第43課冪級數課題冪級數課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．理解函數項級數、冪級數的基本概念和性質2．會求冪級數的收斂半徑、收斂域及冪級數的和函數思政育人目標：通過講解冪級數的相關知識，培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；引導學生養成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神教學重難點教學重點：冪級數的基本概念教學難點：冪級數的和函數的求法教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節課：課前任務→考勤（2min）→復習（10min）→講授新課（33min）第二節課：講授新課（20min）→課堂測驗（10min）→互助指導（12min）→課堂小結（3min）→課后拓展教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課課前任務【教師】和學生負責人取得聯系，布置課前任務，提醒同學做完作業，在指定時間內交齊【學生】做完作業，在指定時間內交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前問答題：（1）什么是函數項級數？（2）什么是冪級數？【學生】查找資料，預習教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，激發學生的學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況復習（10min）【教師】提前設計好復習題目，并針對學生存在的問題及時講解【學生】做復習題目復習所學內容，為講授新課打好基礎講授新課（33min）【教師】講解函數項級數的基本概念定義1給定一個定義在區間I上的函數列，由這個函數列構成的表達式，稱為定義在區間I上的函數項級數，記為．對于區間I內的一定點，若常數項級數收斂，則稱點是級數的收斂點．若常數項級數發散，則稱點是級數的發散點．函數項級數的所有收斂點的全體稱為它的收斂域，所有發散點的全體稱為它的發散域．在收斂域上，函數項級數的和是的函數，稱為函數項級數的和函數，并寫成．【教師】講解冪級數的基本概念，并通過例題介紹冪級數收斂半徑和收斂域的求法定義2若函數項級數中各項都是冪函數，即，則此級數稱為冪級數，其中都是常數，稱為冪級數的系數，稱為冪級數的通項．冪級數更一般的形式為．令，冪級數即化為冪級數．對于每一個確定的實數，冪級數會變成如下常數項級數：．這個級數可能收斂，也可能發散．若該級數收斂，則稱點是冪級數的收斂點；若該級數發散，則稱點是冪級數的發散點，冪級數所有收斂點的全體組成的集合稱為它的收斂域，記作．在收斂域上，冪級數的和是的函數，通常稱為冪級數的和函數．其定義域就是級數的收斂域，并記為，．對于一個給定的冪級數，它的收斂域和發散域的結構如何呢？例如，冪級數可以看作是一個公比為的幾何級數．根據前面的討論，當時，該級數收斂于；當時，該級數發散，因此這個冪級數的收斂域是一個區間．若在收斂域內取值，則有，．由此我們可以看到，這個冪級數的收斂域是一個區間．定理1設有冪級數，．（1）若，當時，冪級數絕對收斂；當時，冪級數發散；（2）當時，對于任意，冪級數絕對收斂；（3）當時，冪級數僅在處收斂．令，稱為冪級數的收斂半徑，開區間稱為冪級數的收斂區間．由定理1知，當時，冪級數處處收斂，此時規定收斂半徑，收斂區間為；當時，冪級數僅在處收斂，此時規定收斂半徑．定理2設有冪級數，若，則此冪級數的收斂半徑為例1求冪級數

的收斂半徑與收斂域．例1解因為，所以收斂半徑為．當時，冪級數成為，是收斂的；當時，冪級數成為，是發散的．因此，收斂域為．（例2～例5詳見教材）【學生】掌握函數項級數和冪級數的基本概念，以及冪級數收斂半徑和收斂域的求法學習函數項級數和冪級數基本概念，以及冪級數收斂半徑和收斂域的求法。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化第二節課講授新課（20min）【教師】講解冪級數的性質，并通過例題介紹冪級數和函數的求法設冪級數及分別在區間及內收斂，則在與中較小的區間內可進行加法、減法及乘法運算：，性質1冪級數的和函數在其收斂域上連續．性質2冪級數的和函數在其收斂域上可積，并且有逐項積分公式，逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑．性質3冪級數的和函數在其收斂區間內可導，并且有逐項求導公式，逐項求導后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑．例6求冪級數的和函數．例6解求得冪級數的收斂域為．設和函數為，即，．顯然，．在的兩邊求導得．對上式從0到x積分，得．于是，當時，有．因此，冪級數的和函數為例7求級數的和．例7解考慮冪級數，此級數在上收斂，設其和函數為，則．在例6中已得到，于是，即，因此，．【學生】理解冪級數的性質，掌握冪級數和函數的求法學習冪級數的運算。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象互助指導（12min）?選出優秀學生帶動、指導其他同學掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現組內互助【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學生為主體，針對學生接受能力的差異性，讓優秀學生帶動其他學生掌握知識點課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課上大家理解了函數項級數、冪級數的基本概念和性質，掌握了求冪級數的收斂半徑、收斂域及冪級數的和函數的方法，課后要多加練習，鞏固認知【學生】總結回顧知識點【教師】布置課后作業：習題8-3總結知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學習平臺上共享本節課知識相關的學習鏈接【學生】登錄文旌課堂APP或其他學習平臺查看相關知識鏈接，完成課后任務延展知識面，