河南省洛陽市汝陽縣實驗高中2024屆數學高二上期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點P是雙曲線上的動點，過原點O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.12．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.3．若函數，當時，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.14．設，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.5．已知是等比數列，則（）A.數列是等差數列 B.數列是等比數列C.數列是等差數列 D.數列是等比數列6．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定7．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.28．若a＞0，b＞0，且函數f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.99．《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何?”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數依次為等差數列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢?”，則第人得錢數為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢10．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.11．為了解義務教育階段學校對雙減政策的落實程度，某市教育局從全市義務教育階段學校中隨機抽取了6所學校進行問卷調查，其中有4所小學和2所初級中學，若從這6所學校中再隨機抽取兩所學校作進一步調查，則抽取的這兩所學校中恰有一所小學的概率是（）A. B.C. D.12．下列命題中正確的是（）A.函數最小值為2.B.函數的最小值為2.C.函數的最小值為D.函數的最大值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有公共焦點，的橢圓和雙曲線的離心率分別為，，點為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為______14．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.15．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.16．已知曲線在點處的切線方程是，則的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，點在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若求直線l的方程18．（12分）在平面直角坐標系中，設點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標19．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.20．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大小；（3）設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在，請具體構造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結AB，AC，M為AC的中點.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據雙曲線的對稱性可得為的中點，即可得到，再根據雙曲線的性質計算可得；【詳解】解：根據雙曲線的對稱性可知為的中點，所以，又在上，所以，當且僅當在雙曲線的頂點時取等號，所以故選：C2、C【解析】設出橢圓的標準方程，根據已知條件，求得，即可求得結果.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設其方程為，根據題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.3、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B4、C【解析】根據直線的一般式判斷平行的條件進行計算.【詳解】時，容易驗證兩直線不平行，當時，根據兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.5、B【解析】取，可判斷AC選項；利用等比數列的定義可判斷B選項；取可判斷D選項.【詳解】若，則、無意義，A錯C錯；設等比數列的公比為，則，（常數），故數列是等比數列，B對；取，則，數列為等比數列，因為，，，且，所以，數列不是等比數列，D錯.故選：B.6、A【解析】根據橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A7、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.8、D【解析】求出導函數，利用函數在極值點處的導數值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等9、A【解析】設第所得錢數為錢，設數列、、、、的公差為，根據已知條件可得出關于、的值，即可求得的值.【詳解】設第所得錢數為錢，則數列、、、、為等差數列，設數列、、、、公差為，則，解得，故.故選：A.10、B【解析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B11、A【解析】由組合知識結合古典概型概率公式求解即可.【詳解】從這6所學校中隨機抽取兩所學校的情況共有種，這兩所學校中恰有一所小學的情況共有種，則其概率為.故選：A12、D【解析】根據基本不等式知識對選項逐一判斷【詳解】對于A，時為負值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當且僅當即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】可設為第一象限的點，，，求出，，化簡即得解.【詳解】解：可設為第一象限的點，，，由橢圓定義可得，由雙曲線的定義可得，可得，，由，可得，即為，化為，則故答案為：414、【解析】設，由余弦定理知，所以，故填.15、①.②.【解析】由題意，不妨設直線與圓相切于點，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設直線與圓相切于點，，由于代入進入，可得，漸近線方程為故答案為：，16、11【解析】根據給定條件結合導數的幾何意義直接計算作答.【詳解】因曲線在點處的切線方程是，則，，所以.故答案為：11三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)把點的坐標代入方程即可；(2)設直線方程，解聯立方程組，消未知數，得到一元二次方程，再利用韋達定理和已知條件求斜率.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，所以設拋物線方程為又因為點在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】拋物線C的焦點為，當直線l的斜率不存在時，，不符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，設直線l交拋物線的兩點坐標為，，由得，，，，由拋物線得定義可知，所以，解得，即，所以直線l的方程為或18、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設出直線AB的方程，把點、的坐標代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標公式求出點M的坐標，同理求出點的坐標，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標為，同理設，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點的坐標為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點.19、（1），（2）【解析】（1）根據已知條件建立關于a、b、c的方程組可解；（2）巧設與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.【小問1詳解】因為離心率，所以.又因為點在雙曲線C上，所以.聯立上述方程，解得，，即，.【小問2詳解】設所求雙曲線的方程為，由雙曲線經過點，得，即.所以雙曲線的方程為，其標準方程為.20、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結合正四面體的結構特征即可證結論.（2）取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進而求其大小.（3）設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺的棱長和為定值6，體積為V.設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.因為正四面體的體積是，所以，，從而，故構造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點為