第第頁高中數學人教A版（2023）選修13.1橢圓的性質和應用選擇題專項章節綜合練習題（答案+解析）中小學教育資源及組卷應用平臺

3.1橢圓的性質和應用選擇題專項

一、選擇題

1．（2023高二下·深圳期末）已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（）

A．B．C．D．

2．（2023·廣州模擬）已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為（）

A．B．C．D．

3．已知橢圓的焦點在軸上，若焦距為，則該橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·廣州月考）已知分別是橢圓的左，右焦點，M，N是橢圓上兩點，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·陽江開學考）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點，與軸正半軸交于點，線段與交于點.若與的焦距的比值為，則的離心率為（）

A．B．C．D．

6．（2023高二下·鎮巴縣期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，過作垂直于軸的直線，在第二象限分別交及圓于點，若為的中點，為的上頂點，則（）

A．B．C．D．

7．（2023高二下·青浦期末）點為橢圓的右頂點，為橢圓上一點（不與重合），若（是坐標原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

8．（2023高二下·安寧期末）已知橢圓的左，右兩焦點為和，P為橢圓上一點，且，則（）

A．8B．12C．16D．64

9．（2023高二下·達州期末）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓．在圓上總存在點P，使得過點P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（）

A．B．C．D．

10．（2023高二下·杭州期末）設橢圓的左右焦點分別為，，是橢圓上不與頂點重合的一點，記為的內心．直線交軸于點，，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

11．（2023高二下·杭州）設橢圓的左右焦點分別為，，是橢圓上不與頂點重合的一點，記是的內心直線交軸于點，，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

12．（2023·黃埔）若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

13．（2023高二下·鹽田月考）橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上（不與重合），且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

14．（2023·全國甲卷）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（）

A．1B．2C．4D．5

15．（2023·順德模擬）已知橢圓的下焦點為，右頂點為，直線交橢圓于另一點，且，則橢圓的離心率是（）

A．B．C．D．

16．（2023·溫州模擬）如圖，是橢圓的左右頂點，是上不同于的動點，線段與橢圓交于點，若，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

17．（2023高三下·杭州模擬）如圖，某同學用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當各在一條槽內移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點時，恰好在點，則的離心率為（）

A．B．C．D．

18．（2023高三下·湘豫開學考）河南一國家級濕地，以其獨特的地理環境和良好的生態環境，吸引了全國近三分之一的鳥種在此繁衍生息，成了鳥類自然保護區.天鵝戲水、白鷺覓食，形成了一幅群鳥嬉戲的生態美景.該保護區新建一個橢球形狀的觀鳥臺，橢球的一部分豎直埋于地下，其外觀的三視圖（單位：米）如下，正視圖中橢圓（部分）的長軸長為16米，則該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為（）

A．8米B．10米C．12米D．16米

19．（2023高二上·咸陽期末）2022年11月30日7時33分，神舟十五號3名航天員順利進駐中國空間站，與神舟十四號航天員乘組首次實現“太空會師”，一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知中國空間站在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度約為351，遠地點高度約為385，地球半徑約為6400，則該軌道的離心率約為（）

A．B．C．D．

20．（2022高二上·張掖月考）已知橢圓上存在兩點，關于直線對稱，且的中點在拋物線上，則實數的值為（）

A．0或B．C．0或2D．2

21．（2022·聯合模擬）如圖，神舟十二號的飛行軌道是以地球球心為左焦點的橢圓（圖中虛線），我們把飛行軌道上的點與地球表面上的點的最近距離叫近地距離，最遠距離叫遠地距離.設地球半徑為，若神舟十二號飛行軌道的近地距離是，遠地距離是，則神舟十二號的飛行軌道的離心率為（）

A．B．C．D．

22．（2022·邯鄲模擬）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，則滿足為直角三角形的點有（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

23．（2023高二上·貴港期末）設分別是橢圓的左右焦點，O為坐標原點，點在上且，則的面積為（）

A．B．8C．7D．16

24．（2023高二下·成都期末）如圖，已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，，的離心率分別為，且在第一象限相交于點，則下列說法中錯誤的是（）

①若，則；②若，則的值為1；③的面積；④若，則當時，取得最小值2．

A．①②B．②③C．③④D．②④

25．（2023高二上·余姚期末）已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點的坐標為，則的最小值為（）

A．B．C．3D．

26．（2022高二上·湖北月考）用平面截圓柱面，當圓柱的軸與所成角為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓.著名數學家Dandelin創立的雙球實驗證明了上述結論.如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切.給出下列三個結論：

①兩個球與的切點是所得橢圓的兩個焦點；

②橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等；

③當圓柱的軸與所成的角由小變大時，所得橢圓的離心率也由小變大.

