帶鋸條弦振動的行波解

鋸屑機是木材加工行業中應用最廣泛的設備。帶鋸條的受力極其復雜，鋸解作業時極易產生橫向抖動或晃動，當干擾頻率與固有頻率發生耦合時，將導致共振現象，嚴重影響鋸解質量，易損壞鋸條(Mote,1984;1990;Yangetal.，1991)。帶鋸條的張緊力是帶鋸機設計與制造的重要參數(Mote,1990)。為保證鋸材質量，提高鋸切效率，有效措施之一就是提高帶鋸條張緊力。因此，研究帶鋸條振動特性尤為重要。Mote等國外學者對帶鋸條振動作了許多工作，國內研究相對較少，主要難點體現在支座的簡化、作用力的假設和轉動的影響等方面(馬巖，1998)。本文將帶鋸條的振動簡化為弦的振動，應用振動理論(清華大學工程力學系，1980;季文美等，1985;梁昆淼，1995)和行波解，對帶鋸條的動態力學特性進行研究。1波機1.1y1、fps1、at1-x0的移動設弦的長度為l、橫截面積為A、密度為ρ、張力為T，弦的振動微分方程(清華大學工程力學系，1980;莫爾斯等，1984;徐兀，1987;杜功煥等，2001):稱波動方程，式中a=ρ槡AT稱波速。它是一個二階偏微分方程，該方程的解可以寫成下列形式:F1(at-x)與F2(at+x)分別為任意函數(莫爾斯等，1984)。函數F1(at-x)的物理意義:設y1=F1(atx)，當t=0時，y1=F1(-x)。如果觀察的位置為x=x0，那么y1=F1(-x0)，如圖1a所示，經過t=t1的時間，弦的位移就變成了y1=F1(at1-x1);如果觀察的位置在x1處，將觀察到和原來(t=0,x=x0)的狀態一樣，F1(at1-x1)=F1(-x0)，如圖1b所示。這時應該滿足at1-x1=-x0，它表示經過t=t1的時間，波形沿x正方向移動到了x1點，其移動速度為a。F1(at-x)稱波函數，它表示以波速a向x正方向傳播的波動過程。如果t1正好是弦的振動周期，即t1=T，那么x1與x0相隔的距離就是一個波長λ=aTㄢ函數F2(at+x)代表的是一種以傳播速度a向負x方向傳播的波動過程。若弦的兩端固定，弦的長度為l，其邊界條件為:代入式(2)，可得:由式(3)可推知:將式(5)代入式(4)，可得:作變量代換，令z=at-l，則式(5)可改為:式(6)表示函數F1是以2l為空間周期的周期函數。由于弦的兩端固定，F1(at+x)為左行波，它由右向左行進，遇到左端點，行波將要反射回來，于是，行波將由左向右行進，遇到右端點行波又將反射回來，改向左行進，波行進的空間周期為2l(紀多輒，2003;馬大遒等，2006)，如圖2所示。有界弦的2個行波F1(at-x)和F2(at+x)迭加，將會形成駐波，如圖3所示，振動固有頻率公式:1.2靜止不動的帶鋸條振動頻率把張緊的帶鋸條的振動看成為受拉伸弦的振動，借助經典的弦振動理論研究帶鋸條的振動，再考慮帶鋸條的轉速和慣性力對頻率的影響。圖4中，a為帶鋸條行波的波速(m·s-1);v為帶鋸條的運行線速度(m·s-1)。靜止時，帶鋸條固有頻率公式為:當帶鋸條運動時，駐波將隨帶鋸條運動而運動，這樣鋸條就會出現抖動或晃動現象，見圖5ㄢ靜止不動的帶鋸條的橫向振動頻率同弦振動的固有頻率的計算公式一樣，即當帶鋸條轉動時，行波與轉動的方向一致稱前行波;行波與轉動方向相反稱后行波。