數(shù)理方法總結(jié)CH1復(fù)數(shù)的基本概念1.1復(fù)數(shù)的定義：復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充推廣，復(fù)數(shù)可表示成直角坐標(biāo)系XOY上的點(diǎn)，也可由有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)定義，記為z=(x,y)或者z=x+iy,實(shí)數(shù)x可以看成實(shí)軸上上的點(diǎn)(x,0)或者z=x表示。1.2復(fù)數(shù)的表示1.點(diǎn)表示一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy由一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)唯一確定。2?三角表示通過直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：z=x+iy=Qx2+y2(cos。+isin0)3.指數(shù)表示法在三角表示法的基礎(chǔ)上，引進(jìn)歐拉公式：e^-cos0+isin0則z可表示成z=p'x2+y2e/01.3復(fù)數(shù)的幕與方根1?復(fù)數(shù)的乘積與商z=re0,z=rei02貝91122zrzz=rrei(01+02)1=fei(0j-02)12 12 zr222?復(fù)數(shù)的幕zn=(rei0)=rnein0當(dāng)r=1時(shí)，得到德魔符公式：(cos0+isin0)n=cosn0+isinn03?復(fù)數(shù)的根-多值1.4復(fù)數(shù)序列的極限1.定義：按一定順序排列的復(fù)數(shù)z=x+iy(n=1，2,L)稱為復(fù)數(shù)序列，記為〔｝。TOC\o"1-5"\h\znn n n一個(gè)復(fù)數(shù)序列等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)序列&｝和｛y｝的有序組合。n n2?極限=x+iy時(shí),limz=z的充要條件是limx=x,limy=y=x+iy時(shí),n 0 n 0 n 0nT8 nT8 nT8CH2解析函數(shù)2.1復(fù)變函數(shù)將函數(shù)的概念由實(shí)數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域時(shí)，自變量及函數(shù)值的取值范圍相應(yīng)的推廣到復(fù)平面上的點(diǎn)集(稱為定義域和值域)。

1?區(qū)域鄰域：集合{Z|z-z0<S,zec},ee(0,+s)記為U(z°,￡)單聯(lián)通區(qū)域：中間沒孔(圓域)。多連通區(qū)域：中間有孔(圓環(huán)域)。2?復(fù)變函數(shù)的定義若對(duì)區(qū)域D內(nèi)任意復(fù)數(shù)z=x+iy，均存在另外一個(gè)復(fù)數(shù)w二u+iv與之對(duì)應(yīng)，則稱w是z的復(fù)變函數(shù)，記為W=f(z)。把集合D表示在一個(gè)復(fù)平面上，稱該平面為z平面；3?極限只要0<|z-Z0<5把相應(yīng)的函數(shù)值w3?極限只要0<|z-Z0<5，有|/(z)-wol<e則稱wo是函數(shù)W=f(Z)當(dāng)Z趨于Zo時(shí)的極限。4?復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性2.2復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1?導(dǎo)數(shù)與微分定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，zeD，z+AzeD，如果如下極限00存在：f(z+Az)-f(z)limo o-Azto Az則稱此極限為導(dǎo)數(shù)。2?可導(dǎo)的充要條件函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z可導(dǎo)的充要條件是：(1)u(x,y)、v(x,y)在(x,y)處可導(dǎo)；(2)u(x,y)、v(x,y)滿足柯西-黎曼方程:Qu=QvQu=Qv

OxQy'Qy Qx且f'（z且f'（z）=Qu .Qv+i—Qx QxQv .Qu2.3解析函數(shù)的定義和判定1?定義如果f(z)在z及z的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z處解析，并稱z是f(z)oo o o的解析點(diǎn)。奇點(diǎn)：f(z)的不解析點(diǎn)。注意：解析必可導(dǎo)，可導(dǎo)比一定解析。

