2023-2024學年廣東省廣州市高一下冊期中數學質量檢測模擬試題一、單選題1．是虛數單位，復數等于（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：，故選：C．2．下列四個命題正確的是（

）A．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形 B．棱錐的側面的個數與底面的邊數相等C．棱柱的各條棱長度都相等 D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面【正確答案】B【分析】根據球的表面特征判斷A，根據棱錐的結構特征判斷B，根據棱柱的結構特征判斷CD.【詳解】對于A，球的表面不能展成平面圖形，錯誤；對于B，棱錐的側面的個數與底面的邊數相等，正確；對于C，棱柱的各條側棱長度都相等，但是側棱長度與底面中的棱長不一定相等，錯誤；對于D，正六棱柱中，相對的兩個側面互相平行，但它們不是正六棱柱的底面，錯誤；故選：B3．已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由平面向量的坐標表示與單位向量的概念求解即可.【詳解】由，，得，則，所以與向量同向的單位向量為.故選：D4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則角A為（

）A． B． C．或 D．【正確答案】D【分析】由正弦定理求解.【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以為銳角，所以．故選：D．5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則b的取值是（

）A． B． C． D．3【正確答案】D【分析】由余弦定理列方程求解．【詳解】由題意，即，解得（舍去），故選：D．6．已知向量，滿足，，，則（

）A．1 B． C． D．【正確答案】C【分析】結合已知條件，首先對兩邊同時平方求出，然后利用數量積夾角公式求解即可.【詳解】因為，，，所以，即，故.故選：C.7．若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側面積之比是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據題意作圖，由軸截面得出母線與底面圓半徑的等量關系，再利用底面積和側面積公式求解.【詳解】根據題意作圓錐的軸截面，如圖，設圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為.若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則有，所以.該圓錐的底面積與側面積比值為.故選：A.8．平面四邊形是邊長為4的菱形，且．點N是DC邊上的點，滿足．點M是四邊形內或邊界上的一個動點，則的最大值為（

）A．13 B．7 C．14 D．【正確答案】C【分析】當在點時，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時最大，由，，求可得答案.【詳解】如圖，由數量積的幾何意義：兩向量的數量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積，及點M是四邊形內或邊界上的一個動點，則當在點時，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時最大，因為，又，所以，所以的最大值為.故選：C.二、多選題9．已知i是虛數單位，復數，則以下說法正確的有（

）A．復數的虛部為i B．C．復數的共軛復數 D．復數在復平面內對應的點在第三象限【正確答案】BD【分析】由復數的定義判斷A，復數模的定義判斷B，共軛復數定義判斷C，復數的乘方與復數的幾何意義判斷D．【詳解】復數的虛部是，A錯；，B正確；，C錯；，對應點坐標為，在第三象限，D正確．故選：BD．10．下列四個命題正確的是（

）A．若直線平行平面，則平面內有無數條直線與平行B．過空間中任意三點有且僅有一個平面C．兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內D．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行【正確答案】AC【分析】由線面平行的性質定理判斷A，由平面的基本性質判斷BC，由空間直線的位置關系判斷D．【詳解】選項A，若直線平行平面，則過直線的平面與的交線都與平行，這樣的交線有無數條，A正確；選項B，當空間三點共線時，過這三點有無數個平面，B錯；選項C，兩兩相交且不過同一點的三條直線，如圖，直線兩兩相交，交點分別為，則點不共線，因此由這不共線的三點確定一個平面，從而可得這三條直線都在平面內，即它們共面，C正確；選項D，若空間兩條直線不相交，這兩條直線平行或異面，D錯．故選：AC．11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，下列結論正確的是（

