吉林省普通高中友好學校聯合體2023年數學高二上期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在公比為為q等比數列中，是數列的前n項和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數列是等比數列C. D.2．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣23．已知等差數列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.4．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或115．已知不等式解集為，下列結論正確的是（）A. B.C. D.6．1202年，意大利數學家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數，則有(n＞2)，．設數列{an}滿足：an＝，則數列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.187．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.8．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）9．雙曲線C:的右焦點為F，過點F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.210．已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.11．函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞增B.函數的遞減區間為C.函數在處取得極大值D.函數在處取得極小值12．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，向量為平面ABC的一個法向量，其中，，則向量的坐標為______14．已知等差數列滿足，請寫出一個符合條件的通項公式______15．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.16．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）求函數的單調區間；（2）求函數的極值.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小20．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結構如圖所示，上部分是側棱長為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.（1）若長為，把蒙古包的體積表示為的函數；（2）求蒙古包體積的最大值.21．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點，當時，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值22．（10分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據等比數列的通項公式、前項和公式的基本量運算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯誤；，，顯然數列不是等比數列，故B錯誤；，故C錯誤；，，故D成立；故選：D2、A【解析】根據題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.3、C【解析】首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.4、A【解析】根據直線平移的規律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位得到平移后直線的方程，然后因為此直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出關于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標準式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因為該直線與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點：直線與圓的位置關系5、C【解析】根據不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.6、B【解析】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，再根據an＝，即可求出數列{an}的前36項和【詳解】由奇數+奇數＝偶數，奇數+偶數＝奇數可知，數列{Fn}中F3，F6，F9，F12，，F3n為偶數，其余項都為奇數，∴前36項共有12項為偶數，∴數列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B7、B【解析】根據正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.8、B【解析】根據空間向量線性運算的坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以.故選：B.9、D【解析】將條件轉化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標原點)，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.10、C【解析】對函數求導，利用導數的幾何意義結合垂直關系計算作答.【詳解】函數定義域為，求導得，于是得函數的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C11、C【解析】根據函數單調性與導數之間的關系及極值的定義結合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據函數的導函數的圖象可得，當時，，故函數在和上遞減，當時，，故函數在和上遞增，所以函數在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.12、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據向量為平面ABC的一個法向量，由求解.【詳解】因為，，所以，又因為向量為平面ABC的一個法向量，所以，解得，所以，故答案為：14、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結合等差數列的性質可得，則，從而可寫出數列的一個通項公式【詳解】因為是等差數列，且，所以，當公差為0時，；公差為1時，；…故答案為：3（答案為唯一）15、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件,求出a的最小值.【詳解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因為“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案為:3.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的應用,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎題.16、【解析】根據題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標準方程為故答案為：【點睛】判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞減區間為和，單調遞增區間為（2）極小值，極大值為【解析】（1）先對函數求導，然后根據導數的正負可求出函數的單調區間，（2）根據（1）中求得單調區間可求出函數的極值【小問1詳解】.當變化時，，的變化情況如下表所示：00減極小值增極大值減的單調遞減區間為和，單調遞增區間為.【小問2詳解】由（1）可知在處取得極小值，在處取得極大值.的極小值為，極大值為.18、（1）（2）存在，【解析】（1）根據離心率及短軸長，利用橢圓中的關系可以求出橢圓方程；（2）設直線的方程，與橢圓方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，結合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問1詳解】，，，，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設，，則，，∵，∴.即，因為，，即..所以，或.又時，直線過點，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設條件.19、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數量積，轉化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°20、（1），其中.（2）.【解析】（1）利用柱體和椎體體積公式求得的函數表達式.（2）利用導數求得體積的最大值.【小問1詳解】正六邊形的邊長（0），底面積，于是，其中.【小問2詳解】，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，.綜上，當時，蒙古包體積最大，且最大體積為.21、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結合面面垂直判定定理即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的公式可得，進而解方程即可求出結果.【小問1詳解】因為，O是BC的中點，所以，又因為，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因為平面ABC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因為是邊長為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系設，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因為A－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設平面BCD的法向量為，,則，取平