加工生產穩態模擬問題數學建模摘要本文用數學建模的方法對加工生產穩態模擬問題進行了深入的分析和研究，兼顧考慮了工人，修理工，以及生產機床之間的關系。從而建立了解決生產穩態問題的模型，并優化求解。首先我們分析得出，機床故障的情況符合poisson分布，維修工修理機床的情況符合[4,10]范圍內的均勻分布，整個系統的客戶源數量是一定的為54，上述條件為模型建立提供很強的范圍約定。分析可以得出，當只考慮生產機床和維修工人之間的關系時，模型的類型是M/G/3//54。但是，考慮到模型本身的可延續性，可移植性，模型的簡化以及推廣，我們把目標模型定為建立M/G/S模型，也就是文中的模型二。而至于所建立的模型一M/M/S/模型，只是為我們建立與求解模型二做前期工作，其結果并不具備嚴密的科學意義。由模型二所求得的結果，然后依據生產機床同工人之間的聯系，可以對題目中的問題做出較為科學合理的解答。且對生產工人人數和修理工人人數變化對生產系統運行情況的影響，給出最優的人事安排方案。關鍵詞：poisson分布M/M/S/模型M/G/S模型問題重述某工廠共有50機床加工原料，另配有4臺備用機床，當正在加工的機床發生故障時，立即將備用機床投入生產過程，而發生故障的機床則移至由三名修理工組成的機修組進行修理，假定一臺機床只由一名工人操作使用，維修時也只由一名修理工修理。經過實際調查，機床發生故障的間隔時間服從均值等于157小時的指數分布，一名修理工修理一臺機床的時間服從[4,10]小時之間的均勻分布。進入修理狀態的機床修理完成后成為備用機床待用狀態。此系統的工作流程如圖所示。50名工人3名修理工50名工人3名修理工修好的機床返回為符合加工的實際情況，我們還制定兩條規則：某機床發生故障直接交給修理工修理時，總是送給休息時間最久的修理工。某機床修理完成，若直接交給工人加工時，總是送給休息時間最久的工人。管理部門要求了解機床用于生產的利用率、處于備用狀態的機床數、等待修理的機床數以及機床和修理工忙期的平均值等，以便對此維修策略進行評價。對于這個穩態模擬問題，我們可考慮該系統運行三年（共156周）的情況，并假設每周工作5天，每天工作8小時。請建立數學模型以分析整個生產系統的特性（最少有多少臺機器同時在運行；最多有多少臺機器在等候修理；平均每小時有多少工人處于工作狀態；平均每小時有多少修理工處于工作狀態；平均每小時有多少臺機器在等待修理；等等。）；進一步研究生產工人人數和修理工人人數變化對生產系統運行情況的影響，給出最優的人事安排方案。2.模型的假設與符號說明2.1模型的假設1、假設題目提供的數據準確；2、假設當有等待修理的機床出現時，修理工從一臺機床轉移到另一臺機床的時間間隔忽略；3、假設當一天的工作時間到達，但是修理工正在維修的機床尚未修好時，修理工停止工作，下一次上班首先修理此機器；4、假設當需要修理的機床需要排隊時，服從先到先修理的原則；5、假設所有工人和維修工在上班時間內都到工廠上班或者是在工廠待命；6、假設當有機床損壞，下面兩個條件同時滿足時，修理工馬上接受修理任務，否則機床排隊等待：在一天上班時間之內；修理工處于空閑狀態；7、假設在很短的距離上均勻分布與負指數分布的的圖形一樣；8、假設客戶源對模型的影響不大。2.2符號說明…………………單位時間平均出故障的機床數……單位時間平均每位修理工人修好的機床數……………………所有修理工人的工作強度?！骄總€修理工人的工作強度?！?.等待維修的故障機床的平均臺數?！瓩C床故障的平均臺數。………………….維修機床的平均數或正在忙的修理工人數?！硎九抨犻L為n時平修理工人單位時間修好的機床數?！硎居衝臺機床發生故障的概率?！硎拘蘩砉と说膫€數?！幱趽p壞待修狀態的機床數；………處于工作狀態的工人數；………………某一時刻同時在運行的機器數；…………………某一時刻在等候修理的機器數…………….維修工人每小時修理機床數的方差…………….維修工人修理機床所用時間的期望……………處于維修狀態的修理工人數3.問題分析只研究損壞機床和維修工之間的關系時：由于機床的損壞情況是隨機的，發生故障的間隔時間均值等于157小時，可認為每一臺機床都是一個獨立的個體，其損壞狀況與其他機床無關，即可認為機床的損壞在一定意義上服從poisson分布。一名修理工修理一臺機床的時間服從[4,10]小時之間的均勻分布，可認為3個修理工的工作情況在工作時間內是相互獨立的，每個修理工修理任何一個損壞的機床是隨機的。尤其在此處，系統的接受修理的機床為有限的54。所以可以認為，本題中由修理工人和機床所組成的系統符合M/G/3//54模型分布。但是由于考慮到建立此模型需要一步步推導，所以在建模的開始，我們思考著首先建立一個純粹的M/M/S/模型（模型一），然后依照此模型的推導，結合目標模型的具體特征，優化建立一個M/G/S模型（模型二），并求解得出相關數據。接下來，由于機床可以分為四部分：正在工作的機床；損壞，正在維修的機床；損壞，處于等待維修的機床；處于備用狀態的機床。而工人和機床之間存在著直接的聯系，所以，當找到機床的相關數據后，可以利用個人和機床之間的關系得出有關工人的數據。從而，依據所求得的機床數據和工人數據可以求得問題的解答。