2?函數(shù)解析的充要條件在整個(gè)定義域上可導(dǎo)一定解析。2.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1?調(diào)和函數(shù)定義：二元實(shí)變函數(shù)9(x，y)在區(qū)域d內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2?共軛調(diào)和函數(shù)定義：若在區(qū)域D內(nèi)，u(x,y)、v(x,y)均為調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程，則稱v為U的共軛調(diào)和函數(shù)。(但不能說u是V的共軛調(diào)和函數(shù))3?構(gòu)造解析函數(shù)的方法不定積分法曲線積分法全微分法2.5單值初等函數(shù)1?幕函數(shù)2?指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)w=ez是單值函數(shù)。是已2兀i為周期的周期函數(shù)3?三角函數(shù)smz= ,cosz=—2i 2在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),sinz在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),sinz<1,cosz<1不成立。4?雙曲函數(shù)CH3多值函數(shù)及其單值分支復(fù)變函數(shù)的多值性體現(xiàn)在：幅角的多值性，z平面上一個(gè)點(diǎn)的幅角是e+2k兀。多值函數(shù)的定義：z平面上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)w平面上多個(gè)點(diǎn)一個(gè)單值分支:對(duì)每個(gè)自變量z只保留多值函數(shù)一個(gè)對(duì)應(yīng)值而將其他對(duì)應(yīng)值舍去的辦法達(dá)到的單值連續(xù)函數(shù)。枝點(diǎn)：當(dāng)z沿著包含某定點(diǎn)z=%的充分小的簡單閉曲線運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，多值函數(shù)單值分支的值發(fā)生改變時(shí)，稱z=%為多值函數(shù)的枝點(diǎn)。割線：從多值函數(shù)的枝點(diǎn)z=%做一條延伸到無窮遠(yuǎn)處的曲線，稱為割線。3.1對(duì)數(shù)函數(shù)(w=Inz)

w=Inz=Inrei(e+2加)=ln|Z+i(9+2k兀)=ln|z|+iArgz對(duì)于一個(gè)固定的復(fù)數(shù)z,對(duì)數(shù)函數(shù)將其對(duì)應(yīng)為無窮多個(gè)復(fù)數(shù)，這些復(fù)數(shù)的實(shí)部都是相同點(diǎn)，為In|z|，而虛部兩兩相差2兀的整數(shù)倍。確定單值分支的一個(gè)方法：在z平面上，首先規(guī)定好z的一個(gè)幅角值argz| ，而任° z=z0意一點(diǎn)z的幅角值規(guī)定為z的幅角值與幅角該變量之和：°argz| =argz| +Aargz|z=z1 z=z° z=z13.2幕函數(shù)3.3反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)3.4多值函數(shù)的四則運(yùn)算3.5多值函數(shù)的復(fù)合函數(shù)CH4復(fù)變函數(shù)的積分4.1復(fù)變函數(shù)積分的概念1.復(fù)變函數(shù)積分的定義設(shè)w=f(z)在z平面上的一條以a,b為端點(diǎn)的曲線上有定義，順著這條曲線從a到b的方向上取分點(diǎn)z°，今L,在久到乞的每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)G丘，做和數(shù):S=￡f(G)(z-z)n kk k-1k=1當(dāng)分點(diǎn)無限多，如果和數(shù)S的極限存在，則稱極限為函數(shù)的積分。n一般不能將其寫為Jbf(z)dz的形式，因?yàn)榉e分值不僅與a,b的值有關(guān)，還與積分路徑a有關(guān)。相當(dāng)于二元函數(shù)的線積分。2?積分的計(jì)算1.方法1：化為實(shí)部和虛部兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)積分的計(jì)算問題若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在c上連續(xù)，則f(z)沿C可積，且有:JfJf(z)=Judx-vdy+iVvdx+udyC C C2.參數(shù)方程法設(shè)有光華曲線C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(a<t<b)，即z'(t)連續(xù)，則:Jf(z)dz=Jbf(z(t)1'(t)dtC a

4.2柯西積分定理1?單聯(lián)通區(qū)域的柯西積分定理如果函數(shù)w=f(z)在z平面上的單聯(lián)通區(qū)域D內(nèi)解析,C為D內(nèi)任一條逐段光滑的簡單閉曲線，貝yJf(z)dz=0C2推論在單聯(lián)通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)的積分值只依賴于起點(diǎn)和中點(diǎn)，而與積分路徑無關(guān)。3?多連通區(qū)域的柯西積分定理設(shè)區(qū)域D是由曲線「二C+C+C+L所圍成的有界多連通區(qū)域，f(z)在D內(nèi)處處12解析，則有：Jf(z)dz=0r4.3不定積分4.4柯西積分公式1.柯西積分公式設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D及其邊界C所組成的閉區(qū)域D上解析，a為D內(nèi)任意一點(diǎn)，則：f(a)=丄N dz2兀icz-a2?高階導(dǎo)數(shù)公式f(n)(a)=旦Nf(z)dz2兀ic(z-a)n+1CH5復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)5.1復(fù)級(jí)數(shù)1?復(fù)數(shù)列：一列有次序的復(fù)數(shù)z=a+bi(n=1,2,L)n nn2?復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：復(fù)數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式藝znn=13?復(fù)數(shù)列級(jí)數(shù)收斂的充要條件：藝a、藝b都收斂。n nn=1 n=14?復(fù)數(shù)列收斂的必要條件：limz=0nns5?絕對(duì)收斂：藝|z|收斂nn=1

