甘肅省白銀市會寧四中2024屆數學高二上期末學業質量監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或2．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.13．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.134．①直線在軸上的截距為；②直線的傾斜角為；③直線必過定點；④兩條平行直線與間的距離為.以上四個命題中正確的命題個數為（）A. B.C. D.5．函數f（x）=xex的單調增區間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）6．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.8．在下列函數中，最小值為2的是（）A. B.C. D.9．已知等比數列的各項均為正數，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.110．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于其焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛星通訊等，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面，，兩點關于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為.焦點到頂點的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足，則該拋物面天線的焦徑比為（）A. B.C. D.211．命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是（）A.?x∈（﹣∞，0），2x+sinx≥0B.?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0C.?x0∈（0，+∞），D.?x0∈（﹣∞，0），12．用數學歸納法證明“”時，由假設證明時，不等式左邊需增加的項數為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數據：1，1，3，4，6的方差是______.14．從10名大學畢業生中選3個人擔任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選不同選法的種數為___________.15．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.16．正方體的棱長為2，點為底面正方形的中心，點在側面正方形的邊界及其內部運動，若，則點的軌跡的長度為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的公比，，.（1）求數列的通項公式；（2）令，若，求滿足條件的最大整數n.18．（12分）某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數據如表:零件的個數x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5（1）在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖.（2）求出y關于x的線性回歸方程，試預測加工10個零件需要多少小時?（注：，）19．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標準方程；（2）假設直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程20．（12分）（1）若在是減函數，求實數m的取值范圍；（2）已知函數在R上無極值點，求a的值.21．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為（1）求拋物線C的標準方程；（2）若AB是過拋物線C的焦點F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關系是什么？先給出你的判斷結論，再給出你的證明，并作出必要的圖形22．（10分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據拋物線的概念以及幾何性質即可求拋物線的標準方程.【詳解】依題意設拋物線方程為因為焦點到準線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C2、C【解析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.3、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯立方程組解得：.于是，.故選：B.4、B【解析】由直線方程的性質依次判斷各命題即可得出結果.【詳解】對于①，直線，令，則，直線在軸上的截距為-，則①錯誤；對于②，直線的斜率為，傾斜角為，則②正確；對于③直線，由點斜式方程可知直線必過定點，則③正確；對于④，兩條平行直線與間的距離為，則④錯誤.故選：B.5、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數f（x）=xex的單調增區間為（-1，+∞）.故選：D.6、B【解析】根據焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關系，再結合a，b，c關系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B7、C【解析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進行求解.【詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C8、C【解析】結合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C9、A【解析】根據是等比數列，則通項為，然后根據條件可解出，進而求得【詳解】由為等比數列，不妨設首項為由，可得：又，則有：則故選：A10、B【解析】建立平面直角坐標系，利用題設條件得到得點坐標，代入拋物線方程化簡即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為（）在中，則所以則所以，所以將代入拋物線方程中得所以或即或（舍）當時，故選：B11、B【解析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結果即可【詳解】命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是“?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0”故選：B12、C【解析】當成立，寫出左側的表達式，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可【詳解】從到成立時，左邊增加的項為，因此增加的項數是，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##3.6【解析】先計算平均數，再計算方差.【詳解】該組數據的平均數為，方差為故答案為：14、49【解析】丙沒有入選，相當于從9個人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數，再利用分類加法計數原理即可得解.【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當于從9個人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿足題意的選法共有種.故答案為：49.【點睛】本題考查組合的應用，其中涉及到分類加法計數原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優先法元素優先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題.把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.15、##【解析】根據線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標，再由，得到邊的中點坐標，代入雙曲線方程求解.【詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設，則，因為，所以邊的中點坐標為，因為邊的中點在雙曲線上，所以，因為，所以，即，解得，因為，所以，故答案為：16、【解析】取中點，利用線面垂直的判定方法可證得平面，由此可確定點軌跡為，再計算即可.【詳解】取中點，連接，平面，平面，，又四邊形為正方形，，又，平面，平面，又平面，；由題意得：，，，，；平面，，平面，，在側面的邊界及其內部運動，點軌跡為線段；故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由等比數列的性質可得，結合條件求出，得出公比，從而得出通項公式.(2)由（1）可得，再求出的前項和，從而可得出答案.【小問1詳解】由題意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小問2詳解】，∴∴，又單調遞增,所以滿足條件的的最大整數為18、（1）見解析；（2），預測加工10個零件大約需要8.05小時【解析】（1）由題意描點作出散點圖；（2）根據題中的公式分別求和，即得，令代入求出的值即可.【詳解】（1）散點圖（2），，，∴，，∴回歸直線方程：，令，得，∴預測加工10個零件大約需要8.05小時.【點睛】本題主要考查了散點圖，利用最小二乘法求線性回歸方程，考查了學生基本作圖能力和運算求解能力.19、（1）；（2）【解析】（1）根據拋物線的定義，結合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設矛盾，設直線方程聯立拋物線方程，應用韋達定理求，，進而求，由題設向量垂直的坐標表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設拋物線的方程為，又到焦點的距離是1，∴點到準線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯立可得交點、的坐標分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設不成立，∴直線的斜率存在．設直線為，整理得，設，，聯立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當時，直線的方程是，不滿足，舍去當時，直線的方程是，即，∴直線的方程是20、（1）；（2）1【解析】（1）將問題轉化為在內恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）對函數求導得，由，即可得到答案；【詳解】（1）依題意知，在內恒成立，所以在內恒成立，所以，因為的最小值為1，所以，所以實數m的取值范圍是.（2），依題意有，即，，解得.21、（1）；（2）相切，證明過程、圖形見解析.【解析】（1）根據拋物線的準線方程，結合拋物線標準方程進行求解即可；（2）設出直線AB的方程與拋物線方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合圓的性質進行求解即可.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為，所以設拋物線C的標準方程為：，因為該拋物線的準線方程為，所以有，所以拋物線C的標準方程；小問2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因為AB是過拋物線C的焦點F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設橢圓的焦點坐標為，設直線AB的方程為：，則有，設，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點睛】關鍵點睛：