其中，所有正確結論的序號是（）

A．①B．②③C．①②D．①③

27．（2022高二上·廣州期中）已知橢圓）的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（）

A．B．C．D．

28．（2022高二上·南陽期中）已知A，B分別是橢圓與圓上的動點，則的最小值為（）

A．B．C．D．

29．（2022·包頭模擬）設P是橢圓的下頂點，若C上存在點Q滿足，則C的離心率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

30．（2023高二上·運城月考）已知橢圓的一個焦點為F，雙曲線的左、右焦點，分別為，，點P是雙曲線左支上一點，則周長的最小值為（）

A．5B．C．10D．14

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：設，為橢圓的另一個焦點，∴，

∵過原點的直線l與C交于A，B兩點，

∴，，

∴，即

∵，∴，

∴，

∴，

∴.

故選：A.

【分析】首先設，為橢圓的另一個焦點，由于過原點的直線l與C交于A，B兩點，所以，即可求出a，根據勾股定理求出AB，再根據中位線定理可求出c，即可求出離心率.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：設橢圓方程為，

直線代入橢圓方程，消x得：，

，整理得m+n=16mn

又c=2，由焦點在x軸上，

所以，

聯立解得：，

故橢圓方程為，

則長軸長為；

故選：C

【分析】先設橢圓方程與直線方程聯立，根據判別式等于0求得m和n的關系式，同時橢圓的焦點坐標求得半焦距得到m和n的另一個關系式，兩個關系式聯立方程即可求得m和n，則橢圓的長軸可得．

3．【答案】B

4．【答案】C

【解析】【解答】解：連接，設

，則，

因為，即，則

，

可得，解得，

所以

，

在

中，因為，

可得

，則，

所以橢圓的離心率為.

故答案為：C.

【分析】設，根據橢圓的定義結合勾股定理解得，進而中，利用勾股定理運算求解即可.

5．【答案】D

【解析】【解答】解：設橢圓的半焦距為c，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為2c，

故其方程為：，

令，則，結合A在y軸正半軸上，故，

令，則或，故.

故，可得直線.

設，

因為A在y軸的正半軸上，在x軸的負半軸上，故，

而，

故，整理得到：，

故，故，

所以，整理得到：，故，

故答案為：D.

【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，求出直線的方程后結合距離公式可求M的坐標，代入橢圓方程后可求離心率.

6．【答案】C

【解析】【解答】由題知，令代入橢圓和圓，求得，

為的中點，即，求得，又，，

，，.

故答案為：C

【分析】利用求出的關系，進而求解。

7．【答案】B

【解析】【解答】由題得，設，則，，

，，

又，，即在有解，

解得或，，，，

橢圓的離心率的取值范圍是.

故答案為：B

【分析】利用向量坐標運算將轉化為在有解，進而求離心率范圍.

8．【答案】A

【解析】【解答】如圖所示在橢圓上取P點，連接PF1、PO、PF2，

根據題意可知橢圓方程中的a=4，b=2，，故焦點坐標分別為，，

又因為，所以，

故O為△PF1F2的外心，為直徑的圓過點P，所以∠F1PF2=90°，

根據橢圓定義和勾股定理的，

故，

故選：A.

【分析】本題考查橢圓性質，根據已知條件可以求出a=4，b=2，，由此可以知道，結合橢圓的性質和勾股定理即可求解.

9．【答案】D

【解析】【解答】由題意可知橢圓的兩條相互垂直的切線的交點P軌跡為：，

圓心為（0，0），半徑=2，

在圓上總存在點P，

圓心為（4，3），半徑=r，

點P同時存在兩個圓上，說明兩圓一定有交點，

，

，

.

故選：D.