）A．是鈍角三角形 B．C．若，則的面積是 D．【正確答案】ABC【分析】由余弦定理求得角大小，判斷A，根據數量積的定義判斷B，由三角形面積公式判斷C，結合正弦定理判斷D．【詳解】由題意，設，則角最大，，是三角形內角，則是鈍角，A正確；由選項A知為銳角，，B正確；，則，，C正確；由正弦定理得，，D錯誤；故選：ABC．12．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為C．存在，使得D．的最大值為【正確答案】ACD【分析】若，可求得,即，從而可得的值，故A正確；若在上的投影模為，且，則或，故B不正確；對化簡運算即可計算得當向量與的夾角為時，，故C正確；可得的最大值為，故D正確.【詳解】若，則，則，可知，再由，解得，故A正確；若在上的投影向量的模為，且，則或，故B不正確；若，若，則，即，故且時故，時，C正確；，因為，則當時，的最大值為，故D正確，故選:ACD.本題主要考查平面向量的數量積的計算和應用，考查數量積的運算律，意在考查學生對這些知識的理解與掌握水平，屬于較難題.三、填空題13．已知一個球的半徑為R，其體積的數值和表面積的數值滿足關系，則半徑______．【正確答案】【分析】利用球的表面積公式和體積公式即可求解【詳解】因為，所以，解得，故14．已知中，，，，是的角平分線，則________．【正確答案】/【分析】由余弦定理結合角平分線性質求解．【詳解】設，因為是角平分線，則，又由已知得，同理，∴，解得．故．15．已知是虛數單位，復數，．若復平面內表示的點位于第二象限，實數的取值范圍為________．【正確答案】【分析】根據復數的幾何意義求復數的對應點的坐標，由條件列不等式求的取值范圍.【詳解】因為，所以復數在復平面上的對應點的坐標為，由已知可得，，由可得，由可得或，所以，所以實數的取值范圍為，故答案為.16．如圖，已知O為平面直角坐標系的原點，，，．若，則點D的坐標為________．【正確答案】【分析】利用向量的坐標表示求解．【詳解】如圖，延長交軸于，由已知，，，由題意，，，又，所以，，所以點坐標為．故．四、解答題17．已知i是虛數單位，，．(1)求；(2)若滿足，求實數a，b的值【正確答案】(1)；(2)，．【分析】（1）由復數的乘法法則計算；（2）根據復數相等的定義求解．【詳解】（1）由題意；（2）由已知，，又，∴，解得．18．已知向量，．(1)若，求k的值；(2)若，求k的值．【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量平行的坐標表示求解；（2）由向量垂直的坐標表示求解．【詳解】（1）由已知，，∵，∴，解得；（2），∵，∴，解得．19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的周長的最大值．【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得；（2）由正弦定理用表示出，計算，利用兩角和與差的正弦公式化簡變形，再由正弦函數性質得最大值．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，所以，是三角形內角，則；（2）由（1），則，由正弦定理得，，，，，則，，所以．時，取得最大值．20．為了幫助山區群眾打開脫貧致富的大門，某地計劃沿直線AC開通一條穿山隧道．如圖所示，A，B，C為山腳兩側共線的三點，在山頂P處測得三點的俯角分別為，，，且測得，，.用以上數據（或部分數據）表示以下結果.(1)求出線段PB的長度；(2)求出隧道DE的長度．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由條件求出角，在中由正弦定理即可得結果；（2）在中由正弦定理求出，從而求解得.【詳解】（1）由題意，，，所以，，又，，在中，由正弦定理得，即，解得；（2）因為，，所以，，又由（1）知，，在中，由正弦定理得，所以，即，所以.21．如圖，在四邊形中，，．(1)若，，求；(2)若，，，求．【正確答案】(1)2(2)【分析】（1）用表示出，然后由數量積的運算律及定義計算；（2）先求得，然后平方后轉化為數量積求模．【詳解】（1）由題意，∴；（2）由已知，，∴．22．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【正確答案】(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角為邊后，再由余弦定理可求得；（2）由正弦定理化角為邊，代入（1）中結論化簡后，得出，由銳角三角形得，化簡后可得的取值范圍，然后利用函數的單調性的范圍，從而得出結論．【詳解】（1）∵由正弦定理和余弦定理得,整理得，，又是三角形內角，∴；（2）為銳角三角形，則，，∴，又，，，，則，，設，，則，則，因此當時，，，，單調遞減，當時，，，，單調遞增，，當時，，當或時，，∴，∴，即．2023-2024學年廣東省廣州市高一下冊期中數學質量檢測模擬試題一、單選題1．復數純虛數，則實數（

）.A．0 B． C．1 D．2【正確答案】B【分析】根據純虛數的定義列方程求即可.【詳解】∵復數為純虛數，，，.故選：B.2．已知是兩個不共線的向量，，.若與是共線向量，則實數（

）.A．2 B． C．4 D．【正確答案】D【分析】根據平面向量的共線的充要條件列出等式計算即可.【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，又，，即，∴，∴，所以，故選：D.3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．3【正確答案】A【分析】設圓臺上底面半徑為，由圓臺側面積公式列出方程，求解即可得解.【詳解】設圓臺上底面半徑為，由題意下底面半徑為，母線長，所以，解得.故選：A.本題考查了圓臺側面積公式的應用，屬于基礎題.4．已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【正確答案】D【分析】根據平面向量數量積坐標運算公式以及向量模的坐標表示，列出關于的方程，從而可得結果.【詳解】因為向量，，所以，，又，所以，所以，即.故選：D.5．若復數，則的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據復數的運算化簡，求出，即可得出的虛部.【詳解】因為，所以，故的虛部為.故選：B.6．如圖，在中，弦AB的長度為2，則的值為（

）.A．與半徑有關 B．1 C．2 D．4【正確答案】C【分析】設圓C的半徑為r，，則，然后可得答案.【詳解】設圓C的半徑為r，，連接圓心與線段的中點，則，所以，∴.故選：C.7．2022年北京冬奧會拉開帷幕，動作觀賞性強?視覺沖擊力大的自由式滑雪大跳臺是目前“冬奧大家族”中最年輕的項目.首鋼滑雪大跳臺實現了競賽場館與工業遺產再利用?城市更新的完整結合，見證了中外運動員在大跳臺“沖天一跳”的精彩表現和北京這座世界上獨一無二“雙奧之城”的無上榮光.如圖為大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高處點的高度，小王在場館內的兩點測得的仰角分別為（單位：），且，則大跳臺最高高度（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】分別在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故選：C8．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設x＝，y＝，則的值為（

