貴州省貴陽附中2023-2024學年高二數學第一學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e2．已知函數是區間上的可導函數，且導函數為，則“對任意的，”是“在上為增函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．有下列四個命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，4．已知數列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.335．已知數列滿足：，數列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若函數的導函數在區間上是減函數，則函數在區間上的圖象可能是（）A. B.C. D.7．若關于x的方程有解，則實數的取值范圍為()A. B.C. D.8．有一組樣本數據、、、，由這組數據得到新樣本數據、、、，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同 B.兩組樣本數據的樣本標準差相同C.兩組樣本數據的樣本中位數相同 D.兩組樣本數據的樣本眾數相同9．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.210．直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長等于（）A. B.2C.2 D.411．已知函數在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.12．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若平面內兩條直線，平行，則實數______14．已知數列的前項和為，且滿足，則______.15．若平面法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.16．已知，，，，使得成立，則實數a的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點和平面內一點，過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關系式.19．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過點（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長20．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）已知等差數列滿足，（1）求的通項公式；（2）若等比數列的前n項和為，且，，，求滿足的n的最大值22．（10分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點，若y軸上存在點P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】對函數求導，然后求出函數的單調區間，從而可求出函數的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，故選：A2、A【解析】根據充分條件與必要條件的概念，由導函數的正負與函數單調性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數是區間上的可導函數，且導函數為，若“對任意的，”，則在上為增函數；若在上為增函數，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數”；由“在上為增函數”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數”的充分不必要條件.故選：A3、B【解析】對于選項A，令即可驗證其不正確；對于選項C、選項D，令，即可驗證其均不正確，進而可得出結果.【詳解】對于選項A，令，則，故A錯；對于選項B，令，則，顯然成立，故B正確；對于選項C，令，則顯然無解，故C錯；對于選項D，令，則顯然不成立，故D錯.故選B【點睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗證即可，屬于常考題型.4、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C5、D【解析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D6、A【解析】根據導數概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A7、C【解析】將對數方程化為指數方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C8、B【解析】利用平均數公式可判斷A選項；利用標準差公式可判斷B選項；利用中位數的定義可判斷C選項；利用眾數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設數據、、、的平均數為，數據、、、的平均數為，則，A錯；對于B選項，設數據、、、的標準差為，數據、、、的標準差為，，B對；對于C選項，設數據、、、中位數為，數據、、、的中位數為，不妨設，則，若為奇數，則，；若為偶數，則，.綜上，，C錯；對于D選項，設數據、、、的眾數為，則數據、、、的眾數為，D錯.故選：B.9、D【解析】設，構建空間直角坐標系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標表示列方程，結合點P的唯一性有求參數a，即可得結果.【詳解】由題設，構建如下圖空間直角坐標系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D10、B【解析】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長：.故選B.點睛:本題考查圓的標準方程以及直線和圓的位置關系.判斷直線與圓的位置關系一般有兩種方法：1．代數法：將直線方程與圓方程聯立方程組，再將二元方程組轉化為一元二次方程，該方程解的情況即對應直線與圓的位置關系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關系，但是計算量較大.2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關系．這種方法的特點是計算量較小．當直線與圓相交時,可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關系.11、B【解析】首先求出函數的導函數，依題意可得，即可求出參數的值，從而得到函數解析式，再根據導函數得到函數單調性，即可求出函數的極值點，從而求出函數的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調遞增，在上單調遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B12、D【解析】根據正方體的性質，在直角△中應用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1或2【解析】根據兩直線平行，利用直線平行的條件列出方程解得答案.【詳解】∵，∴，解得或，經驗證都符合題意，故答案為：-1或214、【解析】根據所給的通項公式，代入求得，并由代入求得，即可求得的值.【詳解】數列的前n項和，則，而，，∴，則，故答案為：.15、##【解析】設直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計算公式，即可求出直線與平面所成的角【詳解】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.16、【解析】由題可得，求導可得的單調性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當時，，∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，∴函數在區間上的最小值為又在上單調遞增，∴函數在區間上的最小值為，∴，即實數的取值范圍是故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線的方程求出即得雙曲線的焦點坐標；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因為雙曲線的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線的焦點坐標分別為.（2）因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，所以拋物線的焦點坐標是(2，0)，所以.因為點為拋物線上一點，所以點到拋物線的焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離.因為點到拋物線的焦點的距離是5，即，所以.【點睛】本題主要考查雙曲線的焦點坐標的求法，考查拋物線的定義和幾何性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據直線與圓相切可得，再結合離心率及間的關系可得的值，進而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點的坐標后再求出的值，進而得到，最后根據斜率公式可得所求的關系式【詳解】（1）因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，可得直線方程為，由，解得或，不妨設，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關系式為.②當直線的斜率存在時，設直線，由消去并整理得，設點，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關系式為【點睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關系時，一般把二者方程聯立得到方程組，判斷方程組解的個數，方程組有幾個解，直線與橢圓就有幾個公共點，方程組的解對應公共點的坐標（2）對于直線與橢圓位置關系的題目，注意設而不求和整體代入方法的運用．解題步驟為：①設直線與橢圓的交點為；②聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于x或y的一元二次方程；③利用根與系數的關系設而不求；④利用題干中的條件轉化為，或，，進而求解.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得方程，與雙曲線方程聯立后，利用弦長公式可求得結果.【小問1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.20、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據平行四邊形的判定定理和性質，結合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，，于是有：，則平面的法向量為：，設平面的法向量為：，所以，設平面與平面的夾角為，所以.21、（1）（2）10【解析】(1)設等差數列公差為d，根據已知條件列關于和d的方程組即可求解；(2)設等比數列公比為q，根據已知條件