第第頁遼寧省名校聯盟2023-2024學年高三上學期第三次聯考數學模擬卷A（含解析）遼寧省名校聯盟2023-2024學年高三上學期第三次聯考數學模擬卷A

解析版

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合，集合，則（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】∵，，

∴，故選A。

2．已知復數滿足：，則（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】設（），則，∴，

∴，解得、，∴，故選B。

3．命題：設為的內角，則“是的充分不必要條件”，命題：設，則“是的充分不必要條件”，命題：設兩個非零向量、，則“且”是“”的充分不必要條件。則這三個命題中為真命題的個數是（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】（）或（），∴不一定成立，

反之若，則一定成立，∴“是的必要不充分條件”，∴命題是假命題，

，∴充分性成立，

反之，若，有可能，此時不成立，

∴“是的充分不必要條件”，∴命題為真命題，

非零向量、，“且”，則、可能是方向相反向量，∴推不出成立，

當時，一定有且，

∴“且”是“”的必要不充分條件，∴命題為假命題，

故選B。

4．瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布中》寫道：“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川。飛流直下三千尺，疑是銀河落九天?！睘榱藴y量某個瀑布的實際高度，某同學設計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內，瀑布底端與山道在同一平面內，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為，沿山道繼續走，抵達點位置測得瀑布頂端的仰角為。已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為，則該瀑布的高度約為（）。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如圖所示，設瀑布頂端為，底端為，瀑布高為，

該同學第一次測量時的所處的位置為，第二次測量時的位置為，

由題意可知，、，且，∴、，

在中，由余弦定理可知：，

即，解得，故選A。

5．已知函數，函數，用表示、中的最小值，設函數

，則函數的零點個數為（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】作出函數和函數的圖像如圖，兩個圖像的下面部分圖像，

解得或，解得或，

∵，∴當時，函數的零點個數為個，故選C。

6．設定義在上的偶函數（，），對任意都有

，則當取最小值時，（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】，∵為偶函數，∴（），解得（），

∵，∴令，得，即，

由得，

把換成得，∴的最小正周期，∴，

∴，∴，故選C。

7．已知函數（，）為奇函數，（為常數），且，

恒成立。設與的圖像在軸右側的交點依次為、、……，為坐標原點，若的面積最小值為，且為鈍角，則的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵為奇函數，∴，∴（），

