廣東省深圳市2024屆高二上數學期末經典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．據記載，歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優美恒等式，將數學中五個重要的數（自然對數的底，圓周率，虛數單位，自然數的單位和零元）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的數學公式”.根據歐拉公式，復數的虛部（）A. B.C. D.2．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.3．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.4．已知直線與直線垂直，則實數a為（）A. B.或C. D.或5．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.6．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假7．設為坐標原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（）A. B.C. D.8．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.11．已知等比數列的前項和為，公比為，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線C：的焦點為F，過點P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，則（）A. B.14C. D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在點處的切線方程是_________14．若實數x，y滿足約束條件，則的最大值是_________.15．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數列，則此橢圓的離心率為___________16．古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點P的軌跡方程為__________.（答案寫成標準方程），的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數列中，，，(1)設，證明：數列是等差數列；(2)求數列的前項和.18．（12分）在等差數列中，記為數列的前項和，已知：.（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的的值.19．（12分）在平面直角坐標系中，點到兩點的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設直線與交于兩點，為何值時？20．（12分）已知集合，.（1）當時，求AB；（2）設，，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程22．（10分）計算：（1）求函數（a，b為正常數）的導數（2）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由歐拉公式的定義和復數的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復數的虛部為.故選：D.2、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D3、A【解析】根據給定幾何體利用空間向量基底結合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A4、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.5、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A6、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因為成立，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.7、D【解析】先由拋物線方程求出點的坐標，準線方程為，再由可求得點的橫坐標為4，從而可求出點的縱坐標，進而可求出的面積【詳解】由題意可得點的坐標，準線方程為，因為為拋物線上一點，，所以點的橫坐標為4，當時，，所以，所以的面積為，故選：D8、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎題.9、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.10、D【解析】利用指數函數的單調性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結合復合命題的真假可判斷出各選項中命題的真假.【詳解】對于命題，由于函數為上的增函數，當時，，命題為真命題；對于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點睛】本題考查簡單命題和復合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎題.11、D【解析】利用等比數列的求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的求和公式可得，解得.故選：D.12、C【解析】設A、B兩點的坐標分別為，，根據拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡，進而結合根與系數的關系求得答案.【詳解】設A、B兩點坐標分別為，，直線的方程為，拋物線的準線方程為：，由拋物線定義可知：.聯立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數的導數，得到且，再結合直線的點斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，則且，所以在點處切線方程是，即故答案為：.14、##【解析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準直線到點時，取得最大值為.故答案為：15、【解析】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函數與方程，轉化與化歸思想.利用橢圓及等比數列的性質解題.由橢圓的性質可知：，，.又已知，，成等比數列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關的方程，然后化為有關的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現考綱中要求掌握橢圓的基本性質.來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等.16、①.②.【解析】設點P坐標，然后用直接法可求；根據軌跡方程和數量積的坐標表示對化簡，結合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設P點坐標為，則由，得，化簡得，即.因為，所以因為點P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數列是等差數列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉化為的遞推公式：，從而，，進而得證；（2）由（1）可得，，因此數列的通項公式可以看成一個等差數列與等比數列的乘積，故可考慮采用錯位相減法求其前項和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項為公差的等差數列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點：1.數列的通項公式；2.錯位相減法求數列的和.18、（1）；（2）或.【解析】(1)根據給定條件求出數列的公差及首項即可計算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問1詳解】設等差數列公差為，因，則，解得，于是得，所以數列的通項公式為：.【小問2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，解出可得橢圓的標準方程（2）設，，直線方程與橢圓聯立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數的關系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，可得橢圓的標準方程為：（2）設，，聯立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當時，能使【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題20、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據是成立的必要條件，利用包含關系列不等式即可得出實數的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消元，寫韋達；根據條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點