E-mail:

xuxin@第十三章 無(wú)

窮

級(jí)

數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的重要組成部分，它在函數(shù)表示、數(shù)值計(jì)算、研究函數(shù)性質(zhì)、微分方程的求解等諸多方面，都有著不可替代的作用。無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)理論本身，還是在科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用中，無(wú)窮級(jí)數(shù)都是一個(gè)有效的工具。本章內(nèi)容由常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)三部分組成。主要介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)、斂散性的審斂法、冪級(jí)數(shù)以及將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)的方法及其應(yīng)用。E-mail:

xuxin@數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)柯西(cauchy)收斂準(zhǔn)則§1

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)E-mail:

xuxin@若有一個(gè)無(wú)窮數(shù)列u1，u2，u3，

，un，

此無(wú)窮數(shù)列構(gòu)成下列表達(dá)式u1

+ u2

+ u3

+

+ un

+

(1)稱以上表達(dá)式為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為1.無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念其中第n項(xiàng)un叫作級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@由上我們便得到一個(gè)數(shù)列,從形式上=不難知道 ，以前我們學(xué)過數(shù)列的收斂與發(fā)散,進(jìn)而就不難得出級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。換而言之，有限個(gè)數(shù)相加為一數(shù),無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加是否仍為一個(gè)數(shù)呢？問

題E-mail:

xuxin@則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)若定義1

若級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，設(shè)其極限值為收斂.s稱為此級(jí)數(shù)的和.且有無(wú)窮多項(xiàng)求和問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列{sn}的極限無(wú)極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)問題

發(fā)散.E-mail:

xuxin@注意1:稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，為 代替s所產(chǎn)生的誤差

..E-mail:

xuxin@注意2:到目前為止，已了解的級(jí)數(shù)的基本概念，特別了解了級(jí)數(shù)部分和數(shù)列的收斂與發(fā)散性(斂散性)是由其的斂散性所決定的。確切地說(shuō)，兩者斂散性是相同的E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@解:(1)若,則部分和E-mail:

xuxin@則級(jí)數(shù)發(fā)散。則級(jí)數(shù)收斂；E-mail:

xuxin@當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，

sn為a或0，則 的極限不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散.小結(jié):等比級(jí)數(shù)的公比，級(jí)數(shù)收斂,，級(jí)數(shù)發(fā)散.E-mail:

xuxin@例3

證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.證:為估計(jì)調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和sn，我們?cè)趨^(qū)間[1,+∞]上引入函數(shù)對(duì)于任一x屬于[1,+∞]，存在自然數(shù)k，使得，于是對(duì)上式兩端在區(qū)間[k，k+1]上取定積分當(dāng)時(shí),.顯然不存在.故原級(jí)數(shù)發(fā)散.E-mail:

xuxin@收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本性質(zhì)性質(zhì)1:(收斂的必要條件)如果級(jí)數(shù)E-mail:

xuxin@注1:若反之，則不一定成立。，原級(jí)數(shù)不一定收斂。.如調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散，但即E-mail:

xuxin@注2:收斂的必要條件常用來(lái)證明級(jí)數(shù)發(fā)散。，則原級(jí)數(shù)即若 一定不收斂.E-mail:

xuxin@性質(zhì)2

若級(jí)數(shù)收斂于和s，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k,所得的級(jí)數(shù)也收斂,且其和為ks級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不變E-mail:

xuxin@,分別收斂于,性質(zhì)3

如果級(jí)數(shù)即兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍為收斂級(jí)數(shù)E-mail:

xuxin@注1:稱為級(jí)數(shù)與注2:

若級(jí)數(shù)和發(fā)散。（證明）的和與差.之中有一個(gè)收斂，另一個(gè)發(fā)散，則問：若兩個(gè)都發(fā)散，情況又如何呢？（思考）E-mail:

xuxin@性質(zhì)4

在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性，但其和可能改變.只是當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，加上有限項(xiàng)或去掉有限項(xiàng)，一般會(huì)改變級(jí)數(shù)的和.E-mail:

xuxin@性質(zhì)5:

收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后(不改變各項(xiàng)順序)所產(chǎn)生的級(jí)數(shù)仍收斂于原來(lái)級(jí)數(shù)的和.注1:

這里所謂加括號(hào),就是在不改變各項(xiàng)的順序的情況下,將其某項(xiàng)放在一起作為新的項(xiàng),而產(chǎn)生的是發(fā)散的,

是收斂的.級(jí)數(shù).當(dāng)然,加括號(hào)的方法是有無(wú)窮多種的.注2:

若級(jí)數(shù)在加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)散,那么原級(jí)數(shù)發(fā)散.但是,某級(jí)數(shù)在加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)收斂,則原級(jí)數(shù)未必收斂.也就是說(shuō):發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后可能產(chǎn)生收斂的級(jí)數(shù).例如:但E-mail:

xuxin@的斂散性。例4

判別級(jí)數(shù)解：由于級(jí)數(shù)的幾何級(jí)數(shù)，且是公比為所以收斂由性質(zhì)2可知也收斂E-mail:

xuxin@的斂散性.例5

判別級(jí)數(shù)解:

因級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)均收斂由性質(zhì)3可知收斂.E-mail:

xuxin@3.柯西(cauchy)收斂準(zhǔn)則E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@E-mail:

xuxin@所以對(duì)于任一給定的正數(shù)

，取自然數(shù)則當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)p,都有成立由柯西收斂定理，級(jí)數(shù)收斂E-mail:

xuxin@正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂判別法絕對(duì)收斂與條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法§13.2

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法E-mail:

xuxin@前面所講的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，各項(xiàng)均可是正數(shù)，負(fù)數(shù)或零。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是其中一種特殊情況。如果級(jí)數(shù)中各項(xiàng)是由正數(shù)或零組成，這就稱該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。同理也有負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)都乘以后即變成正項(xiàng)級(jí)數(shù)，兩者有著一些相仿的性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)中占有很重要的地位。很多級(jí)數(shù)的斂散性討論都會(huì)轉(zhuǎn)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.E-mail:

xuxin@定義

設(shè)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).顯然,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和{sn}數(shù)列是單調(diào)增加的，即1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法E-mail:

xuxin@定理

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂收斂有界.有界.是一個(gè)單調(diào)上升數(shù)列收斂.證:“

”“

”

有界,又

存在E-mail:

xuxin@證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，其部分和為:故{sn}有界，所以原級(jí)數(shù)收斂.E-mail:

xuxin@與定理1(比較判別法)設(shè)且是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，那么收斂。如果如果收斂，則發(fā)散，則和 分別表示

和發(fā)散。的部分和，證:設(shè)顯然由(1)收斂有界有界也收斂.(2)發(fā)散無(wú)界無(wú)界也發(fā)散.E-mail:

xuxin@例2的斂