【分析】先利用橢圓可知a，b的值，代入求出P的軌跡：圓的方程，從而得到圓心坐標以及半徑，再根據兩圓存在公共點，得到圓心距與半徑之間的關系，最后求出r的范圍.

10．【答案】B

【解析】【解答】不妨設點位于第一象限，則，

為的內心，

是的角平分線，

，

，即，又，求得，

，

求得，在中，由余定理得，

求得，

橢圓的離心率.

故答案為：B

【分析】根據角平分線性質得到求出，再利用求出，結合余弦定理求解離心率.

11．【答案】B

【解析】【解答】不妨設點P位于第一象限，如圖所示，

由是的內心，得PA為的角平分線，

則，

由，得

設|PF1|=5m，則|PF2|=3m，由橢圓的定義可知，|PF1|+|PF2|=8m=2a，

可得，即，

則

解得

在中，由余弦定理可得，

解得

則

故選：B.

【分析】先利用角平分線性質得到，設|PF1|=5m，則|PF2|=3m，根據橢圓定義得到，然后利用平面向量的數量積和余弦定理即可求解出，進而求出橢圓的離心率.

12．【答案】B

【解析】【解答】由題意可得雙曲線的一條漸近線是，由雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標F2(c，0)，F1(-c，0)，正六邊形的一個頂點坐標為，，由橢圓的定義|AF1|+|AF2|=2a，得出，即

所以橢圓M的離心率為

故選：B

【分析】利用已知條件求出橢圓的焦點坐標和正六邊形的頂點坐標，再利用正六邊形的性質和橢圓的定義及離心率公式即可求解出答案.

13．【答案】B

【解析】【解答】，由題意知，，設，則，

又滿足，，

，

，.

故答案為：B

【分析】利用公式計算求解。

14．【答案】B

【解析】【解答】由題意知，，

，，

故選：B

【分析】利用橢圓定義和勾股定理得出，和與乘積的關系，利用完全平方公式間的公式轉化求解。

15．【答案】C

【解析】【解答】解：由已知得：F(0，-c)，A(b，0)，

設點B的坐標為(x，y)，

因為AF=2FB，所以，即(-b，-c)=2(x，y+c)，

所以，即點B的坐標為，

將點B的坐標代入橢圓的方程得：，

整理得：，所以，

故答案是：C.

【分析】利用AF=2FB，求出點B的坐標，代入橢圓的方程，得到的值，進而求得離心率.

16．【答案】D

【解析】【解答】設，

則，

兩式相乘得，①

因為直徑所對的角是直角，所以

所以②

①除以②得，所以橢圓的離心率.

故答案為：D

【分析】設，得到和，兩式相除即可得解.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：由題意知與的長度不變，已知，

設，則，

當滑動到位置處時，點在上頂點或下頂點，則短半軸長，

當在右頂點時，恰好在點，則長半軸長，

故離心率為.

故答案為：D.

【分析】設，則，由題意可得，，再根據離心率公式即可求解出答案.

18．【答案】C

【解析】【解答】如圖，以長軸中點為坐標原點，長軸為軸，垂直長軸為軸，建立平面直角坐標系，

設正視圖的橢圓（部分）對應的標準方程為，

結合題意及三視圖可得：，

所以橢圓（部分）對應的標準方程為，

將點代入，可得.

故該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為（米）.

故答案為：C.

【分析】以長軸中點為坐標原點，長軸為軸，垂直長軸為軸，建立平面直角坐標系，設正視圖的橢圓（部分）對應的標準方程為，結合題意及三視圖可得a，b的值，從而得出橢圓（部分）對應的標準方程，再利用已知條件結合代入法，即將點代入，可得的值，從而得出該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度。

19．【答案】A

【解析】【解答】由題可知，，

，解得，

所以離心率為，

故答案為：A.

【分析】橢圓橢圓的幾何性質，得到和，求得的值，結合離心率的定義，即可求解.

20．【答案】A

【解析】【解答】設，，則，兩式作差得到，

，所以，

因為點，關于直線對稱，

所以直線的中點在直線，

所以點在直線上，聯立可得，

又因為點在拋物線上，所以或。

故答案為：A.

