河南省鄲城縣第二高級中學2023-2024學年高二數學第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為.點為上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線的斜率之積大于，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.03．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.4．若，都是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.6．已知數列為等差數列，則下列數列一定為等比數列的是（）A. B.C. D.7．一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或8．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.9．等差數列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.1410．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.11．某研究所計劃建設n個實驗室，從第1實驗室到第n實驗室的建設費用依次構成等差數列，已知第7實驗室比第2實驗室的建設費用多15萬元，第3實驗室和第6實驗室的建設費用共為61萬元.現在總共有建設費用438萬元，則該研究所最多可以建設的實驗室個數是（）A.10 B.11C.12 D.1312．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數列中，若，，則數列的公比為___________.14．已知點是拋物線上的兩點，，點是拋物線的焦點，若，則的值為__________15．某教師組織本班學生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高.現選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_______米.16．函數y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）求證：對，直線l與圓C總有兩個不同交點；（2）當時，求直線l被圓C截得的弦長18．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為原點)，求的取值范圍19．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別為AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當時，求點A到平面的距離.20．（12分）設：函數的定義域為；：不等式對任意的恒成立（1）如果是真命題，求實數的取值范圍；（2）如果“”為真命題，“”為假命題，求實數的取值范圍21．（12分）某高中招聘教師，首先要對應聘者的簡歷進行篩選，簡歷達標者進入面試，面試環節應聘者要回答3道題，第一題為教育心理學知識，答對得4分，答錯得0分，后兩題為學科專業知識，每道題答對得3分，答錯得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應聘，他們中僅有3人的簡歷達標，若從這5人中隨機抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達標的概率；（2）某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響，求該應聘者的面試成績X的分布列及數學期望22．（10分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，求得，得到，求得，結合，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，設，則，由，因為四條直線的斜率之積大于，即，所以，則離心率，又因為橢圓離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A.2、C【解析】根據題意，求得平面的一個法向量，結合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.3、D【解析】根據漸近線方程求得關系，結合離心率的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.4、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.5、A【解析】把求面積轉化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A6、A【解析】根據等比數列的定義判斷【詳解】設的公差是，即，顯然，且是常數，是等比數列，若中一個為1，則，則不是等比數列，只要，，都不可能是等比數列，如，，故選：A7、C【解析】點關于軸的對稱點為，由反射光線的性質，可設反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結果【詳解】點關于軸的對稱點為，設反射光線所在直線的方程為：，化為因為反射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C8、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D9、C【解析】假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.10、A【解析】不妨設，不妨設，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質列出的方程求得后可得結論【詳解】如圖所示，設，不妨設，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質可得，解得（正數舍去），所以故選：A11、C【解析】根據等差數列通項公式，列出方程組，求出的值，進而求出令根據題意令，即可求解.【詳解】設第n實驗室的建設費用為萬元，其中，則為等差數列，設公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設12個實驗室.故選：C.12、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】求出等比數列的公比，利用定義可求得數列的公比.【詳解】設等比數列的公比為，則，因此，數列的公比為.故答案為：.14、10【解析】由拋物線的定義根據題意可知求得p,代入拋物線方程,分別求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【詳解】由拋物線的定義可得，依據題設可得，則（舍去負值），故，故填.【點睛】本題考查拋物線的定義和性質，利用已知相等關系求解拋物線方程，然后求解已知點的縱坐標，解題中需要熟練拋物的定義和性質，靈活應用.15、【解析】利用正弦定理可求出各個三角形的邊長，進而求出山高.【詳解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.16、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由直線過定點，只需判斷定點在圓內部，即可證結論.（2）由點線距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長的幾何關系求弦長即可.【小問1詳解】直線恒過定點，又，所以點在圓的內部，所以直線與圓總有兩個不同的交點，得證.【小問2詳解】由題設，，又的圓心為，半徑為，所以到直線的距離，所以所求弦長為18、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點和頂點，即得雙曲線的頂點和焦點，從而易求得標準方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得的取值范圍，設，由韋達定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得①設則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍19、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數量積求出平面的法向量，結合求點到面距離的向量法即可得出結果.【小問1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，故，所以；【小問2詳解】當時，，，，，則，，，設是平面的法向量，則由，解得，取，得，設點A到平面的距離為，則，所以點A到平面的距離為.20、（1）（2）【解析】（1）由對數函數性質，轉化為對任意的恒成立，結合二次函數的性質，即可求解；（2）利用基本不等式，求得當命題是真命題，得到，結合“”為真命題，“”為假命題，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：因為是真命題，所以對任意的恒成立，當時，不等式，顯然在不能恒成立；當時，則滿足解得，故實數的取值范圍為【小問2詳解】解：因為，所以，當且僅當時，等號成立若是真命題，則；因為“”為真命題，“”為假命題，所以與一真一假當真假時，所以；當假真時，所以，綜上，實數的取值范圍為21、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據古典概型的概率公式即可求出；（2）根據題意可知，隨機變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求出對應的概率，列出分布列即可求出數學期望【小問1詳解】從這5人中隨機抽取3人，恰有2人簡歷達標的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以22、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據導函數的正負得到函數的單調區間.【