6?條件收斂：藝z收斂，而藝|z|發(fā)散n nn=1 n=17?復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):nn=15.2幕級(jí)數(shù)1?定義：形如另c(z-a\nn=12?阿貝爾第一定理1)如果另nn=0czn在z=z1)如果另nn=0czn在z=z收斂，那么對(duì)于z<z的所有點(diǎn)，級(jí)數(shù)藝czn絕對(duì)收nn=02)如果另czn在z=z發(fā)散，那么對(duì)于|z|>n 0n=03.阿貝爾第二定理Zo的所有點(diǎn)’級(jí)數(shù)另czn發(fā)散。nn=05.3解析函數(shù)的泰勒展開泰勒定理：如果f(z)在圓域D：z-z<R內(nèi)解析,那么f(z)在D內(nèi)可以唯一的展開為幕級(jí)數(shù):f(z)=Xc(z-z》n 0n=0一些初等函數(shù)的泰勒展開:1.z2 zn指數(shù)函數(shù)：ez=1+z+亍L+亦+Lsinz=sinz=z-蘭+蘭+L3! 5!+(-1)'為+L(2.三角函數(shù)：z22.三角函數(shù)：z2z4Tcosz=1-—+—+L2! 4!+(-1》+L(11-z11-z1、1+z<1)+zn+L(z|+(-1)nzn+L(z|5.4解析函數(shù)的洛朗展開的級(jí)數(shù)z—z<R1內(nèi)解析’那么f(z)在D的級(jí)數(shù)z—z<R1內(nèi)解析’那么f(z)在D內(nèi)可以唯一的展開nn=—g2?洛朗展開定理如果f(z)在圓環(huán)域D：為洛朗級(jí)數(shù):藝c(z-zn 0n=—gdg(n=0,±1,L)dg(n=0,±1,L)其中：c2兀ic(g—z》+10CH6留數(shù)理論及其應(yīng)用6.1孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)的分類奇點(diǎn)的定義:函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤D：0<z-z<R內(nèi)有定義并且解析,而f(z)在點(diǎn)z0處不解析’那么稱z0為f(z)奇點(diǎn)。在D內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)藝c(z-z)nTOC\o"1-5"\h\zn 0n=—g可去奇點(diǎn)當(dāng)c=0時(shí)，稱z為可去奇點(diǎn)一n 0極點(diǎn)當(dāng)只有有限個(gè)c豐0，稱z為極點(diǎn)。且當(dāng)max{n|c豐0)=m時(shí)，稱z是一n 0 —n 0m階極點(diǎn)。本性奇點(diǎn)當(dāng)有無窮多個(gè)c豐0，稱z為本性奇點(diǎn)。一n 02?奇點(diǎn)判定z為可去奇點(diǎn)的充要條件為：limf(z)=C0zTz0z0是mz0是m階極點(diǎn)的充要條件為:f(z)=￡J0(z)申(z)在I<R內(nèi)解析,且在z點(diǎn)不為0.0z為本性奇點(diǎn)的充要條件為：不存在有限或無窮極限limf(z)0

6.2留數(shù)定理1?留數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0<|z-z0<R內(nèi)解析，稱積分If(z=C2“ic -i為f(z)在孤立奇點(diǎn)zo的留數(shù)，記作Res［f(z),zo］。2?留數(shù)的求法⑴z是f(z)的解析點(diǎn)或可取奇點(diǎn)，有Resrf(z),z1=0

0*-0」() 「()「 1 dk-i|~(z-z)kf(z)(2)z0是f(z丿的k階極點(diǎn)，有Resf(z丿,z0」=(1)!lim 一 k—1丿!ztz° dzk-1⑶z是f(z)的本性奇點(diǎn)，留數(shù)由定義或者展開求c0 -13?在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)4?留數(shù)定理⑴第一留數(shù)定理設(shè)D是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界C是一條或有限條簡單閉曲線。設(shè)f(z)在D內(nèi)除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，并且它在C上也解析，那么有If(z)dz=2兀i工［Resf(z),zkk=1C的積分是按關(guān)于D的正向取的即沿區(qū)域在邊界的左側(cè)的方向。⑵第二留數(shù)定理設(shè)f(z)在除去有限孤立奇點(diǎn)z,z丄,z和z 的擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)解析，則12 n-1n工［Resf(z),z=0kk=16.3用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的關(guān)鍵：選取恰當(dāng)?shù)谋环e函數(shù)；選取恰當(dāng)?shù)暮唵畏忾]的積分曲線。1.12兀R(cosx,sinx)dx型積分計(jì)算0①積分曲線：原點(diǎn)為圓心的單位圓②被積函數(shù):f(②被積函數(shù):f(z)=R2zi'2z丿zi解法：設(shè)z=eix，則dz=izdx，有

