江蘇省連云港市東海高級中學2023年高二上數學期末聯考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.2．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg3．已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.4．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.5．一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.6．均勻壓縮是物理學一種常見現象.在平面直角坐標系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.7．數列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.8．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點）與一條射線9．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.10．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構成等差數列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.1811．已知公差為的等差數列滿足，則（）A B.C. D.12．已知等比數列的前n項和為，公比為q，若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與，若，則實數a的值為______14．在等比數列中，，，則公比________.15．寫出一個同時具有性質①②的函數___________.（不是常值函數），①為偶函數；②.16．已知數列滿足，將數列按如下方式排列成新數列：，，，，，，，，，…，，…．則新數列的前70項和為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；（2）在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列和數學期望18．（12分）在中，是的中點，，現將該平行四邊形沿對角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點，求直線AD與EM所成角的取值范圍21．（12分）在正方體中，，，分別是，，的中點.（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.22．（10分）已知等差數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式及；（2）設，求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區域的面積和正方形區域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.2、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D3、D【解析】由題設易知四邊形為矩形，可得，結合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：由橢圓的對稱性及矩形性質可得，由已知條件得到，進而得到橢圓參數的齊次式求離心率范圍.4、C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點睛】用導數求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設切點，聯立方程組，求出切點坐標，再寫出切線方程：.5、D【解析】根據點到直線的距離與點到點之間距離的關系化簡即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設動圓圓心P點坐標為（x，y），動圓的半徑為r，d為動圓圓心到直線的距離，即r，則根據兩圓相外切及直線與圓相切的性質可得，所以，化簡得：∴動圓圓心軌跡方程為故選：D6、C【解析】設單位圓上一點為，經過題設變換后坐標為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設，單位圓上一點坐標為，經過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應坐標為，∴，則，故中，可得：.故選：C.7、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.8、B【解析】化簡得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點）與一條直線，故選：B.9、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點睛】本題考查了根據直線垂直計算參數，屬于簡單題.10、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項和為.故選：C.11、C【解析】根據等差數列前n項和，即可得到答案.【詳解】∵數列是公差為的等差數列，∴，∴.故選：C12、D【解析】根據，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可得，從而可求出實數a的值【詳解】因為直線與，且，所以，解得，故答案：14、【解析】根據等比數列的性質求解即可.【詳解】因為等比數列中,故,又,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的性質運用,需要注意分析項與公比的正負,屬于基礎題.15、（答案不唯一）【解析】利用導函數周期和奇偶性構造導函數，再由導函數構造原函數列舉即可.【詳解】由知函數的周期為，則，同時滿足為偶函數，所以滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.16、##2.9375【解析】先根據題干條件得到，再利用錯位相減法求前64項和，最后求出前70項和.【詳解】①，當時，；當時，②，①-②得：，即又滿足，所以由，得令，則，兩式相減得，則所以新數列的前70項和為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識計算出基本事件總數和滿足題意的基本事件數，根據古典概型概率公式求得結果；（2）確定所有可能的取值，根據超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應的概率，進而得到分布列和數學期望.【小問1詳解】名同學中，會法語的人數為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；選派的人中恰有人會法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先求出BD，通過勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性質得線面垂直，從而得線線垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小問1詳解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.【小問2詳解】因為點是的中點，在中，由（1）易知,.過點作垂直的延長線于，再連接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.19、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程20、（1）（2）【解析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達出，結合第一問結論求出，從而求出答案.【小問1詳解】取AC的中點F，連接FD，FE，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因為，所以平面DEF，因為DH平面DEF，所以AC⊥DH，因為，所以DH⊥平面ABC，因為，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因為，，所以△DEF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；【小問2詳解】設，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問可知：，則其中，且，，故，由第一問可知，又是的中點，所以，所以，因為三棱錐中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.【點睛】針對于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標系來進行求解，若不容易建立坐標系時，也可以通過基底表達出各個向量，進而求出答案.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別證明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理證明平面∥平面即可；（2）由∥得即為直線與所成角，在直角△即可求解.【小問1詳解】∵∥且EN平面MNE,BC平面MNE,∴BC∥平面M