第第頁第3章圓錐曲線的方程練習（含解析）2023-2024學年高中數學人教A版（2023）選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線的方程練習

一、單選題

1．2023年4月29日，中國空間站天和核心艙發射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰術成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經九個多月.在這段時間里，空間站關鍵技術驗證階段完成了5次發射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務.一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）

A．B．C．D．

2．已知是雙曲線上的點、是其左、右焦點，且，若的面積為，則等于（）

A．B．C．D．

3．若點在以點F為焦點的拋物線（t為參數）上，則（）

A．4B．5C．6D．7

4．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為（）

A．B．C．D．

5．與雙曲線有共同的漸近線，且經過點的雙曲線的方程為

A．B．

C．D．

6．已知點在拋物線上，若點A到拋物線焦點的距離等于，則焦點到拋物線準線的距離等于（）

A．B．

C．D．

7．如圖所示，一隧道內設有雙行線公路，其截面由一個長方形的三條邊和拋物線的一段構成.為保證安全，要求行駛車輛頂部（假設車頂為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，則車輛通過隧道的限制高度為（）

A．B．C．D．

8．拋物線的焦點，準線是，點是拋物線上一點，則經過點，且與相切的圓的個數為（）

A．1B．2C．3D．無數多個

二、多選題

9．若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中錯誤的是（）

A．若，則C為橢圓

B．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則

C．曲線C可能是圓

D．若C為雙曲線，則

10．已知點P是焦點為F的拋物線上的動點，拋物線C的準線l的方程為.則（）

A．

B．過點P作準線l的垂線，垂足為H，直線與準線l相交于點D，若為等腰直角三角形，點P位于第一象限，直線PF的傾斜角為銳角，則點P的橫坐標為8

C．直線與拋物線C交于另一點E，若，則點P與點E的橫坐標之差為

D．過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最大值為

11．已知雙曲線的左右焦點分別為，離心率為2，P為C上一點，則（）

A．雙曲線C的實軸長為2B．雙曲線C的一條漸近線方程為

C．D．雙曲線C的焦距為4

12．已知圓錐曲線與（，）的公共焦點為，．點M為，的一個公共點，且滿足，若圓錐曲線的離心率為，則下列說法錯誤的是（）

A．的離心率為B．的離心率為

C．的漸近線方程為D．的漸近線方程為

三、填空題

13．過點，頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線的標準方程為．

14．設橢圓的上頂點為A，左，右焦點分別為，連接并延長交橢圓于點，若，則該橢圓的離心率為.

15．過雙曲線C：（b>a>0）的焦點F1作以焦點F2為圓心的圓的一條切線，切點為M，的面積為，其中c為半焦距，線段MF1恰好被雙曲線C的一條漸近線平分，則雙曲線C的離心率為.

16．若拋物線的焦點在圓外，則實數m的取值范圍是．

四、解答題

17．已知橢圓經過點，離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線經過點且與相交于兩點（異于點），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.

18．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：

（1）橢圓的一個頂點和焦點分別是直線與兩坐標軸的交點；

（2）過點，的橢圓.

19．已知焦點在軸上的雙曲線的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知的一個焦點與關于直線對稱．

(1)求雙曲線的方程；

(2)設直線與雙曲線的左支交于、兩點，另一直線經過及的中點，求直線在軸上的截距的取值范圍．

20．已知：若點是雙曲線上一點，則雙曲線在點處的切線方程為．如圖，過點分別作雙曲線兩支的切線，切點分別為P，Q，連結P，Q兩點，并過線段的中點F分別再作雙曲線兩支的切線，切點分別為D，E，記與的面積分別為，．

(1)求直線的方程（含m）；

(2)證明直線過點C，并比較與的大小．

21．如圖，橢圓的左右焦點分別為，且過的直線交橢圓于兩點，且.

(1)若，，求橢圓的標準方程.

(2)若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.

22．已知橢圓的左焦點F與拋物線的焦點相同，且橢圓C的離心率為．

(1)求橢圓C方程；

(2)直線l與橢圓有唯一的公共點M（點M在第二象限，此直線l與y軸的正半軸交于點N，直線與直線交于點P且，求直線l的斜率．

參考答案：

1．A

【分析】根據遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.

【詳解】設橢圓的半長軸為a，半焦距為c.

則根據題意得;,

解得，

故該軌道即橢圓的離心率為，

故選：A

2．B

【解析】利用勾股定理與雙曲線的定義可求出，結合三角形的面積公式可求出的值.

【詳解】由得，

由勾股定理得，

由雙曲線的定義得，

，所以，

則的面積為，，解得.

故選：B.

【點睛】本題考查焦點三角形面積的計算，涉及雙曲線的定義和勾股定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.