4.模型的建立與求解4.1模型一M/M/3/4.1.14.1.1.1求解一名修理工修理一臺機床的時間期望一名修理工修理一臺機床的時間服從[4,10]小時之間的均勻分布，求一名修理工修理一臺機床所需時間的期望：假設將區間[4,10]均勻分成等分，使得存在，當時，都有。當每一等分所代表的數值為，一名修理工修理一臺機床所需時間的期望為，則有以下關系式：（1）求得=7；4.1.1以下的建模都是在此系統穩定后的求解：:（2）和（3）記，則當時，（4）（5）及當平穩狀態時聯立解得：（6）（7）故（8）其中（9）公式（8）和（9）給出了平衡條件下系統中顧客為的概率，當時，即系統中顧客數大于或等于服務臺的個數，這時再來的顧客必須等待，一次記為（10）式（10）稱為Erlang等待公式，它給出了顧客到達系統時需要等待的概率。對多臺服務站等待制度，由已得到的平穩分布可得平均堆隊長為：（11）或（12）記系統中正在接受服務的顧客的平均數為，顯然也是正在忙的服務臺的平均數，故（13）式（13）說明平均在忙的服務臺個數不依賴于服務臺個數，則可以得到平均隊長為：平均隊長+正在接受服務的顧客平均數（14）對多服務臺系統，Little公式依然成立，即有（15）4.1.2模型的求解4.1.2.1數學方式求解由題目分析得：；由多服務臺等待制度的有關公式可得：所有修理工都處于休息狀態的概率（2）機床發生故障后的平均排隊等候修理長為：（3）機床發生故障后的平均隊長為：（4）每臺損壞的機床平均等待時間為：（5）每臺損壞的機床平均逗留時間為：（6）機床發生故障時必須排隊等待修理的概率4.1.2.2使用軟件實現模擬使用Lingo編譯程序（附錄1）得一下結果：項目內容項目符號M/M/3/54服務臺數目，即此處的維修工人數S3.00平均每小時損壞的機床數目LAMDA0.32平均每人每小時修理的機床數MU0.14初步處理的數據RHO2.23修理工繁忙的概率RHO_S0.74修理工空閑的概率P07.75E-02機床必須等待修理的概率P_WAIT0.56平均排隊等候修理的機床數量L_Q1.61平均需要修理的機床數量L_S3.84每臺損壞機床平均需要等待開始修理的時間W_Q5.06損壞的機床平均需要逗留的時間W_S12.06求解結果見附錄24.1.2使用lingo編譯程序（附錄3），求解得到表：同時損壞機床數i同時損壞機床數i同時損壞機床數i17.15E-02201.54E-02393.33E-0326.60E-02211.42E-02403.08E-0336.08E-02221.31E-02412.84E-0345.61E-02231.21E-02422.62E-0355.18E-02241.12E-02432.41E-0364.78E-02251.03E-02442.23E-0374.41E-02269.51E-03452.05E-0384.06E-02278.78E-03461.90E-0393.75E-02288.10E-03471.75E-03103.46E-02297.47E-03481.61E-03113.19E-02306.89E-03491.49E-03122.94E-02316.36E-03501.37E-03132.72E-02325.86E-03511.27E-03142.51E-02335.41E-03521.17E-03152.31E-02344.99E-03531.08E-03162.13E-02354.60E-03549.94E-04171.97E-02364.25E-03181.81E-02373.92E-03191.67E-02383.61E-03依據上表，求解得到機床損壞數目的期望:0.0715+0.066*2+0.0608*3+0.0561*4+…+0.000994*5411.1平均每小時有多少臺機器在等待修理5.61*1+5.18*2+4.78*3+4.41*4+…+0.0994*518.64.1.2.4同時正在運行的機床數的求解同時在運行的機床數，與在等候修理的機器數之間的滿足以下關系：則，根據已經求解建立的同一時間段，損壞不同數量的機床概率表，可以求解得出同時正在運行的機床數，列表如下：同時工作機床數j同時工作機床數j同時工作機床數j11.08E-03204.99E-03392.31E-0221.17E-03215.41E-03402.51E-0231.27E-03225.86E-03412.72E-0241.37E-03236.36E-03422.94E-0251.49E-03246.89E-03433.19E-0261.61E-03257.47E-03443.46E-0271.75E-03268.10E-03453.75E-0281.90E-03278.78E-03464.06E-0292.05E-03289.51E-03474.41E-02102.23E-03291.03E-02484.78E-02112.41E-03301.12E-02495.18E-02122.62E-03311.21E-02502.484E-01132.84E-03321.31E-02143.08E-03331.42E-02153.33E-03341.54E-02163.61E-03351.67E-02173.92E-03361.81E-02184.25E-03371.97E-02194.60E-03382.13E-02依據上表，求解正在運行的機床期望0.00108+0.00117*2+0.00127*3+…+0.3374*5041.8此數值即為平均每小時有處于工作狀態的工人數值。