又∵，∴，∴，

又（為常數），且，恒成立，

∴，∴，∴，∴，

做與的大致圖像如圖所示，

設的周期為，在軸右側的第二個零點為，

四邊形則是平行四邊形，、，

則，解得，

又∵，∴，解得，

綜上所述，的取值范圍為，故選D。

8．已知、、滿足：，，則（）。

A、、B、、

C、、D、、

【答案】B

【解析】由題意得，即，則，則，

令，，根據減函數加減函數為減函數的結論知：在上單調遞減，

當時，可得，∴，

兩邊同取以為底的對數得，

對通過移項得，

兩邊同取以為底的對數得，

∴，∴，∴且、，∴，∴A、C選項錯，

當時，、，，

，∴，且、，

∴，∴D選項錯，故選B。

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。

9．已知，則下列不等式正確的是（）

A、B、C、D、

【答案】ABC

【解析】A選項，∵，∴，對，

B選項，∵，，∴，對，

C選項，∵，∴，∴，對，

D選項，設，則，∴在上單調遞增，

∵，∴，∴，錯，

故選ABC。

10．已知平面向量、，則下列說法正確的是（）。

A、B、在方向上的投影向量為

C、與垂直的單位向量的坐標為D、若向量與向量共線，則

【答案】AD

【解析】A選項，由題意知、，，則，對，

B選項，在方向上的投影向量為，錯，

C選項，與垂直的單位向量的坐標為或，錯，

D選項，∵向量與向量共線，∴若存在，使得，則，

∴，對，

故選AD。

11．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則以下結論正確的是（）。

A、B、C、D、

【答案】AB

【解析】在中，，

∵，∴，∴A選項對，

由余弦定理得，，∴，

由正弦定理得，，∴，即，

∴或，若，可得，∴，

又，∴，此時，，滿足，∴B選項對，

當、時，，∴C選項錯，

由B選項可知，∴，即，∴D選項錯，

故選AB。

12．在三棱錐中，，，，為的外心，則下列說法正確的是

（）。

A、當時，B、當時，平面平面

C、直線與平面所成角的正弦值為D、三棱錐的高的最大值為

【答案】ABC

【解析】A選項，當時，∵，，∴為等邊三角形，

又，∴三棱錐為正三棱錐，∴，對，

二級結論：正三棱錐的側棱與底面相對的底棱相互垂直。

B選項，∵為的外心，，

∴點在平面的射影為點，∴平面，

又、、，∴為直角三角形，，

∴點為的中點，又∵平面，∴平面平面，對，

C選項，由B選項可知平面，又平面，∴，

∴即為直線與平面所成角的平面角，

設的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，∴，

∴，∴，對，

D選項，在中，，，

由余弦定理得，∴，

∴，

∴，

在中，由余弦定理得：

，

∴，當且僅當時等號成立，

∴，

設三棱錐的高為，∵，∴，

∴，

∴三棱錐的高的最大值為，錯，

故選ABC。

三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。

13．如圖所示，有一電視塔，在地面上一點測得電視塔尖的仰角是，再向塔底方向前進米到達點，此時測得電視塔尖的仰角為，則此時電視塔的高度是米。（精確到米）

【答案】

【解析】由題得、、，設，則，

在中，，，∴米。

∴此時電視塔的高度是米。

14．已知，，則的取值范圍為。

【答案】

【解析】設，，則，

同理，則的最小值為，

當且僅當且、同向時取等號，

，

則，

當且僅當，即，即時取等號，

∴的取值范圍為。

不等式鏈：。

15．已知函數是定義域為的偶函數，當時，，若關于的方程

（）有且僅有個不同實數根，則實數的取值范圍為。

【答案】

【解析】∵函數是定義域為的偶函數，當時，，

∴當時，，

作函數的圖像，

由于關于的方程，

解得或，

當或時，，當或時，，

由，則有個實根，由題意，只要有個實根，

由圖像可得當時，有個實根，當時，有個實根，

綜上可得：或，即實數的取值范圍為。

16．已知函數，函數，若，使得（）成立，則實數的取值范圍為。

【答案】

【解析】當時，、，

當時，，

令，定義域為，，

令，定義域為，

，∴在內單調遞增，而，

∴當時，，即，∴在內單調遞減，

當時，，即，∴在內單調遞增，

∴在處取得極小值也是最小值，∴，

∴，解得，即實數的取值范圍為。

四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足。

（1）求；

（2）若，，是的中線，求的長。

【解析】（1）在中，，∵，

∴，2分

由正弦定理得：，∴，

∵、，∴、，∴，∴；4分

（2）∵，∴，∴，∴，5分

由余弦定理得：，∴，6分

又∵是的中線，∴，

∴，∴，9分

∴的長為。10分

18．（本小題滿分分）設正項數列的前項和為，且。

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列是首項為，公差為的等差數列，求數列的前項和。

【解析】（1）當時，，即，

解得（舍去）或（可?。?，2分

當時，，，

兩式相減得：，

即，即，4分

∵恒成立，∴，∴，

∴是首項為，公差為的等差數列，∴；6分

（2）由（1）可得，7分

∵是首項為，公差為的等差數列，∴，9分

∴，11分

∴。12分

19．（本小題滿分分）已知曲線（，）相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，若將函數的圖像先向左平移個單位，再向下平移個單位，得到函數的圖像，且為奇函數。

