第三章概率本章小結學習目標1.利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題.2.正確理解并事件與交事件,以及互斥事件與對立事件的區別與聯系.3.掌握古典概型的概率計算公式及幾何概型的概率公式.合作學習一、知識分析(一)本章知識結構(二)要點概述1.頻率與概率的意義、區別與聯系(1)頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定.做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率會不同.(2)概率是一個確定的數,與每次試驗無關.是用來度量事件發生可能性大小的量.(3)

2.概率的基本性質(1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;(2)當事件A與事件B互斥時,滿足加法公式:;

(3)若事件A與事件B互為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)==1,于是有P(A)=;(巧妙地運用這一性質可以簡化運算)

(4)互斥事件與對立事件的區別與聯系:我們可以說如果兩個事件為對立事件則它們一定互斥,而互斥事件不一定是對立事件.3.古典概型(1)正確理解古典概型的兩大特點:①;

②每個基本事件出現的可能性.

(2)掌握古典概型的概率計算公式:P(A)=.

4.幾何概型(1)幾何概率模型:如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為模型.

(2)幾何概型的概率計算公式:P(A)=.

(3)幾何概型的特點:①試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有個;

②每個基本事件出現的可能性.

5.古典概型和幾何概型的區別相同:兩者基本事件的發生都是的;

不同:古典概型要求基本事件有個,幾何概型要求基本事件有個.

二、典型題歸納(一)概率與頻率根據概率的定義,我們可以由頻率來估計概率,因此應理清頻率與概率的關系,頻率是概率的近似值,是隨機的,隨著試驗的不同而變化,而概率是多次重復試驗中頻率的穩定值,是一個常數,不要用一次或少數次試驗中的頻率來估計概率.【例1】下表是某種油菜子在相同條件下的發芽試驗結果表,請完成表格并回答以下問題.每批粒數251070130300150020003000發芽的粒數24960116269134717942688發芽的頻率(1)完成上面表格;(2)估計該油菜子發芽的概率約是多少?(二)古典概型古典概型是一種最基本的概率模型,也是學習其他概率模型的基礎,在高考題中,經常出現此種概率模型的題目.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征,即有限性和等可能性.在應用公式P(A)=nAn時,關鍵是正確理解基本事件與事件A的關系,求出nA【例2】某人一次同時拋出兩枚均勻骰子(它們的六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6).(1)求兩枚骰子點數相同的概率;(2)求兩枚骰子點數之和為5的倍數的概率.【例3】有編號為A1,A2,…,A10的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數據:編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區間[1.48,1.52]內的零件為一等品.(1)從上述10個零件中,隨機抽取1個,求這個零件為一等品的概率.(2)從一等品零件中,隨機抽取2個:①用零件的編號列出所有可能的抽取結果;②求這2個零件直徑相等的概率.(三)概率的加法公式互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式,它能把復雜事件的概率問題轉化成較簡單的基本事件的概率問題或轉化成求對立事件的概率問題.應用公式時一定要注意,首先確定各個事件是否彼此互斥,然后求出各事件分別發生的概率.【例4】現有8名亞運會志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通曉日語,B1,B2,B3通曉俄語,C1,C2通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個小組.(1)求A1被選中的概率;(2)求B1和C1不全被選中的概率.(四)幾何概型幾何概型同古典概型一樣,是概率中最具有代表性的試驗概型之一,在高考命題中占有非常重要的位置.我們要理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特征,即:每次試驗中基本事件的無限性和每個事件發生的等可能性,并能求簡單的幾何概型試驗的概率.【例5】在以3為半徑的圓內任取一點P為中點作圓的弦,求弦長超過圓內接等邊三角形邊長的概率.(五)數形結合思想數形結合思想在本章的應用很廣泛,如用集合的關系與運算表示事件的關系與運算,用圖表的形式表示一次試驗的基本事件以及幾何概型中畫圖表示問題中涉及的量,從而求出事件的概率.【例6】設M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},任取x,y∈M,x≠y.求x+y是3的倍數的概率.三、總結提升1.求某事件的概率可用間接法:求它的事件的概率.

2.會根據古典概型與幾何概型的區別與聯系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型.3.在古典概型中,求某個隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數的常用方法是(畫樹狀圖和列表),應做到.

4.在幾何概型問題的分析中,會利用法確定試驗構成的區域.

四、章末鞏固(一)選擇題1.給出下列四個命題:①“三個球全部放入兩個盒子中,其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件②“當x為某一實數時可使x2<0”是不可能事件③“明天廣州要下雨”是必然事件④“從100個燈泡中取出5個,5個都是次品”是隨機事件其中正確命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.32.某人在比賽(沒有“和”局)中贏的概率為0.6,那么他輸的概率是()A.0.4 B.0.6 C.0.36 D.0.163.下列說法正確的是()A.一名籃球運動員,號稱“百發百中”,若罰球三次,不會出現三投都不中的情況B.一枚硬幣擲一次得到正面的概率是12,C.如買彩票中獎的概率是萬分之一,則買一萬元的彩票一定會中獎一元D.隨機事件發生的概率與試驗次數無關4.某個班級內有40名學生,抽10名學生去參加某項活動,每個學生被抽到的概率是14,其中解釋正確的是(A.4個人中必有一個被抽到 B.每個人被抽到的可能性是1C.由于被抽到與不被抽到有兩種情況,不被抽到的概率為14D.以上說法都不正確5.投擲兩粒均勻的骰子,出現兩個5點的概率為()A.136 B.118 C.166.從{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個,這個集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是()A.35 B.25 C.147.若A與B是互斥事件,其發生的概率分別為p1,p2,則A,B同時發生的概率為()A.p1+p2 B.p1·p2 C.1-p1·p2 D.0(二)填空題8.同時拋擲3枚硬幣,恰好有2枚正面朝上的概率為.