4.1.2.5平均每小時有多少修理工處于工作狀態4.2模型二4.2.1模型的建立根據題意分析得出，此題的模型實際上為M/G/3/50/50，但是考慮到實際情況可以將模型簡化成M/G/S的模型，其建M/G/S：4.2.1.1修理工人修理機床的時間期望和方差求解由于修理工人修理機床的時間服從［4，10］的均勻分布，均勻分布的期望和方差計算如下：期望：方差：4.2.1.2M/G/S根據題意，模型實際為M/G/3/50/50,但是由于考慮到此模型實際的可操作性，所以我們將模型簡化成M/G/S的模型。記，則當時，根據波克切克-欣欽公式得當模型為M/G/1時又因為模型是M/G/S，根據推導得考慮到模型M/G/1與模型M/G/S的關系，由模型M/G/1推出模型M/G/S，具體因為一個圖形在一個小范圍內，負指數分布與均勻分布沒有太大的差別，這樣求時就可以運用M/M/S的模型求去。然后運用生滅過程排隊模型求出，…001n-1nn+1...因為與得關系具體推到就是，因為兩個模型的關系我們可以看成一個修理工人與S個修理工人的關系，當只有一個修理工人時，當來的臺數超過一臺時就要有機床排隊等候維修，爾當有S個修理工人時，當臺數超過S臺時，才有機床排隊等候維修，所以我們只要求出一個修理工人時排隊在減去當臺數少于S臺時的概率乘以S，就能求去S臺時排隊而沒有接受維修的排隊的對長。4.2.1.3模型求解求得：即有1臺機床發生故障的概率為0.1550；即有2臺機床發生故障的概率為0.1550；即有3臺機床發生故障的概率為0.1033；即等待維修的故障機床的平均臺數為4.5臺；即機床故障的平均臺數為6.8臺；最少有多少臺機器同時在運行；最多有多少臺機器在等候修理；平均每小時處于工作狀態工人數為:人平均每小時有多少修理工處于工作狀態；平均每小時有多少臺機器在等待修理:臺4.2.1.4提出人事安排方案根據可知機床故障的平均臺數為6.8223，又因為模型中省略客戶源的問題那么故障臺數稍微偏大，所以故障的平均臺數約為6臺。即平均只有48位工人在工作，所以方法一，只雇傭48位工人工作，維修人員不變。方法二，多雇傭一名維修人員，工人不變。5、模型評價對于建立的模型一，使用多服務臺模型，此模型能夠在一定程度上反映出損壞的機床和維修工人之間的關系，求出相關的數據。但是存在著很大的缺陷，比如M/M/3/所考慮的范圍是無限客戶源，但本題的客戶數量直觀體現卻是有限的；再者，此模型所考慮的服務臺服務率是服從指數分布，但是本題中的維修工人的服務率服從的是均勻分布等。正是這些因素的影響，使得使用此方法得到的結果不準確。，因此才有了我們模型二。關于模型二，我們所考慮到的是模型的合理性，以及必要的推廣性。建立M/G/S模型是相對較合理的。同模型一相比較，模型二突出的特點有一下幾方面：首先M/G/S模型宏觀體現了題目的真正內容；其次所建立的模型使得維修人員不再局限于分散的考慮，而又加入一定的集體考慮，集體考慮的部分不會影響最終的結果；最后，模型具有較好的推廣性，即當S發生變化，或者是G變化時，依舊可以沿用。模型缺點：推敲本題的得出的最恰當模型建立應該是M/G/3//54，所以，盡管模型已經得到一定的優化，但是還并不是最優化的模型求解；同時對于模型二而言，缺乏計算機全程模擬，增大了計算難度以及過程分析。參考文獻:韓旭里，謝永欽.概率論與數理統計（第二版），復旦大學出版社，2009.5.薛毅，耿美英，運籌學與實驗，北京：電子工業出版社，2008.9.Lingo教學課件（清華大學版）.2008姜啟源，《數學模型》.高等教育出版社，2003附錄：附錄1：model:s=3;lamda=50/157;mu=1/7;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;P_wait=@peb(rho,s);p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);L_s=L_q+rho;W_q=L_q/lamda;W_s=L_s/lamda;End附錄2：附錄3：model:s=3;lamda=50/157;mu=1/7;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;P_wait=@peb(rho,s);p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);L_s=L_q+rho;W_q=L_q/lamda;W_s=L_s/lamda;p1=(1-p0)*p0;p2=(1-p0)^2*p0;p3=(1-p0)^3*p0;p4=(1-p0)^4*p0;p5=(1-p0)^5*p0;