行波沿著帶鋸條傳播的時間將是:1前波2行波所需要的時間式中:t1,t2表示完成空間周期2l、前行波和后行波所需要的時間。振動的周期為:行波基頻為:式中:a=ρ槡TA,T表示運動帶鋸條的張力，v=2πRω表示帶鋸條線速度。對于n階諧波，頻率方程式為:2鋸屑動力學計算模型1tt=t0時帶鋸輪靜止時，鋸條張緊力(初拉力)為T0，如圖6a所示。帶鋸條振動頻率計算公式為:當n=1時，稱基頻。2常用的三大張力張力圖ΔT為鋸條轉動引起的松緊邊張力差。轉動時，鋸條兩邊的張力不再相等，T1為緊邊張力，T2為松邊張力，張力差ΔT=T1-T2，如圖6b所示。緊邊波速:松邊波速:基頻為:3常用的常用計算Qn為帶鋸條離心作用所引起的慣性力。圖7中:D為鋸輪直徑(m);R為鋸輪半徑(m);ω為鋸輪角速度(rad·s-1);ρ為鋸條密度(kg·m-3);dm為單元質量(kg);dα為單元角度(rad);qn為單位長度上的慣性力(N·m-1);A為鋸條橫截面積(m2);Qn為慣性力(N)。離心力(慣性力)對張緊力的貢獻:緊邊波速:松邊波速:基頻為:3動頻率理論計算1固有頻率測量在靜止時，實測鋸條預緊力T0=3412Nㄢ固有頻率計算公式為:本試驗根據隨機振動理論(戴詩亮，1984)，采用橡膠錘激振帶鋸條，應用頻譜分析法測量帶鋸條系統的固有頻率，其主要儀器包括南京安正CRAS振動及動態信號采集分析系統、CA-YD-185壓電式內置IC加速度計等(王正等，2008a;2008b)。靜止時，帶鋸條系統前6階固有頻率理論解見表1ㄢ2帶鋸條系統前6階動頻率理論解驅動帶鋸輪扭矩Me的計算式為:由式(16)得:將T0=3412N,P=7.5kW和鋸輪轉速n=970r·min-1代入ΔT公式計算如下:緊邊波速:松邊波速:根據基頻公式:f1=a2l(1-a2v2)，得緊邊基頻:松邊基頻:張力T=T0±ΔT/2時，帶鋸條系統前6階動頻率理論解見表2ㄢ3帶鋸條系統載荷慣性力Qn的計算。鋸條的線密度:ρ珋=ρA=7800×7.65×10-5=0.60kg·m-1,慣性力:張緊力(初拉力)T0=3412N時，緊邊波速:松邊波速:緊邊頻率:松邊頻率:張力T=T0±ΔT/2+Qn時，帶鋸條系統空載時的前6階動頻率理論解見表3ㄢ4帶鋸條振動的特性1)緊邊固有頻率的理論值為(fT)1=21.8Hz、松邊固有頻率的理論值為(fT)2=21.0Hz，而應用頻譜分析得出的(fR)1=24.9Hz、(fR)2=21.6Hz，兩者比較一致(表3)。說明用行波理論研究和分析帶鋸機轉動時的固有頻率特性是完全可行的，精度也相當滿意。2)帶鋸條動頻不僅與張緊力有關，而且與鋸條的線速度有關。理論分析(表3)表明;考慮線速度影響時，緊松邊的基頻均小于不考慮轉速v的頻率。帶鋸機轉動時的實測結果也驗證其理論分析，由于動頻率變小，相當于轉動的帶鋸條的張緊力降低，俗稱“松”了，因而產生晃動或抖動現象;同時由于帶鋸條轉動，帶動弦駐波向前運動，弦除上下振動而且還向前運動，形成蛇形運動，這種蛇形運動也使帶鋸條出現晃動或抖動現象。3)計算松緊邊拉力差時，本研究用的是全功率，而空載時，消耗的功率小于全功率，即使按全功率計算，ΔT/2=106N，僅占張