑵，即心—，=d一％("..2),因為4=1,%=2,所以數列

■+I+.T

｛2｝是以首項和公差均為1的等差數列，所以d=〃;

(〃+2)12(〃+1)-〃J____1________1

(2)由(1)可知，c

n〃2+〃下一/+1)下一〃.2"T-(〃+1)2

----+--------------+.??+-----：------------|,即匕=1-----------

2x2)12x23X2*2J34l〃-2"T(?+l)-2nJ(n+l)-2n

【點睛】

此題考查求數列的通項公式，以及數列求和，關鍵在于對題中所給關系合理變形，發現其中的關系，裂項求和作為一

類常用的求和方法，需要在平常的學習中多做積累常見的裂項方式.

18、(1)機=0.025(2)填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系

【解析】

(1)利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為1列方程，解方程求得加的值.

(2)根據表格數據填寫2x2列聯表，計算出K?的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰

上運動與性別有關系.

【詳解】

(1)由題意(0.005x2+0.015+0.02+〃?+0.03)xl0=l,解得加=0.025.

(2)由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運動的人數為(0.025+0.003)x10x100=30.

完善列聯表如下:

擅長不擅長合計

男性203050

女性104050

合計3070100

niad-bc?J00X(800-300)^4762

(4+3)(c+d)(a+c)(〃+d)50x50x30x70

對照表格可知，4.762<6.635,

不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.

【點睛】

本小題主要考查根據頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查2x2列聯表獨立性檢驗，屬于基礎題.

3

19.(I)見解析(II)-

4

【解析】

(I)取24中點G,連FG,GD,根據平行四邊形，可得EF//DG,進而證得平面246,平面PAD,利用面

面垂直的性質，得DG，平面Q46,又由EF//DG,即可得到跖，平面Q46.

(n)根據三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.

【詳解】

(I)取Q4中點G,連FG,GD,

由FG//A民EG=LA6,EZ)//AB,ED=，A6,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EDGF是平行四邊形，則上戶//0G,

又PO_L平面ABCD,...平面ELDJ_平面ABCO,

；筋，40=>M，平面24。，A3u平面...平面平面PAD,

,:PD=AD,G是小中點，則QGLP4,而OGu平面B4￡)=￡)G_L平面

而瓦'//OG,...￡/，平面P4B.

(D)根據三棱錐的體積公式，

得%-AEF=VB-AEF—^F-BAE=萬^P-BAE=]']'S.EXP。

【點睛】

本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位

置關系的判定定理和性質定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎

題.

20、(1)p2_2pcos8-2=0.%+-6=0(2)|

【解析】

(1)根據題意代入公式化簡即可得到.(2)聯立極坐標方程通過極坐標P的幾何意義求解\AB\,再求點P到直線AB的距

離即可算出三角形面積.

【詳解】

解：(1)曲線G：5-1)2+丁=3,即/+/一2彳-2=0.

_2pcos。-2=0.曲線G的極坐標方程為p2-2pcos<9-2=0.

直線/的極坐標方程為夕sin￡=3,即6°sin6?+0cose=6,

直線/的直角坐標方程為％+6y—6=0.

(2)設［p,—

A，B嗚，

冗乃

:.psin=3,解得「人=3.

A36

兀

：.p=2舍去).

X/?g-2pBcosy-2=0,B(4=-1

：.\AB\=3-2=\.

點P到直線AB的距離為6xsin3,

13

:，△RW的面積為一x1x3=—.

22

【點睛】

此題考查參數方程，極坐標，直角坐標之間相互轉化