3．C

【分析】將參數方程化為普通方程為，利用拋物線的定義即可求解.

【詳解】把拋物線的參數方程（為參數）化成普通方程為，

因為點在以點為焦點的拋物線上，

由拋物線的定義可得，

故選：C.

4．B

【分析】由于雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，所以該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑，由此可得答案.

【詳解】解：由得，所以，

因為雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，

所以該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑，

故選：B

【點睛】此題考查雙曲線和拋物線，考查雙曲線的通徑，屬于基礎題.

5．C

【詳解】試題分析：由知所求雙曲線的漸近線為，點在漸近線的上方，可得所求雙曲線的焦點在軸上，設所求雙曲線方程為，根據漸近線方程知，再把點代入方程，即，解得，所以雙曲線方程為，故選C．

考點：1、雙曲線方程求解；2、雙曲線的簡單性質．

6．C

【解析】由拋物線的定義可求得的值，進而可得出拋物線的焦點到準線的距離.

【詳解】由拋物線的定義可知，點到拋物線焦點的距離為，解得，

因此，拋物線的焦點到準線的距離為.

故選：C.

7．B

【解析】設拋物線的方程為，可知點在該拋物線上，求出的值，將代入拋物線方程，求出的值，即可得解.

【詳解】設拋物線的方程為，可知點在該拋物線上，則，解得，

所以，拋物線的方程為，

將代入拋物線方程得，解得，

因此，車輛通過隧道的限制高度為.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線的實際應用，設出拋物線的方程，分析出拋物線上的點的坐標，求出拋物線的方程是解題的關鍵，同時要注意車輛限高的意義.

8．B

【分析】根據拋物線的方程求得焦點坐標和準線的方程，設出所求圓的圓心，表示出半徑，把，點的坐標代入整理，即可求得圓的方程.

【詳解】拋物線的焦參數，

，準線，即，

設經過點，且與直線相切的圓的圓心為，

則半徑為到的距離為即，

圓的方程為

將的坐標代入可得

①

②

由①-②可得：

整理可得：③

將②整理可得：

即：④

由③④得：

解得

將分別代入④得：

故圓的個數為2個.

故選：B.

【點睛】本題解題關鍵是掌握拋物線基礎知識和圓的標準方程的求法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

9．AD

【解析】根據題意依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：對于A選項，當時，曲線為C表示圓，故不正確；

對于B選項，當曲線C為焦點在軸上的橢圓時，則，解得，故正確；

對于C選項，當時，曲線為C表示圓的方程，故正確；

對于D選項，當曲線C為雙曲線時，則，解得或，故錯誤；

綜上，錯誤的是AD.

故選：AD.

【點睛】本題考查橢圓，雙曲線的方程，考查運算能力，是基礎題.

10．ACD

【分析】由求出可判斷A；由為等腰直角三角形，可得直線PF的方程，與拋物線方程聯立，解得可判斷B；設點P、點E的坐標分別為、，直線PF的方程為，與拋物線方程聯立可得，，由，可得，可求出可得可判斷C；設，可求出的最小值，設，根據的范圍可判斷D.

【詳解】對于A選項，由可得，故A選項正確；

對于B選項，如圖，

由為等腰直角三角形，可得，可知直線PF的斜率為1，直線PF的方程為，聯立方程，解得，故B選項錯誤；

對于C選項，如圖，

設點P的坐標為，點E的坐標為，直線PF的方程為，聯立方程，有，可得，

有，又由，有，可得，

聯立方程，解得，可得，故C選項正確；

對于D選項，如圖，

設，

則12，

即的最小值為，設，則，

即，所以，故D選項正確.

故選：ACD.

11．ABD

【分析】根據雙曲線的定義與方程，結合雙曲線的性質對每個選項進行判斷即可

【詳解】由雙曲線方程知：，離心率為，解得，

故雙曲線，

對于A，實半軸長為1，實軸長為，A正確；

對于B，由雙曲線方程可得漸近線方程為，故一條漸近線方程為，B正確；

對于C，由于可能在的不同分支上，則根據定義有，C錯誤；

對于D，焦距為正確.

故選：ABD.

12．AD

【分析】不妨取點M為，第一象限的一個公共點，令根據兩曲線有公共焦點,和圓錐曲線定義得到離心率的關系.即可求出.可以判斷選項A、B；

由，解得：，求出漸近線方程，可以判斷選項C、D.

【詳解】不妨取點M為，第一象限的一個公共點，令則曲線的方程為,曲線的方程為.

又由兩曲線有公共焦點,則,

由圓錐曲線定義可得:,

解得：.

又，所以，可得：,

整理得.