【分析】設，，再利用代入法得出，兩式作差得到，再利用點，關于直線對稱，再結合中點坐標公式和兩點關于直線對稱的求解方法，所以直線的中點在直線，再利用對稱點在直線上結合代入法，聯立兩方程組可得，再利用點在拋物線上結合代入法得出實數t的值。

21．【答案】D

【解析】【解答】以運行軌道長軸所在直線為軸，地心為左焦點建立平面直角坐標系，

設橢圓方程為，

其中，

根據題意有

，

所以，

所以橢圓的離心率．

故答案為：D．

【分析】以運行軌道長軸所在直線為軸，地心為左焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，根據題意列出方程組，解方程組即可得答案.

22．【答案】B

【解析】【解答】當為直角頂點時，根據橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；

當為直角頂點時，根據橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；

設橢圓的上頂點為，

由橢圓，可得，可得，

則，，

所以，故，

所以不存在以為直角頂點的，

故滿足本題條件的點P共有4個。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合橢圓的對稱性，得出滿足要求的點P的個數，再利用橢圓的標準方程求出a，b的值，再結合橢圓中a，b，c三者的關系式得出c的值，再結合長半軸的定義和焦距的定義和余弦定理得出，進而得出不存在以為直角頂點的，從而得出滿足本題條件的點P的個數。

23．【答案】C

【解析】【解答】由已知得因為所以點在以為直徑的圓上，即是以為直角頂點的直角三角形，故即36.又

所以

解得所以

故答案為：C．

【分析】由已知得再利用所以點在以為直徑的圓上，即三角形是以為直角頂點的直角三角形，再結合勾股定理和橢圓的定義，從而結合平方法得出的值，再利用三角形面積公式，從而求出三角形的面積。

24．【答案】D

【解析】【解答】由于橢圓和雙曲線有公共的焦點，

c相同，

，

①，

，

，

故①正確.

②，

點P既在橢圓上，又在雙曲線上，

，

，

，

故②錯誤.

③由題意知，，

聯立方程組，求，

，

，

，

，

，

故③正確.

④，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

當時，即時，取“=”.

故④錯誤.

故選：D.

【分析】首先根據橢圓和雙曲線有共同焦點，可知c相同，從而得到a，b，m，n的關系，得出①③正確；結合橢圓上點到兩個焦點的距離之和公式與雙曲線上點到兩個焦點的距離之差，可知②錯誤；利用余弦定理，結合基本不等式，說明④正確.

25．【答案】B

【解析】【解答】橢圓的，點在橢圓內部，

如圖，

設橢圓的右焦點為，

則；

；

由圖形知，當在直線上時，，

當不在直線上時，

根據三角形的兩邊之差小于第三邊有，，

當在射線的延長線上時，取得最小值

的最小值為．

故答案為：B

【分析】利用橢圓得出a，b的值，再結合橢圓中a，b，c三者的關系式得出c的值，再利用點在橢圓內部，設橢圓的右焦點為，再結合橢圓的定義得出，由圖形知，當在直線上時，，當不在直線上時，根據三角形的兩邊之差小于第三邊有，，所以得出當在射線的延長線上時的的最小值。

26．【答案】C

【解析】【解答】如圖：

在橢圓上任意一點P作平行于的直線，與球交于F點，與球交于E點，

則，是過點P作球的兩條公切線，，同理，

，是定值，所以是橢圓的焦點；①正確；

由以上的推導可知：，，

平面，是直角三角形，，即，，②正確；

就是平面與軸線的夾角，在中，橢圓的離心率，

由余弦函數的性質可知當銳角變大時，變小，③錯誤；

故答案為：C.

【分析】在橢圓上任意一點P作平行于的直線，與球交于F點，與球交于E點，則，是過點P作球的兩條公切線，，同理，再利用求和法得出，是定值，所以是橢圓的焦點；由以上的推導可知：，，再利用平面結合線面垂直的定義證出線線垂直，所以再利用三角形是直角三角形結合勾股定理進而橢圓中a，b，c三者的關系式得出；再利用就是平面與軸線的夾角，在中，再結合橢圓的離心率公式得出橢圓的離心率，由余弦函數的性質可知當銳角變大時，變小，進而找出正確結論的序號。

27．【答案】B

【解析】【解答】由題設，故，

又，則，

由余弦定理知：，

所以，而，

因為的內切圓的半徑，故，

所以，則，

由，即，

所以，整理得且，

所以，

，當且僅當時等