銳角三角形直角三角形鈍角三角形新知導入畫一畫：分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？三角形的三個內角的平分線相交于一點.第一章

三角形的證明4角平分線（第2課時）1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點且這一點到三條邊的距離相等.2.角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用.學習目標1.角平分線的性質定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.CB1A2PDEO∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E，∴PD=PE.知識回顧2.角平分線的判定定理在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E,且PD=PE,∴點P在∠AOB的平分線上.CB1A2PDEO課程講授1三角形的三條內角平分線相交于一點A

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證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD⊥ABPE⊥BC，垂足分別為D，E，∴PD=PE.（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點P在∠A的平分線上（在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上），即∠A的平分線經過點P.課程講授1三角形的三條內角平分線相交于一點

三角形的平分線：

三角形的三條角平分線_________，并且這點到三邊的距離______.

即PD=____=_____.交于一點相等A

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PEPF課程講授1三角形的三條內角平分線相交于一點練一練：如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，下面結論中正確的是（）A.∠1>∠2B.∠1=∠2C.∠1<∠2D.不能確定B課程講授2角平分線的性質和判定的實際應用例如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)已知CD=4cm,AC的長;EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，課程講授2角平分線的性質和判定的實際應用例如圖,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.課程講授2角平分線的性質和判定的實際應用練一練：如圖，鐵路OA和鐵路OB交于O處，河道AB與鐵路分別交于A處和B處，試在河岸上建一座水廠M，要求M到鐵路OA，OB的距離相等，則該水廠M應建在圖中什么位置？請在圖中標出M點的位置.M(∠AOB的角平分線與AB的交點)隨堂練習1.如圖，△ABC的三邊AB,BC,AC的長分別為4,6,8，其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB：S△OBC：S△OAC=（）A.1∶1∶1B.6∶4∶3C.2∶3∶4D.4∶3∶2C隨堂練習2.如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為()A．110°B．120°C．130°D．140°A隨堂練習3.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現準備在其中建一小亭供人們小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭中心的位置.A

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D課堂小結三角形的內角平分線性質三角形的三條內角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等

應用判斷一個點是否在角的平分線上；解決實際問題剪一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線.觀察這三條角平分線,你發現了什么?結論:三角形三個角的平分線相交于一點.猜想：這一點到三條邊的距離相等.新知探究已知：如圖,設△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.求證：∠BAC的平分線經過點P,且PD=PE=PF.證一證PDEFABCMN定理:

三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).ABCPMNDEF提示:這又是一個證明三條直線交于一點的根據之一這個交點叫作三角形的內心.例如圖,在△ABC中