4.4數(shù)學(xué)歸納法提高練一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A． B． C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．3．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，4．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過(guò)程中，從到時(shí)，比共增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)6.（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說(shuō)法正確的為（）A.；B.；C.對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；D..二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．8．凸邊形內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角為_(kāi)_____________.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，從到，等式左邊需增加的代數(shù)式為_(kāi)_______10．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證____________時(shí)等式成立.三、解答題11．漢諾塔問(wèn)題是源于印度一個(gè)古老傳說(shuō)的益智游戲.這個(gè)游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號(hào)塔座上的盤子，移動(dòng)到③號(hào)塔座上，在移動(dòng)的過(guò)程中要求：每次只可以移動(dòng)一個(gè)盤子，并且保證任何一個(gè)盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個(gè)直徑不同的盤子從①號(hào)塔座移動(dòng)到③號(hào)塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無(wú)需給出證明）（2）著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時(shí)小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當(dāng)n≥2時(shí)，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的正整數(shù)都滿足．（1）求，，的值，猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中猜想的的表達(dá)式的正確性．?dāng)?shù)學(xué)歸納法提高練一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立，結(jié)合本題，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，成立.因此當(dāng)時(shí)，命題成立．所以第一步證明中的起始值應(yīng)取．故選：D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故選C.3．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，【答案】C【詳解】中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，.4．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】依題意得，由個(gè)圓增加到個(gè)圓，增加了個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來(lái)的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：的過(guò)程中，從到時(shí)，比共增加了（）A．1項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【詳解】由題意，時(shí)，最后一項(xiàng)為，時(shí)，最后一項(xiàng)為

所以由變到時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，增加了項(xiàng)

故選：D6.（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說(shuō)法正確的為（）A.；B.；C.對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立；D..【答案】ABCD【詳解】，若，則，∴，∴，A正確；由已知，∴，B正確；由及①得，，∴，顯然對(duì)任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，C正確；(i)已知成立，(ii)假設(shè)，則，又，即，∴，由數(shù)學(xué)歸納法思想得D正確．二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．【答案】【詳解】由題知等式的左邊有項(xiàng)，右邊有項(xiàng)，且，因此第一步應(yīng)驗(yàn)證時(shí)的等式，此時(shí)左邊，右邊．8．凸邊形內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角為_(kāi)_____________.【答案】【解析】凸邊形的內(nèi)角和比凸邊形的內(nèi)角和多出一個(gè)三角形的內(nèi)角和，即，所以.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，從到，等式左邊需增加的代數(shù)式為_(kāi)_______【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，等式的左邊為：，當(dāng)，等式的左邊為：，所以從到，等式左邊需增加的代數(shù)式為.10．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證____________時(shí)等式成立.【答案】【詳解】假設(shè)當(dāng)（且為偶數(shù)）時(shí)，命題成立，即成立由于是對(duì)所有正偶數(shù)命題成立，則歸納推廣時(shí)，應(yīng)該是再證明取下一個(gè)偶數(shù)時(shí)，命題也成立.所以應(yīng)證明當(dāng)時(shí)，等式也成立，故答案為：三、解答題11．漢諾塔問(wèn)題是源于印度一個(gè)古老傳說(shuō)的益智游戲.這個(gè)游戲的目的是將圖（1）中按照直徑從小到大依次擺放在①號(hào)塔座上的盤子，移動(dòng)到③號(hào)塔座上，在移動(dòng)的過(guò)程中要求：每次只可以移動(dòng)一個(gè)盤子，并且保證任何一個(gè)盤子都不可以放在比自己小的盤子上.記將n個(gè)直徑不同的盤子從①號(hào)塔座移動(dòng)到③號(hào)塔座所需要的最少次數(shù)為an.（1）試寫出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（無(wú)需給出證明）（2）著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了形數(shù)的概念.他們利用小石子擺放出了圖（2）的形狀，此時(shí)小石子的數(shù)目分別為1，4，9，16，由于小石子圍成的圖形類似正方形，于是稱bn＝n2這樣的數(shù)為正方形數(shù).當(dāng)n≥2時(shí)，試比較an與bn的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【詳解】（1）由題意得，，，，，猜想：.（2），，，，，，，，，，則當(dāng)時(shí)，，猜想：當(dāng)時(shí)，，即，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，，，結(jié)論成立；②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由①②可知，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的正整數(shù)都滿足．（1）求，