sinx=—(eix-e一ix)= ,cosx=sinx=—(eix-e一ix)= ,cosx=1Cx+e一ix)=^2^12i 2zi 2 2z因此，所求積分可轉(zhuǎn)化為沿正向單位圓周上復(fù)函數(shù)的積分:J2兀R(cosx,sinx)dx=JR0 z=1I2zi2. f(x)dx型積分的計(jì)算—g對(duì)f(z)的要求dzziaf(z)=Q(z)，其中P(z)、Q(z)都是多項(xiàng)式，且分母Q(z)的次數(shù)比分子P(z)的次數(shù)至少高兩次；-使上半平面的半圓上的積分為0.bf(z)在上半平面只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，且Q(z)=0沒有實(shí)根(即f(z)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn))。-為了應(yīng)用留數(shù)定理積分曲線：實(shí)軸從—g到+g的直線和上半平面的半圓被積函數(shù):f(z)Jf(z)dz=J+Rf(x)dx+Jf(z)dzC —R Cr=2兀i工ResI"f(z),z1- k」k=1J+gf(x)dx—g工Res[f(z)k=1式中：才Res[f(z),z]是f(z)在上半平面的留數(shù)和。kk=13?含三角函數(shù)的無窮型積分J+gf(x)cospxdx、J+gf(x)sinpxdx的計(jì)算00約當(dāng)引理：設(shè)當(dāng)|z|Tg時(shí)，函數(shù)Q(z)在0<argz 中一致趨于0,貝VlimJQ(z)eipzdz=0RTgCr沒與完6.4積分路線上有奇點(diǎn)類型積分的計(jì)算基本方法：重新構(gòu)造封閉曲線計(jì)算積分，在奇點(diǎn)處畫半徑為無窮小的圓弧沒玩6.5多值函數(shù)的積分CH7含參變量的積分CH8傅里葉變換CH9拉普拉斯變換

9.8拉普拉斯變換的應(yīng)用求解線性方程的拉普拉斯變換解法大致步驟：對(duì)關(guān)于y(t)的微分方程取拉普拉斯變換，得到一個(gè)關(guān)于象函數(shù)y(s)的代數(shù)方程，稱為象方程；解象方程，得到象函數(shù)；對(duì)Y(s)取拉普拉斯逆變換，就可得到微分方程的解y(t)。常用到的象函數(shù)的微分性質(zhì)：L「tnf(t)]=(-1心Lrf(t”L 」 dsnL」[t[tnfm(t)]=(—J隸[fm(t)]d2Udtd2Udt2d2u、dt2du=a2dt'd2ud2U + 、dx2dy2+學(xué)+f(x,y,z,t)dz2丿CH10二階線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法CH11典型方程的推到及基本概念、數(shù)學(xué)物理方程中三個(gè)典型方程：1.弦振動(dòng)方程d2U=a dx2=a史+f(x,t)dx2熱傳導(dǎo)方程拉普拉斯方程空+乜+旦=0dx2 dy2 dz2二、 定解條件對(duì)于一個(gè)確定的物理過程，僅給出表征該過程的物理量所滿足的泛定方程式不夠的，還要附加一定的條件，一般每個(gè)自變量在一階微分時(shí)給出一個(gè)定解條件，二階微分時(shí)給出兩個(gè)定解條件(幾階微分積分幾次就會(huì)有幾個(gè)待確定系數(shù))。du定解條件的一般形式為：au+ =0r dnr當(dāng)b=0時(shí)稱為第一類邊界條件；當(dāng)a=0時(shí)稱為第二類邊界條件；當(dāng)a、b均不為0時(shí)，稱為第三類邊界條件。三、 定解問題

1.初值問題（柯西問題）2?第一邊值問題（狄利克萊問題）3?第二邊值問題（諾依曼問題）4?第三邊值問題（羅賓問題）5?混合問題CH12行波法局限性：只能用于求解無限區(qū)域上的波動(dòng)方程定解問題。求解方式：先求出含任意