9.10件產品中有2件次品,從中任取2件檢驗,則至少有1件次品的概率為.

10.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},集合B={(x,y)|x+y+a=0},若A∩B≠?的概率為1,則a的取值范圍是.

(三)解答題11.由1,2,3組成可重復數字的三位數,試求三位數中至少出現兩個不同數字的概率.12.從一箱產品中隨機地抽取一件產品,設事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率:(1)事件D=“抽到的是一等品或二等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.13.從含有兩件正品a,b和一件次品c的三件產品中每次任取一件,連續取兩次,求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率.(1)每次取出不放回;(2)每次取出后放回.14.在某次數學考試中,甲、乙、丙三人及格(互不影響)的概率分別為0.4,0.2,0.5,考試結束后,最容易出現幾個人及格?15.設甲袋裝有m個白球,n個黑球,乙袋裝有m個黑球,n個白球,從甲、乙袋中各摸1個球,設事件A:“兩球同色”,事件B:“兩球異色”,試比較P(A)與P(B)的大小.參考答案一、知識分析(二)要點概述1.(3)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數的增加,頻率會越來越接近概率.2.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)P(A)+P(B)1-P(B)3.(1)①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個②相等(2)A4.(1)幾何概率(2)構成事件(3)①無限多②相等5.等可能有限無限多二、典型題歸納【例1】解:(1)由發芽的頻率fn(A)=nAn22=1;45=0.8;910=0.9;6070=116130=0.892;269300=0.897;1347117942000=0.897;2所以從左到右依次填入:1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.897,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批種子的發芽的頻率穩定在0.897附近,所以估計該油菜子發芽的概率約為0.897.【例2】解:用(x,y)表示同時拋出的兩枚均勻骰子中一枚骰子向上的點數是x,另一枚骰子向上的點數是y,則全部結果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).即同時拋出兩枚均勻骰子共有36種結果.則同時拋出兩枚均勻骰子的結果是有限個,屬于古典概型.(1)設“兩枚骰子的點數相同”為事件A,事件A有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6種,則P(A)=636即兩枚骰子點數相同的概率是16(2)設“兩枚骰子點數之和為5的倍數”為事件B,事件B有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4),共7種,則P(B)=736即兩枚骰子點數之和為5的倍數的概率是736【例3】解:(1)由所給數據可知,一等品零件共有6個.設“從10個零件中,隨機抽取1個為一等品”為事件A,則P(A)=610(2)①一等品零件的編號為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個一等品零件中隨機抽取2個,所有可能的結果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.②“從一等品零件中,隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共6種,所以P(B)=615【例4】解:(1)從8人中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,其一切可能的結果組成的基本事件空間Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},即由18個基本事件組成.由于每一個基本事件被抽取的機會均等,因此這些基本事件的發生是等可能的.用M表示“A1被選中”這一事件,則M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},即事件M由6個基本事件組成.故P(M)=618(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件,則N={(A1,B1,C2),(A2,B1,C2),(A3,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B2,C1),(A3,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B3,C1),(A3,B3,C1)},即事件N由9個基本事件組成,故P(N)=918【例5】解:設“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”為事件A.在半徑為3的圓內任取一點P的結果有無限個,屬于幾何概型.如圖所示,△BCD是圓內接等邊三角形,再作△BCD的內切圓.則滿足“弦長超過圓內接等邊三角形邊長”的點P在等邊三角形△BCD的內切圓內.可以計算得:等邊三角形△BCD的邊長為3,等邊三角形△BCD的內切圓的半徑為32所以事件A構成的區域面積是等邊三角形△BCD的內切圓的面積π×322全部結果構成的區域面積是π×(3)2=3π,所以P(A)=34即弦長超過圓內接等邊三角形的邊長的概率是14【例6】解:利用平面直角坐標系列舉,如圖所示.由此可知,基本事件總數n=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.而x+y是3的倍數的情況,有m=15(種),故所求事件的概率mn三、總結提升1.對立3.列舉法不重不漏4.數形結合四、章末鞏固1.D2.A3.D4.B5.A6.C7.D8.389.174510.a∈[-11.解:“三位數中至少出現兩個不同數字”事件包含“三位數中恰好出現兩個不同的數字”與“三個數全不相同”兩個互斥事件,故所求概率為2×3×32712.解:由題知A,B,C彼此互斥,且D=A+B,E=B+C.(1)P(D)=P(A+B)=P(