（1）求函數的的解析式和其圖像的對稱中心；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍。

【解析】（1）由題意可知，∴，∴，1分

將函數的圖像先向左平移個單位，再向下平移個單位后得到的新函數為：

，2分

又為奇函數，且定義域為，∴且，，，

∴，，∴，4分

令，，解得，，

∴的對稱中心為，；5分

（2）由（1）可知，設，

∵，∴，∴，∴，

由關于的方程在區間內有兩個不相等的實數根，

可得在區間內有唯一一個實數根，7分

令，則，

當在內有兩個根時，

只需，即，即，9分

當在內有唯一一個根時，

只需，即，即，11分

綜上所述，或。12分

20．（本小題滿分分）已知函數（）。

（1）若函數在處的切線的斜率為，求實數的值；

（2）若，求實數的取值范圍。

【解析】（1）的定義域為，，1分

則，解得；3分

（2）由可得：，4分

令，則的定義域為，，5分

令，的定義域為，恒成立，6分

∴在上單調遞增，又，且，7分

∴存在，使得，即，8分

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴為的極小值，也是最小值，，9分

令，兩邊同時取對數得：，

又由得，則，則，即，

∴，即，∴，

∴，解得，∴實數的取值范圍為。12分

21．（本小題滿分分）已知數列是各項為正數的等差數列，其中，且、、成等比數列，數列的前項和為，滿足。

（1）求數列、的通項公式；

（1）如果，設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由。

【解析】（1）設的公差為，∵，∴，

∵、、成等比數列，∴，即，

∵，∴，即，

整理得，即，解得（舍去）或（可?。?，

∴，3分

當時，，∴，

當時，，∴，∴，

∴是首項為、公比為的等比數列，；5分

（2）由（1）可知，，6分

∴

，

，

∴，

∴，9分

∵，∴，整理得，

構造函數，，，

當時，恒成立，∴在內連續且單調遞增，

又、，∴滿足成立的的最小值為。12分

22．（本小題滿分分）已知函數，。

（1）求函數的單調區間；

（2）若，求實數的取值范圍。

【解析】（1）的定義域為，，1分

當時，令，解得，

當時，，∴在內單調遞減，

當時，，∴在內單調遞增，2分

當時，恒成立，∴在上單調遞減，3分

當時，當時，，∴在內單調遞增，

當時，，∴在內單調遞減；4分

（2）原不等式為，即，

∵，∴，6分

設，定義域為，則在內單調遞增，

又、，∴存在唯一一個使得，即，8分

設，定義域為，，令，解得，

當時，，∴在內單調遞減，

當時，，∴在內單調遞增，

∴在處取得極小值也是最小值，∴，∴，

∴，∴，10分

∴，

∴，

當且僅當，即時，等號成立，

∴，∴實數的取值范圍為。12分遼寧省名校聯盟2023-2024學年高三上學期第三次聯考數學模擬卷A

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合，集合，則（）。

A、

B、

C、

D、

2．已知復數滿足：，則（）。

A、

B、

C、

D、

3．命題：設為的內角，則“是的充分不必要條件”，命題：設，則“是的充分不必要條件”，命題：設兩個非零向量、，則“且”是“”的充分不必要條件。則這三個命題中為真命題的個數是（）。

A、

B、

C、

D、

4．瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布中》寫道：“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川。飛流直下三千尺，疑是銀河落九天?！睘榱藴y量某個瀑布的實際高度，某同學設計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內，瀑布底端與山道在同一平面內，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為，沿山道繼續走，抵達點位置測得瀑布頂端的仰角為。已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為，則該瀑布的高度約為（）。

A、

B、

C、

D、

5．已知函數，函數，用表示、中的最小值，設函數

，則函數的零點個數為（）。

A、

B、

C、

D、

6．設定義在上的偶函數（，），對任意都有

，則當取最小值時，（）。

A、

B、

C、

D、

7．已知函數（，）為奇函數，（為常數），且，

恒成立。設與的圖像在軸右側的交點依次為、、……，為坐標原點，若的面積最小值為，且為鈍角，則的取值范圍為（）。

A、

B、

C、

D、

8．已知、、滿足：，，則（）。

A、、

B、、

C、、

D、、

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。

9．已知，則下列不等式正確的是（）

A、

B、

C、

D、

10．已知平面向量、，則下列說法正確的是（）。

A、

B、在方向上的投影向量為

C、與垂直的單位向量的坐標為

D、若向量與向量共線，則

11．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則以下結論正確的是（）。

A、

B、

C、

D、

12．在三棱錐