因為，所以.故A錯誤；B正確；

由，得：，解得：，所以漸近線方程為.

故C正確，D錯誤.

故選：AD

13．

【分析】設出拋物線方程，再把代入即可獲解.

【詳解】設過點，頂點在原點，焦點在軸上的拋物線標準方程為

把代入，得:解得

所以拋物線的標準方程為

故答案為：.

14．/

【分析】由題設條件得，結合橢圓的定義求得，從而利用余弦定理得到關于的齊次式，由此求得該橢圓的離心率.

【詳解】依題意，得，由得，

而，所以，

因為，所以，則，如圖，

.

在中，由余弦定理得，

即，整理得，

因此，解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為：.

15．2

【分析】由圖像可得，由焦點到漸近線的距離等于b可求得，進而圖像中線段的長度，根據的面積為列出等量關系式，最后解方程求出離心率即可.

【詳解】由題意，可得圖像如圖：

∵，∴，

∴，∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴或4，

又b>a>0，所以，所以.

故答案為：2.

16．

【分析】求出拋物線的焦點F坐標為，由F在圓外，可得：，進而可得實數m的取值范圍．

【詳解】解：拋物線的焦點F坐標為，

若F在圓外，由，解得，

故答案為：

【點睛】本題考查求拋物線的焦點坐標，點與圓的位置關系，屬于基礎題．

17．(1)；

(2)見解析.

【分析】（1）依題意可知，解方程組可求得橢圓的標準方程.

（2）當直線斜率斜率不存在時，不符合題意.當斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，計算的值，化簡后結果為，由此證明結論成立.

（1）

解：因為橢圓，經過點，

所以．

又，所以，

解得．

故橢圓的標準方程為：．

（2）

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，

此時直線與橢圓相切，不符合題意．

設直線的方程為，即，

聯立，得．

設，，則

，

，

，

所以為定值，且定值為-1．

18．（1），；（2）.

【解析】（1）計算交點坐標，考慮以為頂點，為焦點和以為焦點，為頂點兩種情況，計算得到答案.

（2）設所求橢圓方程為，將，兩點坐標代入計算得到答案.

【詳解】（1）直線與坐標軸的交點分別為和，

當以為頂點，為焦點時，，，故，故橢圓方程為；

當以為焦點，為頂點時，，，故，故橢圓方程為；

綜上所述：橢圓方程為或.

（2）設所求橢圓方程為，將，兩點坐標代入得到，

解得，，故橢圓方程為.

【點睛】本題考查了求橢圓方程，意在考查學生的計算能力和轉化能力，漏解是容易發生的錯誤.

19．(1)；(2).

【分析】(1)根據兩條漸近線與圓相切，可得雙曲線的兩條漸近線方程，從而得到a、b關系．利用雙曲線的一個焦點求出c，可求雙曲線的方程；

(2)設，、，，直線與雙曲線方程聯立消去，根據直線與雙曲線左支交于兩點，求出m的范圍，表示出中點的坐標，表示出直線的方程，令求得關于m的表達式，根據的范圍求得的范圍．

【詳解】(1)設雙曲線的漸近線方程為，則，

由題可知，，

故雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的方程為，

由題可知雙曲線的一個焦點為，∴c＝，，，

：；

(2)設，，

由得，

直線與雙曲線左支交于兩點，

∴，

，

∴中點為，即，

則直線l的斜率為：，

直線的方程為：，

令，得，

，，

．

20．(1)

(2)證明見解析，

【分析】（1）利用易知分別求出兩點處的切線方程，將分別代入兩切線方程即可得直線的方程為；（2）聯立雙曲線和直線方程，利用韋達定理可得的中點，同理根據（1）中結論可得直線的方程為，顯然在直線上；聯立雙曲線和直線方程可得即為中點即可得.

【詳解】（1）根據題意可設，

由已知可得雙曲線在處的切線方程為，

同理，在處的切線方程為；

又兩切線交點為，所以滿足，

即同時滿足方程，

所以直線的方程為.

（2）聯立整理可得，

所以,

即可得線段的中點，

設，

根據已知可得在兩點處的切線方程分別為，；

兩切線交點為，所以

可得直線的方程為，整理可得；

易知滿足直線方程，

即直線過點C；

聯立雙曲線與直線方程，

整理可得，

所以，可得，

所以的中點坐標為，即為的中點，即；

易知的面積為，

的面積；

又，可得；

即與的大小關系為.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用題目提供的已知條件直接寫出雙曲線在某點處的切線方程，再根據兩切線交點坐標得出兩切點的直線方程，聯立并利用韋達定理化簡即可實現問題求解.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根據橢圓定義、勾股定理和橢圓關系直接求解即可；

（2）