）A．3 B．4C．5 D．6【正確答案】A【分析】由向量共線的推論知且，結合已知有，再由重心的性質有，根據平面向量基本定理列方程組即可求值.【詳解】由題意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故，所以，可得，即.故選：A二、多選題9．實數滿足，設，則下列說法正確的是（

）A．z在復平面內對應的點在第一象限 B．C．z的虛部是 D．z的實部是1【正確答案】ABD【分析】由條件結合復數相等的定義列方程求，由此可得，進而根據復數的概念和幾何意義求得答案.【詳解】實數滿足，可化為，所以，解得，所以，對于A，z在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限，故A正確.對于B，|z|=，故B正確.對于C，z的虛部是1，故C錯誤.對于D，z的實部是1，故D正確.故選：ABD.10．下列關于平面向量的說法中正確的是（

）A．已知，均為非零向量，若，則存在唯一實數，使得B．在中，若，則點為邊上的中點C．已知，均為非零向量，若，則D．若且，則【正確答案】ABC【分析】利用向量共線、向量加法、向量垂直、向量運算等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，根據向量共線的知識可知，A選項正確，B選項，，根據向量加法的運算可知點為邊上的中點，B選項正確.C選項，由兩邊平方并化簡得，所以，C選項正確.D選項，是一個數量，無法得到兩個向量相等，D選項錯誤.故選：ABC11．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，則直線a平行于平面內的無數條直線B．若，，，則a與b是異面直線C．若，，則D．若，，則一定相交【正確答案】AC由題意得出或，不管是哪一種情況，都能在平面內找到無數條直線與直線平行即可判斷A選項；由題意得出直線與b沒有交點，則與b可能異面，也可能平行，即可判斷B選項；由，得出直線與沒有公共點，則，即可判斷C選項；當直線平行時，也滿足題意，即可判斷D選項.【詳解】A中，，，則或，所以不管在平面內還是平面外，都有結論成立，故A正確；B中，直線與b沒有交點，所以與b可能異面，也可能平行，故B錯誤；C中，直線與平面沒有公共點，所以，故C正確；D中，直線與平面有可能平行，故D錯誤.故選：AC本題主要考查了直線與直線，直線與平面的位置關系，屬于基礎題.12．現有滿足，且的面積，則下列命題正確的是（

）A．周長為 B．三個內角A，C，B滿足關系C．外接圓半徑為 D．中線的長為【正確答案】AB【分析】由已知可得，可得，利用余弦定理求，再求，結合面積公式求，可得周長，結合正弦定理可得外接圓半徑，由此判斷A，B，C，結合余弦定理求中線長，判斷D.【詳解】因為，所以，設，則，所以，又，所以，又，所以，B正確；因為，所以，所以，所以，所以周長為，A正確；設的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以外接圓半徑為，C錯誤；由余弦定理可得，，由，可得，由已知，所以，所以，所以，中線的長為，D錯誤；故選：AB.三、填空題13．已知平面向量，若，則__________.【正確答案】0【分析】首先求出的坐標，依題意可得，根據向量數量積的坐標表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，所以，又，所以，解得；故四、雙空題14．已知是關于x的方程的一個根，則實數________，實數________.【正確答案】【分析】由條件可得，根據復數相等定義列方程求即可.【詳解】∵方程的一個根，∴即.∴解得.故；.五、填空題15．正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，為中點，則三棱錐的體積為________．【正確答案】【詳解】試題分析：因為正三棱柱的底面邊長為，側棱長為為中點，所以底面的面積為，到平面的距離為就是底面正三角形的高，所以三棱錐的體積為．幾何體的體積的計算．16．中，的角平分線交AC于D點，若且，則面積的最小值為________.【正確答案】【分析】由，結合三角形面積公式證明，根據基本不等式證明，由此求出面積的最小值.【詳解】因為，為的角平分線，所以，又，故由三角形面積公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以面積的最小值為.故答案為.知識點點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式，具有一定的綜合性，問題解決的關鍵在于結合圖形建立等量關系，結合三角形面積公式確定邊的關系，屬于較難題.六、解答題17．已知平面向量，，，．(1)求；(2)若，求實數k的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據列方程求得，進而求得.（2）根據向量平行列方程，化簡求得的值.【詳解】（1）因為，，且，所以，則，故．又因為，所以，故．（2）由（1）及條件，．因為，所以，解得．18．在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面積為，求的值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理求解即可；（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.19．現有“甜筒”狀旋轉幾何體，可以看作一個圓錐與一個半球組合而成，其中圓錐的軸截面是邊長為（單位：）的正三角形.(1)求該幾何體的體積（單位：）；(2)求該幾何體的表面積（單位：）.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）求出球體的半徑，圓錐的底面半徑、母線長以及